§ 66. Количественные свойства.

Если значения в точке функций нормального семейства имеют ограниченные модули, то существует круг с центром в который не содержит ни одного полюса функций семейства,

В противном случае, каково бы ни было , существует функция имеющая полюс в круге с центром в и радиуса Можно из последовательности выбрать подпоследовательность сходящуюся равномерно; предел этой последовательности не может быть тождественной бесконечностью, потому что значение конечно. Следовательно, существует круг с центром внутри которого функции начиная с некоторого номера, остаются конечными. Итак, они не могут иметь полюса вблизи точки

Пусть семейство функции нормально в круге с центром О и радиусом и предположим, что свойство, позволяющее утверждать, что семейство нормально, сохраняется при преобразовании подобия, как это было для всех ранее рассмотренных свойств. Допустим, сверх того, что в начале О модули функций остаются все меньше числа Пусть

есть наибольший радиус круга с центром О, внутри которого функции не имеют полюсов: отношение зависит от а и от рассматриваемого свойства, но не от В самом деле положим

семейство функций состоит из всех функций, обладающих тем же самым свойством в круге радиуса единица, и модуль которых в начале О меньше это семейство нормально в круге. Радиус наибольшего круга, не содержащего полюсов, зависит только от а и от характера задания нормального семейства. А радиус относящийся к функциям равен, очевидно,

В концентрическом круге радиуса модули функций остаются меньше некоторого числа которое зависит только от а и от признака, позволяющего утверждать, что семейство нормально. Это предложение соответствует теореме Шоттки.

Вот предложение, соответствующее теореме Ландау. Рассмотрим все функции, у которых тейлоровское разложение вблизи начала начинается с бинома где меньше числа больше некоторого положительного числа и пусть свойство сохраняющееся при преобразовании подобия, позволяет утверждать, что семейство нормально. Существует число такое, что во всяком круге с центром в О и радиусом большем каждая из этих функций либо не обладает свойством либо перестает быть мероморфной. Число зависит только от и свойства

Действительно, рассмотрим все функции, мероморфные в круге радиуса обладающие свойством в этом круге и имеющие модуль в начале меньше а. Они голоморфны в круге радиуса:

где не зависит от Пусть верхний предел их модулей в круге радиуса у. Имеем:

где интеграл взят по окружности Так как

и

то

Рассмотрим в частности функцию, мероморфную во всей плоскости, и пусть — два первых коэфициент? ее разложения вблизи начала,

которое предполагается регулярной точкой. Она не может обладать свойством в круге радиуса большего Например, функция, мероморфная во всей плоскости, не может иметь трех значений: порядков при условии:

При бесконечных получаем теорему Пикара.