§ 86. Последовательности, сходящиеся на бесконечном множестве внутренних точек.

Теперь найдем, на каком множестве точек, внутренних для должна сходиться последовательность выбранная из нормального или квази-нормального семейства, чтобы возможно было

утверждагь, что сходимость этой последовательности внутри равномерна. В силу теоремы Стилтьеса достаточно, чтобы последовательность, сходилась равномерно в сколь угодно малой области внутри

Это условие может быть расширено.

Если последовательность функций, голоморфных в области и принадлежащих нормальному или квази-нормальному семейству, сходится к конечному пределу на бесконечном множестве точек, имеющих по крайней мере одну предельную точку внутри то она сходится равномерно внутри

Пусть рассматриваемая последовательность, сходящаяся в точках есть предельная точка для точек внутри После предыдущей теоремы нам достаточно доказать, что эта последовательность сходится к конечному пределу в каждой точке Прежде всего все предельные значения последовательности конечны. В самом деле, если в некоторой точке один из пределов будет бесконечность, то можно выбрать из последовательности подпоследовательность которая в точке будет иметь пределом бесконечность; из этой второй последовательности можно выбрать новую подпоследовательность сходящуюся в области внутренней к и содержащей за исключением, быть может, иррегулярных точек, равномерно к конечной функции или к тождественной бесконечности; но последний случай не может представиться, ибо предел конечен в точках Если теперь последовательность не имеет единственного предела в каждой точке области то существует точка из для которой последовательность допускает по крайней мере два различных: предела

Извлечем из последовательности подпоследовательность:

значения которой в стремятся к а и подпоследовательность:

значения которой в стремятся к

Можно извлечь из последовательности новую последовательность сходящуюся равномерно в области содержащей потому что иррегулярные точки не могут иметься, так как предел всюду конечен; пусть предел этой последовательности. Так же можно выбрать из последовательности новую последовательность, которая сходится равномерно в области к голоморфной функции Функция

голоморфная в не может быть тождественным нулем, потому что принимает в значение Она должна обращаться в нуль на бесконечном множестве точек в окрестности точки внутренней для что невозможно. Итак, последовательность имеет единственный предел в каждой точке внутри