§ 111. Структура множества g.

Опишем небольшой круг имеющий центром точку из Внутри функции принимают в своей совокупности бесконечное множество раз все значения, кроме, быть может, двух исключительных значений.

Допустим, что в окрестности последовательность допускает только одно исключительное значение а. Ни одно предшествующее для а не может быть отлично от а, иначе это предшествующее было бы вторым исключительным значением. Линейным преобразованием, выполненным над переведем точку а в бесконечность. Ни одна предшествующая бесконечно удаленной точке не будет на конечном расстоянии, следовательно, не имеет полюса на конечном расстоянии: это есть полином. Обратно, если есть полином, значение бесконечность будет исключительным значением в окрестности каждой точки из Бесконечно удаленная точка есть неподвижная притягивающая точка, множитель которой есть нуль.

Если имеется два исключительных около точки значения то все предшествующие одному или другому могут быть только а или Помощью линейного преобразования переведем точки в бесконечность и в начало. Функция не имеет в конечном расстоянии полюса, отличного от нуля; следовательно, знаменатель будет в форме функция не имеет на конечном расстоянии нулей кроме начала, следовательно, числитель есть Итак, сводится к Обратно, если то значения нуль и бесконечность будут вблизи всех точек множества исключительными значениями. Если то точки нуль и бесконечность суть притягивающие точки с множителем нуль; если то эти точки будут образовывать притягивающий цикл с множителем нуль.

Итак, всякое значение, исключительное для одной точки есть исключительное для всех точек; это значение есть аффикс неподвижной притягивающей точки с множителем нуль. Если имеется единственное исключительное значение, то помощью линейного преобразования с постоянными коэфициентами приводится к полиному; если имеется два выпускаемых значения, то линейным преобразованием приводится к

В других выражениях: около каждой точке множества имеется бесконечное множество предшествующих всякой точке плоскости кроме, быть может, двух исключительных. В частности, так как одна точка из не будет исключительной (потому что исключительные точки суть точки притягивающие), то в окрестности каждой точки из имеются предшествующие всем точкам множества

Итак, вообще уравнения каково бы ни было , допускают в круге бесконечное множество корней. Мы увидим сейчас, что то же самое будет для уравнения

где обозначает функцию мероморфную в

В самом деле, мы уже знаем, что могут существовать только две различные функции такие, что эти уравнения не имеют корней в достаточно малом круге Мы увидим, что не существует ни одной исключительной функции, отличной от постоянного.

Рассмотрим сначала частную функцию Если не есть критическая точка для обратной функции возьмем какую-нибудь

ветвь этой, мероморфной около функции; если есть исключительная функция, то то же самое будет для потому что если для имеем:

то выводим:

и z не будет исключительной функцией.

Если нет другой исключительной функции в то необходимо имеем:

и рациональная дробь будет тождественна с случай, который заранее следует исключить.

Если имеются две исключительных функции то необходимо имеем:

допуская, что предшествующая не является критической точкой для функции что критическая точка для Тогда выводим из этих равенств, что а это невозможно. Допустим теперь, что будет критической точкой для или Так как С имеет бесконечное множество предшествующих около каждой точки множества то выберем предшествующую С, которая не будет критической ни для ни для Тогда не будет исключительной функцией для точки пусть решение уравнения близкое к если положим близко к равенство

влечет,

следовательно, не будет исключительной для

Таким образом в окрестности каждой точки множества уравнения

имеют в своей совокупности бесконечное множество корней. Эти корни суть аффиксы неподвижных отталкивающих точек. Итак:

Всякая точка множества есть предельная для неподвижных отталкивающих точек.

Множество не имеет изолированных точек, с другой стороны, оно, очевидно, замкнутое, следовательно:

Множество есть множество совершенное.

Всякая отталкивающая точка или предельная для отталкивающих точек принадлежит множеству и, обратно, всякая точка из есть предельная для отталкивающих точек. Следовательно;

Совершенное множество совпадает с множеством, производным для множества неподвижных отталкивающих точек.

Эти свойства вытекают из того, что не является исключительной функцией. Докажем теперь, что вообще нет исключительной функции, отличной от постоянной. В самом деле, допустим, что имеется отличная от постоянной функция исключительная вблизи Возьмем точку С из находящуюся в такую, что не будет критической точкой функции и ни одна непосредственно предшествующая для не будет критической для Это возможно потому, что критических точек конечное число, а точек в бесконечное множество. Начертим круг с центром лежащий внутри В круге функции мероморфные и исключительные функции. Нельзя иметь

иначе из равенства

следует, что будет постоянная. Итак,

есть вторая исключительная функция. Так как непосредственно предшествующая для не является критической, то функция

будет исключительной; нельзя иметь:

потому что не есть постоянное; следовательно,

Но это также невозможно, если не есть постоянное. Итак, около каждой точки из уравнения

имеют бесконечное множество корней, если не является постоянным.