Положительность скалярного произведения в гильбертовом пространстве $\mathscr{H}$ квантовомеханических состояний была выведена нами из свойства положительности при отражениях, которым обладает ковариационный оператор $C$ гауссовой меры $d \varphi_{c}$ (теорема 6.2.2). В гл. 6 мы установили при помощи прямого подсчета такую положительность у свободной ковариации $(-\Delta+I)^{-1}$ (предложение 6.2 .5 ). В § 10.4 мы увидим, что доказательство положительности в негауссовом случае опирается на соответствующий факт для гауссовых квантовых полей.

Для построения нелинейных квантовых полей удобно установить свойство положительности и некоторых других мер, встречающихся на промежуточных этапах построения. С этой целью проанализируем ковариационный оператор $C=\left(-\Delta_{B}+I\right)^{-1}$, где $B$-граничные условия Дирихле и(или) Неймана, заданные на объединении $\Gamma$ кусочно-гладких гиперповерхностей. Предполагая граничные условия инвариантными относительно отражений, дадим общее доказательство положительности при отражениях для $C$. А именно, мы покажем, что положительность при отражениях эквивалентна уменьшению ядра оператора $C$ при введении условия Дирихле или Неймана на гиперповерхности, относительно которой происходит отражение. Применяемый метод устанавливает положительность при отражениях и в случае периодических граничных условий, а также для решеточной аппроксимации оператора $C$.

Сформулируем свойство положительности при отражениях для оператора $C=\left(-\Delta_{B}+I\right)^{-1}$. Пусть $\Pi$ – гиперплоскость в пространстве $R^{d}$, а $\theta_{\text {п }}=\theta$ – отражение (как преобразование $R^{d}$ ) относительно II; той же буквой будем обозначать соответствующее преобразование функций на $R^{d}$. Пусть, кроме того, $R_{ \pm}^{d}-$ две связные компоненты множества $R^{d} \backslash$. Заметим, что в пространстве $L_{2}\left(R^{d}\right)$ оператор $\theta$ самосопряжен и $\theta^{2}=I$. Пусть $\Pi_{ \pm}$- ортогональная проекция на $L_{2}\left(R_{ \pm}^{d}\right)$.
Определение 7.10.1. Если $[\theta, C]=0$, то оператор $C$ назовем $\theta$-инвариантным (т.е. инвариантным при отражениях относительно П).
Определение 7.10.2. $\theta$-инвариантнй оператор $C$ назовем положительным при отражении $\theta$ относительно П, если
\[
\Pi_{+} \theta C \Pi_{+} \geqslant 0 \text {. }
\]

Замечание 1. Так как $[\theta, C]=0$, то неравенство (7.10.1) эквивалентно неравенству $\Pi_{-} \theta C \Pi_{-} \geqslant 0$. Таким образом, (7.10.1) – переформулировка определения 6.2.1.
Замечание 2. По теореме 6.2 .2 положительный при отражениях оператор $C$ является ковариационным оператором положительной при отражениях гауссовой меры $d \varphi$.
Теорема 7.10.1. Рассмотрим 0 -инвариантный оператор $C=$ $=\left(-\Delta_{B}+I\right)^{-1}$, где $B$ обозначает граничные условия Дирихле и (или) Неймана на множестве Г. Тогда С положителен при отражениях.
Доказательство. Пусть $P_{\text {丸 }}=(I \pm \theta) / 2$ – проекции соответственно на четное и чечетное собственные подпространства оператора $\theta$. Заметим, что ( $I-\theta) C=$

$=2 P_{-} C=2 C P_{-}$. Поэтому условие положительности (7.10.1) можно записать в виде
\[
\Pi_{+}\left[C-2 P_{-} C\right] \Pi_{+} \geqslant 0 .
\]

Сначала докажем, что ограничение оператора $2 P_{-} C$ на подпространство $L_{2}\left(R_{ \pm}^{d}\right)$ совпадает с ограничением на $L_{2}\left(R_{ \pm}^{d}\right)$ оператора $C_{D}$. Здесь $C_{D}=$ $=\left(-\Delta_{B^{\prime}}+T\right)^{-1}$, где $\Delta_{B^{\prime}}$ – оператор Лапласа с граничными условиями Дирихле на П и граничными условиями $B$ на $\Gamma \backslash \Pi$. Затем мы покажем, что $C_{D} \leqslant C$. После этого положительность (7.10.2) получается как следствие этих двух утверждений.

Первое утверждение вытекает из того, что $(I-\theta) C(x, y)$ равно нулю на $\Pi$ и $(I-\theta) C$ удовлетворяет уравнению $(-\Delta+I)(I-\theta) C(x, y)=\delta(x-y)$. Второе утверждение становится очевидным, если охарактеризовать билинейную форму $\Pi_{ \pm} C_{D}^{-1} \Pi_{ \pm}$как ограничение билинейной формы $C^{-1}$ на множество функций с носителем в $\Pi_{ \pm}$, равных нулю на П. Более подробное объяснение см. в $\S 7.7$.
Замечание 1. Случай свободной ковариации $\Gamma=\varnothing$ особый. Используя представление (7.5.1) с $\Gamma=\Pi$, обнаружим, что $C_{D}$ – это обычный ковариационный оператор $\left(-\Delta_{\Pi}+I\right)^{-1}$ с граничными условиями Дирихле, заданными только на П.
Замечание 2. Положим по определению
\[
C_{N}=(I+\theta) C=2 P_{+} C=2 C P_{+} .
\]

Вместо (7.10.2) можно записать условие положительности при отражениях (7.10.1) в виде
\[
0 \leqslant \Pi_{+} \theta C \Pi_{+}=\Pi_{+}\left(C_{N}-C\right) \Pi_{+}
\]

или, что эквивалентно, П_ $\left(C_{N}-C\right) \Pi_{-} \geqslant 0$. Мы утверждаем, опуская доказательство, что здесь $C_{N}$ – ковариационный оператор с граничными условиями Неймана на П и граничными условиями $B$ на $\Gamma \backslash$. Лишь в частном случае свободной ковариации можно непосредственно отождествить оператор $C_{N}$ с ковариационным оператором в случае граничных условий Неймана, определенным формулой (7.4.1).
Замечание 3. Из (7.10.2-4) следует, что положительность при отражениях эквивалентна неравенству
\[
0 \leqslant \Pi_{+} \theta C \Pi_{+}=(1 / 2) \Pi_{+}\left(C_{N}-C_{D}\right) \Pi_{+}
\]

или $0 \leqslant \Pi_{-}\left(C_{N}-C_{D}\right) \Pi_{-}$. Так как $\Pi_{+}\left(C_{N}-C_{D}\right) \Pi_{-}=0$, можно сделать вывод, что
\[
C_{D} \leqslant C_{N} .
\]

В предыдущем замечании мы объяснили, что $C_{N}$-это ковариационный оператор $C$ с граничными условиями Неймана на гиперплоскости П, и при этом доказали обобщение свойства монотонности, установленного в $\$ 7.7-8$. А именно, если оператор $C=$ $=\left(-\Delta_{B}+I\right)^{-1} \theta$-инвариантен, то $C_{D} \leqslant C_{N}$, где $D$ и $N$ – соответственно граничные условия Дирихле и Неймана на П и граничные условия $B$ на $\Gamma \backslash \Pi$. Более того, свойство монотонности (7.10.5) эквивалентно свойству положительности при отражениях относительно П.

Рассмотрим теперь периодические граничные условия. Для этого вместо $R^{d}$ возьмем тор $T^{d}$, а вместо гиперплоскости $\Pi$ – пере-

рис. 7.1. Отражение тора $T^{1}$ относительно гиперплоскости; $T_{ \pm}^{1}$ – две компоненты множества $T^{1} \backslash \Pi$. городку, делящую тор на две равные части. Это легко представить наглядно, вложив тор $T^{d}$ в пространство $R^{d+1}$ и продолжив перегородку П по гиперплоскости в $R^{d+1}$. Случай $d=1$ изображен на рис.7.1. Теперь $\Pi_{ \pm}$- проекции на пространство $L_{2}$-функций, носители которых лежат по одну сторону от П. Наряду с периодическими допускаются и граничные условия $B$ Дирихле и (или) Неймана. С учетом этих изменений формулируются определения 7.10.1-2. Как и ранее, доказывается

Теорема 7.10.2. Пусть оператор $C=\left(-\Delta_{B}+I\right)^{-1} \theta$-инвариантен в пространстве $L_{2}\left(T^{d}\right)$. Тогда $C$ положителен при отражениях.

В заключение отметим, что вместо пространства $R^{d}$ или тора $T^{d}$ можно рассмотреть решетку $Z^{d}$ или конечную периодическую решетку $Z_{n}^{d}$ с шагом $\delta$. И в этом случае для классических $\theta$-инвариантных граничных условий имеет место свойство OS-положительности. Для доказательства опять используется неравенство $C_{D} \leqslant C$, которое снова можно установить, введя граничные условия Дирихле для решеточного оператора $C^{-1}$ и подходящим образом варьируя его массу (см. § 7.8 и 9.5).
Теорема 7.10.3. Имеют место решеточные аналоги теорем 7.10 .1 и 7.10 .2 .