4. Понятие модуля непрерывности функции.

Предположим, что функция определена и непрерывна на некотором множестве каждая точка которого является предельной точкой этого множества.

Определение. Для каждого назовем модулем непрерывности функции на множестве точную верхнюю грань модуля разности по всем точкам принадлежащим множеству и удовлетворяющим неравенству

Для обозначения указанной точной верхней грани обычно употребляют следующий символ:

Сам же модуль непрерывности функции на множестве принято обозначать символом .

Таким образом, по определению

Замечание. При определении модуля непрерывности в правой части (4.32) вместо можно было бы писать разность без знака модуля. Это вытекает из того, что точки можно поменять местами (при этом разность изменит знак на противоположный, в то время как величина не изменится). Отметим два свойства модуля непрерывности и .

1°. Модуль непрерывности всегда неотрицателен:

Это свойство непосредственно вытекает из определения модуля непрерывности (4.32).

2°. Модуль непрерывности представляет собой неубывающую функцию всюду на полупрямой

В самом деле, при уменьшении множество, по которому берется супремум (4.32), сужается, а супремум на части множества не превосходит супремума на всем множестве.

Вычислим модули непрерывности некоторых функций.

1. Вычислим модуль непрерывности функции на сегменте

Пусть — любые две точки сегмента [0, 1] такие, что где Тогда, очевидно,

Из последнего неравенства, учитывая замечание к определении» модуля непрерывности, мы получим, что

С другой стороны, взяв так что мы получим, что

Значит, (если

2. Вычислим далее модуль непрерывности функции на интервале (0, 1).

Так как

то

С другой стороны, взяв две бесконечно малые последовательности тбчек интервала (0, 1) вида сможем указать номер такой, что так что причем

Отсюда следует, что

3. Вычислим, наконец, модуль непрерывности функций на интервале Убедимся в том, что этот модуль непрерывности равен

Фиксировав произвольное рассмотрим только такие точки которые удовлетворяют соотношениям так что Очевидно, что

В заключение докажем теорему, устанавливающую связь между свойством равномерной непрерывности функции на

множестве и величиной модуля непрерывности этой функции на указанном множестве.

Теорема 4.17. Для того чтобы функция являлась равномерно непрерывной на множестве необходимо и достаточно, чтобы модуль непрерывности этой функции на указанном множестве удовлетворял соотношению

Доказательство. 1) Необходимость. Пусть функция равномерно непрерывна на множестве Требуется доказать, что справедливо соотношение (4.33), т. е. требуется доказать, что для любого найдется отвечающее ему такое, что для всех удовлетворяющих условию справедливо неравенство

По определению равномерной непрерывности для любого найдется отвечающее ему такое, что для всех из множества удовлетворяющих условию справедливо неравенство это и означает, что для любого из интервала справедливо неравенство

2) Достаточность. Пусть выполнено соотношение (4.33), т. е. для любого существует отвечающее ему такое, что для всех удовлетворяющих условию справедливо неравенство

Из определения модуля непрерывности следует, что для всех из множества удовлетворяющих условию справедливо неравенство а это и означает, что функция равномерно непрерывна на множестве Теорема доказана.

Выше мы вычислили модули непрерывностей трех функций: функции на сегменте [0, 11 и функций и — на интервале (0, 1).

Так как то из теоремы 4.17 сразу же вытекает, что функция равномерно непрерывна на сегменте [0, 1], а функции — не являются равномерно непрерывными на интервале (0, I).