§ 20. Нормальные и ограниченные семейства.
Если для функций семейства, нормального в области
множество значений в одной фиксированной точке этой области ограничено, то функции ограничены в своей совокупности в каждой области, заключенной строго внутри
Пусть семейство функций ограничено в точке
и замкнутая область
заключенная строго внутри
содержит
имеем:
какова бы ни была функция
семейства.
Если функции не будут ограничены в
то можно найти последовательность функций
и последовательность точек
области
таких, что
из последовательности
я выбираю последовательность
которая сходится равномерно в
к функции
Эта функция не может быть тождественной бесконечностью, потому что
ограничены в
следовательно, она ограничена в
Пусть
ее верхняя граница: так как сходимость равномерна, то будем иметь при любом достаточно большом
во всей области
что противоречит гипотезе, что
итак, предложение доказано.
Теорема Стилтьеса и теорема Витали, доказанные для последовательности функций, ограниченных в области
остаются справедливыми