§ 28. Функции Шварца.

Мы используем метод симметрии для определения и изучения функций Шварца (Schwarz). Эти функции будут определены внутри круга радиус которого мы будем считать равным единице. Функции Шварца мероморфны внутри круга и имеют окружность естественной границей (coupure). Они удовлетворяют двум очень важным функциональным соотношениям, которые нами не будут использованы. Эти соотношения выражают, что функция принимает одни и те же значения во всех соответствующих точках некоторых четырехугольников, которые полностью покрывают весь круг и стороны которых суть дуги окружностей, ортогональных

Прежде всего рассмотрим возможность покрытия всего круга треугольниками, образованными дугами окружностей, ортогональных к и изучим свойства этого замощения круга (pavage du cercle).

Предположим, что есть треугольник расположенный внутри сторонами которого служат дуги окружностей, ортогональных к и пусть Углы этого треугольника, Я утверждаю, что

Дуги В принадлежат двум окружностям, которые пересекаются в точке точке С, симметричной точке С относительно

окружности Инверсия относительно окружности, ертвговальной к с центром в С переводит точку С в бесконечно удаленную точку, стороны — в два прямолинейных отрезка и ОВ, проходящие через центр О окружности и дугу в дугу окружности, ортогональной к (фиг. 9). Так как указанное преобразование переводит внутренность в самое себя, то дуга расположена внутри следовательно, обращена выпуклостью к точке О. Преобразованный треугольник или имеет те же углы что и треугольник или и так как сумма этих углов меньше суммы углов прямолинейного треугольника то имеем, что

В этом рассуждении предполагалось, что треугольник имеет по крайней мере одну вершину С внутри Если же все три вершины лежат на окружности, то все три угла треугольника — нули.

Фиг. 9.

Фиг. 10.

Обратно, если даны три угла сумма которых меньше и точка С внутри круга то существует единственный ориентированный треугольник стороны которого ортогональны к углы которого суть сторона которого, например имеет данное направление. Для доказательства совершим снова инверсию с полюсом в точке С, симметричной точке С относительно ; это преобразование переводит точку С в точку О. Дуга переходит в отрезок луча направление которого известно: он образует с тот же угол, что Мы приходим к построению треугольника который имеет две прямолинейные стороны, лежащие на Все треугольники такие, как имеющие углы получатся один из другого преобразованием подобия с центром в О: достаточно построить один из них и провести окружность с центром в О, ортогональную к его сторонам; преобразование подобия, которое переводит в преобразует точки в точки Чтобы построить вспомогательный треугольник возьмем (фиг. 10) какую-нибудь окружность радиуса Отложим на этой окружности дугу длины и проведем хорду из точки проведем прямую которая образует с направлением угол у; дуга равна дуга середина которой есть точка имеет длину

Следовательно, если построим то прямая будет параллельна и треугольник будет искомый треугольник. Тогда достаточно перенести стороны на сделать указанное выше преобразование подобия.

Если один из углов равен нулю, то соответствующая вершина будет на ; если два угла суть нули, то вершины лежат на ; если три угла суть нули, то суть три произвольные точки окружности Когда вершина находился на окружности и ни одйн угол не равен нулю, то три вершины совпадают.