ГЛАВА IX. СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

НОРМАЛЬНЫЕ СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

§ 115. Аналитические функции двух комплексных переменных.

Ограничимся изучением семейств голоморфных функций двух комплексных переменных предполагаем, что точка имеет координаты в пространстве четырех измерений, отнесенном к декартовым прямоугольным координатам, и что она остается в некоторой области этого пространства, ограниченной замкнутой гиперповерхностью. Часто мы будем брать за эту область внутренность гиперсферы радиуса т. е. множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству:

т. е.

или внутри гиперцилиндра, определенного неравенствами:

т. е.

Мы будем также рассматривать в этом пространстве поверхности или множества точек, зависящие от двух параметров, линии или множества точек, зависящие от одного параметра. Поверхность есть пересечение двух гиперповерхностей; в частности, плоскость есть пересечение двух гиперплоскостей:

Поверхность называется характеристической, когда она представлена уравнением:

в котором есть аналитическая функция от это уравнение может быть заменено двумя уравнениями, если приравнять нулю действительную часть и мнимую часть функции В частности, характеристическая плоскость представляется уравнением:

в котором а, суть комплексные числа.

Можно также представить характеристическую поверхность уравнениями:

где аналитические функции комплексного переменного

Рассмотрим функцию аналитическую внутри области в пространстве четырех измерений. Мы говорим, что эта функция голоморфна, или регулярна, в точке когда она представима около этой точки, т. е. в небольшой гиперсфере с центром в этой точке, двойным рядом по степеням абсолютно сходящимся:

можно также писать:

функции соответственно голоморфны около и ряды абсолютно сходятся.

Функция называется мероморфной в точке если она может быть представлена в окрестности этой точки отношением двух голоморфных функций, причем знаменатель обращается в нуль в

Если то точка называется полюсом функции Если

то известно в силу классической теоремы Вейерштрасса, что каждая из этих функций может быть представлена в форме произведения двух множителей, из которых один не обращается в нуль в а другой есть многочлен относительно если, как это всегда можно предполагать, эти функции не суть тождественные нули для Если эти полиномы не имеют общих множителей, то есть точка неопределенности для Например, функция:

имеел начало точкой неопределенности; всякое комплексное число является предельным значением для если стремятся к нулю надлежащим путем.

Займемся теперь нормальными семействами голоморфных функций многих переменных, изучение которых начал Жюлиа.