§ 108. Примеры итерации.

Вот несколько примеров итерации. Пусть дана имеем:

неподвижные точки первого порядка суть корни уравнения получаем притягивающие точки нуль и бесконечность с множителем нуль и точку отталкивания единица с множителем два. Циклы даются уравнением:

так как

то множитель неподвижной точки порядка есть Все циклы — отталкивающие. Все отталкивающие точки расположены на окружности и всюду плотно на окружности, которая является производным множеством для отталкивающих точек. Внутренность круга есть область притяжения точкой О, потому что имеет пределом нуль; внешность есть область притяжения бесконечно удаленной точкой. Пусть

имеем:

Неподвижные точки преобразования суть корни уравнения Они суть отталкивающие точки, потому что множитель есть — 2 для каждой из них. Циклы второго порядка даются корнями уравнения:

которые не удовлетворяют уравнению Это будут нуль и бесконечность. Множитель есть нуль. Начало и бесконечно удаленная точка составляют цикл второго порядка, область притяжения которого образована внутренностью окружности и внешностью окружности, которые являются последующей одна для другой. Эти две области разделены окружностью последняя есть производное множество для множества всех других неподвижных точек, которые все — отталкивающие точки.

Для неподвижная точка первого порядка имеет множителем единицу; это — неподвижная индиферентная точка, двукратный корень уравнения которое, сверх того, как всегда, когда есть многочлен, имеет корнем бесконечность с соответствующим множителем, равным нулю.

Для неподвижной притягивающей точкой будет бесконечно удаленная точка. Не существует других притягивающих циклов. Чтобы это увидеть, подставим — вместо вместо полученная подстановка

имеет притягивающей точкой начало. Для имеем:

следовательно, круг принадлежит области непосредственного притяжения точкой Итак, внешность круга принадлежит области непосредственного притяжения бесконечно удаленной точкой

Эта обяасть содержит обе критические точки для обратной функции Следовательно, нет других притягивающих циклов.