§ 118. Сгущение значений.

Рассмотрим бесконечную последовательность функций голоморфных в и сходящихся равномерно в этой области к функции Если в точке имеем то я утверждаю, что уравнения имеют, начиная с некоторого индекса, корни во всякой малой области, содержащей точку если только не равна тождественное. Можно, изменив в случае надобности начала, всегда предполагать, что суть нули. Итак,

и так как не есть тождественный нуль, то имеются сколь угодно близкие к точки такие, что

Рассмотрим характеристическую поверхность

и последовательность функций от голоморфных в круге

эта последовательность сходится равномерно в круге к пределу

который не является тождественным нулем, потому что имеет пределом число, отличное от нуля. Но следовательно, в силу теоремы § 9 функции имеют для достаточно большого нули в произвольно малом круге с центром в Итак, все функции имеют, начиная с некоторого индекса, нули на указанной характеристике сколь угодно близкие к началу.

Впрочем, можно заменить эту характеристику какой-нибудь характеристикой, отличной от