§ 20. Нормальные и ограниченные семейства.
Если для функций семейства, нормального в области 
множество значений в одной фиксированной точке этой области ограничено, то функции ограничены в своей совокупности в каждой области, заключенной строго внутри 
Пусть семейство функций ограничено в точке 
и замкнутая область 
заключенная строго внутри 
содержит 
имеем:
какова бы ни была функция 
семейства.
Если функции не будут ограничены в 
то можно найти последовательность функций
и последовательность точек
области 
таких, что
из последовательности 
я выбираю последовательность 
которая сходится равномерно в 
к функции 
Эта функция не может быть тождественной бесконечностью, потому что 
ограничены в 
следовательно, она ограничена в 
Пусть 
ее верхняя граница: так как сходимость равномерна, то будем иметь при любом достаточно большом 
во всей области 
что противоречит гипотезе, что
итак, предложение доказано.
Теорема Стилтьеса и теорема Витали, доказанные для последовательности функций, ограниченных в области 
остаются справедливыми
в самом деле, функции этой последовательности, будучи ограниченными в некоторой точке сходимости, будут ограничены внутри всякой области 
содержащей эту точку сходимости и содержащейся в 