§ 31. Построение функции Шварца.

Предположим, что круг расположен в плоскости комплексного переменного докажем существование функции переменней мероморфной внутри имеющей окружность естественной границей.

Фиг. 11.

В самом деле, в силу классической теоремы о конформном отображении существует функция определенная в треугольнике дающая конформное преобразование этого треугольника на верхнюю полуплоскость плоскости переменного так, что периметру треугольника соответствует действительная ось и вершинам отвечают соответственно точки плоскости Отрезки в плоскости отвечают соответственно сторонам треугольника (фиг. 11).

Функция определена в треугольнике и принимает на стороне действительные значения. Ее можно продолжить помощью сопряженных значений и определить в треугольнике или симметричном для (7) относительно Так получаем функцию, определенную в основном четырехугольнике и дающую конформное отображение этого четырехугольника на плоскость переменного Точке треугольника (7) отвечает точка верхней полуплоскости точке треугольника соответствует точка нижней полуплоскости Если переходит из в оставаясь в четырехугольнике следовательно, пересекая то точка переходит из пересекая отрезок но не пересекая никогда ни одного из отрезков II или Итак, четырехугольник отображен конформно на плоскость снабженную разрезами по лучам II и III: верхним берегам разрезов соответствуют стороны и нижним берегам — стороны

Функция теперь определена в четырехугольнике и действительна на его сторонах; ее возможно продолжить вновь. Возьмем, например, треугольник или (7), симметричный треугольнику относительно этот треугольник соответствует верхней полуплоскости и если перемещается из то перемещается из в пересекая отрезок III. Мы можем продолжать так шаг за шагом, расширяя область существования функции Каждый раз мы присоединяем новый треугольник, симметричный треугольнику, уже построенному относительно одной из его сторон. Эти треугольники получаются из цепью инверсий и образуют две категории. Те, которые получаются четным числом инверсий: они соответствуют полуплоскости и те, которые получаются нечетным числом инверсий: они соответствуют полуплоскости Эти две категории треугольников различаются своим расположением. Чтобы иметь ясное представление о способе продолжения функции нужно вообразить, что каждому треугольнику соответствует лист, разложенный на полуплоскости или в плоскости Каждый треугольник одной категории имеет три смежных треугольника другой категории и лист, который соответствует этому треугольнику, соединен с тремя листами, соответствующими трем другим треугольникам по линиям, проходящим соответственно через отрезки . Функция может быть определена так во всякой внутренней точке области и замощению круга отвечает в плоскости бесконечнолистная поверхность Римана

Функция определенная в круге однозначна в этом круге. Прежде всего она голоморфна в каждой точке внутри круга, отличной от вершины сетки. Около вершины А или В она голоморфна, и она непрерывна в "этой вершине, следовательно, она голоморфна также в А и в где она принимает значение нуль или единица. Вокруг вершины С те же самые рассуждения применимы к которая обращается в нуль в этой точке. Итак, допускает полюсы во всех вершинах, гомологичных С. Короче, функция мероморфна в круге Окружность есть естественная граница для потому что вблизи каждой точки этой окружности существует бесконечное множество вершин сетки, и принимает бесконечное число раз значения

Эта функция удовлетворяет функциональному соотношению, которое приближает ее к эллиптическим функциям. Мы видели, что круг может быть замощен бесконечным множеством четырехугольников, которые получаются один из другого помощью линейного преобразования группы, определенной двумя фундаментальными подстановками Я утверждаю, что в двух соответствующих точках двух четырехугольников функция принимает одни и те же значения. Два четырехугольника данного замощения называют конгруэнтными четырехугольниками. Пусть два конгруэнтных четырехугольника; от точки первого к соответствующей точке второго можно перейти помощью четного числа инверсий, которые переводят точку последовательно в точки В двух соседних точках этой последовательности значения функции сопряжены, следовательно, значения в точках равны. Если

есть линейная подстановка которая переводит то равенство

выполняется во всякой точке четырехугольника следовательно, для всякой точки потому что функции, которые фигурируют в обеих частях, мероморфны в В частности для подстановок:

имеем два тождества:

из которых выводятся все другие, потому что всякая подстановка есть произведение подстановок и

Функция обратная функции определена во всей плоскости переменного она имеет бесконечное множество ветвей, перемещающихся при обходе вокруг точек Эти точки — критические алгебраические точки для каждой ветви функции изучим, например, как изменяется значение когда обходит вокруг точки нуля. Возьмем точку в верхней полуплоскости и выберем для точно определенное значение, например, то, которое заключено в основном четырехугольнике Если мы заставим перейти в нижнюю полуплоскость оставаясь вблизи нуля, то пересечем отрезок или отресох допустим, например, что описанный путь пересекает отрезок тогда точка находящаяся в треугольнике

выходит из (7) через сторону и попадает в (7); если для того, чтобы обойти вокруг нуля, возвращается в пересекая то выходит из через сторону и приходит в точку Если описывает петли только вокруг нуля, то остается все время в треугольнике, принадлежащем звезде относительно и после обходов возвращается в первоначальное положение Итак, при обходе вокруг нуля сменяются ветвей Всякая функция, симметричная относительно этих ветвей, однозначна около нуля: есть корень уравнения степени коэфициенты которого голоморфны около и которое допускает корень кратности для Следовательно, разложимо в ряд, расположенный по целым степеням Получаем аналогичный результат для точек с заменой на или