Функции Швингера $\lambda P(\varphi)_{2}$-моделей неаналитичны по $\lambda$ в точке $\lambda=0$, поскольку при $\lambda<0$ нарушаетея устойчивость. Однако все характеристики этой модели аналитичны в секторе, по форме напоминающем пирог с вырезанным куском. Этот сектор с углом $\theta>\pi$ изображен на рис. 20.1. Кроме того, функции Швингера обладают в нуле (со стороны положительных $\lambda$ ) односторонними правыми производными любого порядка, и, как показано в работах [Dimock, 1974,6], эти производные можно вычислить по теории возмущений в бесконечном объеме. Элементы $S$-матрицы также допускают разложения в
Рис. 20.1. Известная область аналитичности по комплексному параметру $\lambda$ в $\lambda P(\varphi)_{2}$-теории. асимптотические ряды теории возмущений [Osterwalder, Sénéor, 1976], [Eckmann, Epstein, Fröhlich, 1976].

На самом деле функции Швингера $\varphi^{4}$-модели могут быть восстановлены по коэффициентам разложения, вычисленным по теории возмущений, с помощью суммирования по Борелю [Eckmann, Magnen, Sénéor, 1975]. Это означает, что, хотя $r$-точечная функция Швингера в $\varphi_{2}^{4}$-модели имеет расходящееся разложение:
\[
S_{r}(\lambda) \sim \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} \lambda^{n}
\]
(поскольку $\left|a_{n}\right|>O(n !)$ ), тем не менее преобразование Бореля
\[
h(t) \equiv \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a^{n}}{n !} t^{n}
\]

сходится вблизи точки $t=0$. Более того, функция $h(t)$ имеет аналитическое продолжение на все значения $t>0$, так что существует интеграл
\[
S_{n}(\lambda) \equiv \int_{0}^{\infty} e^{-t} h(\lambda t) d t .
\]

Из недавних работ, относящихся к преобразованию Бореля, см. [Sokal, 1980]. Можно показать, что $S_{n}(\lambda)$ совпадает с $\varphi_{2}^{4}$ функцией Швингера, построенной в гл. 11. Разложение в степенной ряд для массы $m(\lambda)$ также суммируемо по Борелю [Eckmann, Epstein, 1979b].
Результаты, относящиеся к суммируемости по Борелю функций Швингера модели $\varphi_{2}^{4}$, обобщены и на случай размерности $d=3$ [Magnen, Sénéor, 1977]. Элементы $S$-матрицы для этого случая также имеют асимптотическое разложение по степеням $\lambda$ [Constantinescu, 1977]. Открытой остается проблема, применима или нет техника пересуммирования к квантовым полям $\left(\lambda \varphi^{4}-\varphi^{2}\right)_{2}$.