С годами становится все яснее, что описывать квантовые системы с помощью функциональных интегралов столь же удобно, как и с помощью векторов гильбертова пространства и действующих в нем линейных операторов. Сила функциональных интегралов и заключенные в них возможности, которые лет 30 назад- при их появлении – лишь смутно угадывались, ныне полностью проявились. Впервые функционалыные интегралы – в применении к квантовой физике – появились в знаменитой работе $P$. Фейнмана 1948 г., в которой он предложил новое построение нерелятивистской квантовой механики для системы конечного числа частиц. В основе его подхода лежит формула, выражающая ядро $U_{t}\left(y_{1}, y_{2}\right)$ оператора эволюции системы во времени $U_{t}=\exp \{i t H\}$ ( $H$-оператор энергии) в внде интеграла
\[
U_{t}\left(y_{1}, y_{2}\right)=\int_{\left\{x(\tau): x(0)=y y_{1}, x(t)=y_{2}\right\}} e^{i S[x(\tau)]} \prod_{\tau \in[0, t]} d x(\tau), \quad y_{1}, y_{2} \in\left(R^{3}\right)^{n},
\]

по пространству классических траекторий $\{x(\tau): \tau \in[0, t]\}$ системы, где $S[x(\tau)]=\int_{0}^{t}|\dot{x}|^{2} d \tau-\int_{0}^{T} V[x(\tau)] d \tau$ – классическое действие системы ( $V$ – потенциальная энергия взаимодействия).

Разумеется, интеграл в (1) не более чем символ (поскольку, например, не ясно даже, как понимать $\prod_{\tau \in[0, t]} d x(\tau)$ ). Проще всего истолковать интеграл (1), если рассматривать его как предел – при измельчающихся разбиениях $0<t_{1}<t_{2}<\ldots<t_{n}<t$ отрезка $[0, t]$ – конечнократных интегралов, получающихся от замены траекторий $x(\tau)$ в (1) ломаными с вершинами в точках разбиения. Другая и более глубокая интерпретация интеграла в (1) получится, если представить его в виде интеграла
\[
\int_{x(\tau)} e^{-i} \int_{0}^{t} V[x(\tau)] d \tau d \mathscr{F}_{t}(x(\tau))
\]

по так называемой мере Фейнмана $\mathscr{F}_{t}$ – конечно-аддитивной комплексной мере в пространстве траекторий (формально определяе-

Предисловие редактора перевода
мой как $\left.\exp \left\{i \int_{0}^{t}|\dot{x}|^{2} d \tau\right\} \prod_{\tau \in[0, t]} d x(\tau)\right)$. Это представление интеграла Фейнмана хотя уже и корректно, но требует при обращении с ним определенных предосторожностей и оговорок: так как мера Фейнмана $\mathscr{F}_{t}$ определена на цилиндрической алгебре множеств и имеет неограниченную вариацию, интеграл (2) разумно определяется лишь для достаточно гладких функций $V$. Однако вскоре после работы Фейнмана М. Кац [1951], по-видимому первый из математиков оценивший достоинства нового подхода, по аналогии с представлением (2) написал следующее представление для ядра $G_{t}\left(y_{1}, y_{2}\right)$ оператора $C_{t}=\exp \{-t H\}, t>0$ :
\[
G_{t}\left(y_{1}, y_{2}\right)=\int_{\{x(\tau): x} e_{\left.(0)=y_{1}, x(t)=y_{2}\right\}} e^{-\int_{0}^{t} V(x(\tau)) d t} d \mathscr{W}_{t},
\]

где интегрирование происходит по хорошо известной вероятностной мере Винера $\mathscr{W}_{t}$ в пространстве траекторий. Представление (3), которое формально может быть получено из (2) переходом к «мнимому» времени (в евклидову область, как сказали бы сейчас), значительно проще и удобнее в применениях, чем интеграл (2). Представления вида (2) и (3) известны ныне под названием формул Фейнмана – Қаца.

Позднее, в середине 50-х годов, функциональные интегралы были введены в квантовую теорию поля: как и в случае квантовой механики систем с конечным числом частиц, эволюционный оператор $U_{t}=\exp \{i t H\}$ для квантового поля был записан в виде интеграла, аналогичного интегралу Фейнмана (1):
\[
U_{t}=\int e^{i S(\varphi)} \prod d \varphi(x)
\]

где $S(\varphi)$ – действие для классического поля. Формула (4) оказалась еще труднее для содержательной интерпретации, чем формула (1), так как в ней ни левая, ни правая часть не имела точного определения: гамильтониан $H$ не был корректно построен (как самосопряженный оператор в подходящем гильбертовом пространстве) ни для одной модели взаимодействующих квантовых полей, а интеграл справа, как и в случае (1), представлял собой только символ, которому не удавалось дать точного определения, подобного (2) или (3). Тем не менее символическое выражение (4) долгие годы имело (и поныне имеет) большую эвристическую ценность: над ним, руководствуясь интуицией и здравым смыслом, удобно совершать различные математические операции, как над настоящим интегралом, получая в результате физически осмысленные ответы.
Новое содержательное понимание функционального интеграла (4) появилось в начале $70-x$ годов благодаря, в частности, работам авторов этой книги. В этих работах для модели квантового бозонного поля с полиномиальным самодействием в двумерном пространстве-времени (так называемой $P(\varphi)_{2}$-модели) – после перехода в евклидову область, т. е. к «мнимому времени»-определялся интеграл (4) (по аналогии с определением (3)) как интеграл
\[
\int e^{-\int: P(\varphi): d x} d W_{0}
\]

где $W_{0}$-гауссова вероятностная мера в пространстве $\mathscr{G}^{\prime}\left(E^{2}\right)$ обобщенных функций двух переменных (задаваемая «евклидовым» действием $S_{0}(\varphi)=\int\left[(
abla \varphi)^{2}+m \varphi^{2}\right] d x$ свободного бозонного поля), а $\int: P(\varphi): d x$ – определенным образом перенормированное классическое взаимодействие $\int P(\varphi) d x$. Это определение интеграла в правой части (4) позволяет определить и левую часть, т. е. гамильтониан $H$ бозонного поля, что явилось существенно новой и важной чертой построений Дж. Глимма и А. Джаффе.

Их работы, как и большинство работ этого направления, своим появлением обязаны глубокому влиянию идей K. Симанзика и Э. Нельсона. В работе Э. Нельсона (развившего предположения Симанзика) показано, что задачу построения квантового поля в пространстве Минковского $M^{v+1}$ можно свести к задаче построения марковского случайного поля в евклидовом пространстве $E^{v+1}$, инвариантного относительно группы движений этого пространства. Именно такое поле и было построено в работе Дж. Глимма и А. Джаффе для случая $P(\varphi)_{2}$-модели – как возмущение гауссова (марковского) поля в пространстве $E^{2}$ с распределением $W_{0}$ с помощью веса $\exp \left\{-\int: P(\varphi): d x\right\}$. При этом само построение меры для $P(\varphi)_{2}$-модели идейно и технически оказалось очень схоже с построением предельной гиббсовой меры в статистической физике: в этом случае «свободная мера», соответствующая системе невзаимодействующих частиц, возмущается больцмановым множителем $\exp \left\{-\beta H_{l}\right\}$, где $H_{l}-$ энергия взаимодействия частиц. В течение 70 -х годов на этом пути были построены случайные марковские поля, соответствующие и другим моделям квантовой теории поля, хотя для наиболее интересного случая – модели взаимодействующих квантовых полей в четырехмерном пространствевремени – такого случайного поля построить пока не удалось.

Центральным местом этой книги является изложение конструкции меры для полей $P(\varphi)_{2}$ (часть II). Это построение предваряется общеобразовательным введением (часть I) и завершается обсуждением многочисленных его следствий и связей с другими пробле-
Предисловие редактора перевода
мами математической физикн (ч. II, III). Книга написана учеными, существенно повлиявшин на современное иредставление о роли функциональных интегралов как одной из фундаментальных структур в квантовой физике, и поэтому интересна как их собственное исповедание этих идей и взглядов.

Изложение материала ведется на трех различных уровнях, которые можно условно обозначить как педагогический, концептуальный и технический. При помощи первого – педагогического уровня, на котором написана ч. I, авторы обращаются к неискушенным в предмете математикам и стараются бегло обучить их квантовой механике, аксиомам теории поля, а также подготовить их – на простом примере интеграла Винера – к восприятию более сложной конструкции интеграла (5). В изложении на втором уровне, предназначенном для тех, кто знаком с предметом, даются основные идеи построения функциональных мер, связь этого построения с так называемыми перенормировками поля и со статистической физикой, а также со многими физическими аспектами теории поля, элементарных частиц и физики низких температур (теория рассеяния, спектр масс, связанные состояния, фазовые переходы, критические точки). Само изложение конструкции $P(\varphi)_{2}$ модели и фазовых переходов в ней (технический уровень) изобилует большим числом разнообразных аналитических приемов и порой ведется очень сжато; оно потребует от читателя, желающего овладеть этой техникой, напряженной и активной работы над текстом.

Настоящая книга – уже 4-я книга по этой тематике, выпускаемая издательством «Мир». До этого вышли: Саймон Б. «Модель $P(\varphi)_{2}$ эвклидовой квантовой теории поля» (1976) и два сборника переводов: «Конструктивная теория поля» (1977) и «Евклидова квантовая теория поля. Марковский подход» (1978). При чтении книги Дж. Глимма и А. Джаффе читателю было бы полезно просмотреть и эти книги.
Р. Минлос