Как и в § 13.2, для свободного поля в пространстве-времени размерности $d=4$ можно доказать, что решения убывают как $t^{-3 / 2}$. Однако в случае, когда множества скоростей не пересекаются, убывание для любой размерности $d \geqslant 2$ происходит быстрее, чем $t^{-N}$, где $N$ произвольно. Этот последний результат об убывании мы и установим в этом параграфе. Он используется при доказательстве теоремы 13.3.1 для сверхперенормируемых теорий в размерности $d=2,3$ при условии, что основные функции имеют непересекающиеся носители в пространстве скоростей. Убывание имеет место вне конусов в $x, t$-пространстве, и поэтому означает, что свободные частицы в основном остаются внутри конусов, определенных их скоростями, причем скорости вычисляются по их носителям в импульсном пространстве. Внутри конуса скоростей мы воспользуемся следующей простой оценкой.
Предложение 13.4.1. Пусть функция $f(t, \mathbf{x})$ является решением уравнения Клейна – Гордона с начальньыи данныии из пространства $\mathscr{S}\left(R^{l-1}\right)$. Тогда относительно любой нормы $\|\cdot\|_{\mathscr{g}}$ в пространстве $\mathscr{P}\left(R^{d-1}\right)$ и любой производной дт $^{j}$ по $t, j \geqslant 0$, функция $\mathbf{x} \rightarrow$ $\rightarrow \partial_{t}^{i} f(t, \mathbf{x})$ обладает конечной нормой $\partial_{t}^{l} f(t, \cdot) \|_{s}$, возрастающей nо $t$ не более чем степенным образом.
Доказательство. Частичное преобразование Фурье $t(t, p)$ (по переменной $\mathbf{x}$ ) имеет вид
\[
\tilde{f}(t, \mathbf{p})=(2 \pi)^{-(d-1){ }^{2}}\left[e^{-i \mu(p) t_{g}}(\mathbf{p})+e^{i \mu(p) t_{g}}(\mathbf{p})\right],
\]

где $\mu=\left(\mathrm{p}^{2}+m^{2}\right)^{1 / 2}, g_{ \pm} \in \mathscr{P}$. Предложение сйдует теперь из того, что $\mathscr{F} \mathscr{P}=\mathscr{P}$ (где $\mathscr{F}-$ преобразование фурье).
Скорости и импульсы связаны релятивистскими формулами
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{p}= \pm m \frac{\mathbf{v}}{\left(1-v^{2}\right)^{1 / 2}}, \quad \mathbf{p} \in \operatorname{supp} g_{ \pm}, \\
\mathbf{v}= \pm \mathbf{p} / \mu(\mathbf{p}) .
\end{array}
\]

Пусть $\mathscr{V}$ – некоторое множество в пространстве скоростей. Конус будущего $\mathscr{C}$ в пространстве скоростей определяется следующим образом:
\[
\mathscr{C}_{V}=\left\{t, \mathbf{x} \in R^{d} \mid t \geqslant 0, \mathbf{x} / t \in \mathscr{V}\right\}=\{t, t \mathscr{P} \mid t \geqslant 0\} .
\]

Множество $\mathscr{P}$ мы выберем замкнутым и содержацим некоторую окрестность множества скоростей, определенных импульсами $p \in \operatorname{supp} g_{ \pm}$.
Предложение 13.4.2. Если функция $f$ м множество $\mathscr{V}$ выбраны такими, как сказано выше, то $f$ вне конуса $\mathscr{C}_{\mathfrak{V}}$ быстро убывает по переменной $t$. Другими словами, для любых $L, N$ при $t \rightarrow \infty$
\[
\sup _{\{\mathbf{x}: \mathbf{x} / t
otin r\}}(1+|\mathbf{x}|)^{L}|f(t, \mathbf{x})| \leqslant O\left(t^{-N}\right)
\]

и такая юе оценка справедлива для любой производной функции $f$ no $\mathbf{x}$.

Доказательство. Достаточно рассмотреть случай, когда имеется лишь функция $g_{+}$. Тогда
\[
f(t, t \mathbf{v})=(2 \pi)^{(d-1) / 2} \int e^{i t(-\mu+v \cdot \mathrm{p})} g_{+}(\mathbf{p}) d \mathbf{p}=\int e^{i t s} h_{v}(s) d s,
\]

где
\[
h_{v}(s)=(2 \pi)^{(d-1) / 2} \int \delta(s+\mu(\mathbf{p})-\mathbf{v} \cdot \mathbf{p}) g_{+}(\mathbf{p}) d \mathbf{p} .
\]

Геометрически нагляднее перейти к пространству энергии-нмпульса, где интегрирование происходит по пересечению гиперболоида $p_{0}=\mu(\mathrm{p})$ с гиперплоскостью $s=-p_{0}+\mathbf{v} \cdot \mathbf{p}=((1, \mathbf{v}), p)$ (где $(\cdot, \cdot)$ – поренцево скалярное произведение). Регулярность функции $h_{\bullet}(s)$ может парушиться лишь прн тех $s$, при которых эта гиперплоскость касается гиперобононда. Мы утверждаем, что условие касания в точности совпадает с приведенным выше релятивистским соотношеним между скоростью и импульсо. Следовательно, для $\mathrm{v}
ot \mathscr{V}$ и импульсов $\mathbf{p} \in \operatorname{supp} g_{+}$, по которым пронсходит интегрнрованне, указанная гиперплоскость составляет положительный угол с гиперболоидом, отделенный от нуля равномерно по $s$. Отсюда стедует, что фупцня $h$ и все ее пронзводние по $s$ принадлежат пространству $L_{1}(d s)$, и, значит, функция $f(t, t \mathrm{v})$ нмеет требуемый порядок убывания. Для ограниченых скоростей v утверждение доказан. Если же скорость v неограничена (напрнмер, $|\mathbf{v}|>1$ ), то мы воспользуемся гем, что скорость распространения началыих данных консчна, а сами эти данные прннадлежат пространству $\mathscr{P}$.

Для доказательства утверждения об условии касания заметим, что это условие влечет за собой неравенство $v^{2}<1$. Сделав это предположение, проверим, что значения $\hat{p}=m \mathrm{v} /\left(1-v^{2}\right)^{1 / 2}, s=-m\left(1-v^{2}\right)^{1 / 2}$ определяст точку пересе. чения $(\mu(\hat{p}), \hat{p})$ гиперболоида и гиперплоскости. Произвольная точка гиперплоскости имеет вид $p=(\mu(\hat{p}), \hat{p})+p \perp$, где $(p \perp(1, \mathbf{v}))=0$. Тогда вектор $p \perp$, будучи лоренц-ортогональным времени-подобному вектору ( $1, v$ ), является пространственно-подобным, т. е. ( $\left.\perp \perp, p^{\perp}\right) \geqslant 0$. Пользуясь соотношением (13.4.2), мы убеждаемся, что – $(p, p)<m^{2}$, когда $p \perp
eq 0$. Отсюда следует, что $p \perp=0$ определяет единственную точку пересечения гиперплоскости и гиперболоида.

Рассмотрим однопараметрическое семейство функций $f^{(t)} \in$ $\in \mathscr{P}\left(R^{d}\right)$, заданных для $f \in \mathscr{P}\left(R^{d}\right)$ формулой
\[
\widetilde{f^{(t)}}(p)=\tilde{f}(p) e^{i\left(p_{\jmath}-\varepsilon\left(p_{0}\right) \mu(p)\right) t},
\]

где $\varepsilon\left(p_{0}\right)=\varepsilon(p)=\operatorname{sign} p_{0}$.
Пусть $f=0$ в окрестности $p_{0}=0$.
Предложение 13.4.3. Для произвольной нормы $\|\cdot\|_{\mathscr{s}}$ на пространстве $\mathscr{P}\left(R^{d-1}\right)$ и любой производной $\partial_{t}^{j}$ по $t$ существует такое число $L$, что при любом $K$
\[
\left\|\partial_{t}^{t} f^{(t)}\left(x_{0}, \cdot\right)\right\|_{\mathscr{S}} \leqslant C_{K}\left(1+\left|x_{0}-t\right|\right)^{-K}(1+|t|)^{L} .
\]

Кроме того, для произвольного $N$ при $t \rightarrow \infty$
\[
\sup _{\{\mathbf{x}: \mathbf{x} / t
otin \mathcal{L}\}}(1+|\mathbf{x}|)^{L}|f(t, \mathbf{x})| \leqslant O\left(t^{-N}\right)
\]

и аналогичная оценка имеет место для любой производной функц̧uи $f$.
Доказательство. Будем считать $x_{0}-t, t$ и $\mathbf{x}$ независимыми переменными. Так как
\[
f^{(t)}(x)=(2 \pi)^{-d / 2} \int g(p) e^{i \mathbf{p} \cdot \mathbf{x}} e^{i t\left(p_{0}-\varepsilon\left(p_{0}\right) \mu(\mathbf{p})\right)} d p,
\]

где $g(p)=\tilde{f}(p) e^{-i p_{0}\left(x_{0}-t\right)}$, то функции $f^{(t)}(x)$ принадлежат пространству $\mathscr{I}\left(R^{1}\right)$ по переменной $x_{0}-t$ и являются гладким решением уравнения Клейна – Гордона по $(t, \mathbf{x})$. Теперь нужно воспользоваться предложением 13.4.1.