Доказательства теорем 18.1.1 и 18.1.2 основаны на разложении, которое мы сейчас построим. Пусть $\mathcal{B}-$ некоторое множество отрезков в $R^2$. Нас будут интересовать два основных примера: либо $\mathcal{B}={\left(Z^2\right)}^{\ast }$ — множество ребер рещетки, соединяющих соседние узлы в $Z^2$, либо $\mathcal{B}={\left(Z^2\right)}^{\ast }\mathrm{\setminus }\mathrm{\Gamma }$, где $\mathrm{\Gamma }$ — конечное подмножество в ${\left(Z^2\right)}^{\ast }$. Отождествим $\mathrm{\Gamma }\subset \mathcal{B}$ с подмножеством $\mathrm{\Gamma }=\bigcup _{b\in \mathrm{\Gamma }}b\subset R^2$. Мы будем помечать члены нашего разложения подмножествами $\mathrm{\Gamma }\subset \mathcal{B}$. В слагаемом, отвечающем $\mathrm{\Gamma }$, выключено взаимодействие ребер
$${\mathrm{\Gamma }}^c=\mathcal{B}\mathrm{\setminus }\mathrm{\Gamma },$$

что соответствует выбору гауссовой меры с ковариацией Дирихле на ${\mathrm{\Gamma }}^c$. В связи с этим ребра $b⋐{\mathrm{\Gamma }}^c$ называют ребрами Дирихле. Каждому ребру $b\in \mathrm{\Gamma }$ мы сопоставим величину, определяющую разность между свободной мерой и мерой со взаимодействием, аналогичную разностям в формуле (18.1.1). Эти величины выражаются с помощью производных согласно основной теореме анализа, поэтому ребра $b\in \mathrm{\Gamma }$ называют ребрами дифференцирования.

Рассматриваемые нами ковариационные операторы являются выпуклыми линейными комбинациями операторов $C_{\mathrm{\Gamma }}$. Для каждого ребра $b\in \mathcal{B}$ введем параметр $s_b\in [0,1]$, измеряющий величину взаимодействия через $b$. Значению $s_b=0$ отвечает условие Дирихле на $b$, т. е. взаимодействие через $b$ отсутствует, а значению $s_b=1$ отвечает полное взаимодействие через $b$. Совокупность величин
$$s={\left(s_b\right)}_{b\in \mathcal{B}}$$

определяет многопараметрическое семейство ковариационных операторов
$$C(s)=\sum _{\mathrm{\Gamma }\in \mathcal{G}}\prod _{b\in \mathrm{\Gamma }}{s}_b\prod _{b\in {\mathrm{\Gamma }}^c}(1-s_b)C_{{\mathrm{\Gamma }}^c}$$

Поскольку коэффициентами в (18.2.3) являются члены разложения
$$1=\prod _{b\in \mathcal{S}}1=\prod _{b⋐\mathcal{S}}[s_b+(1-s_b)],$$

то (18.23) действительно представляет собой выпуклую линейную комбинацию операторов $C_{\mathrm{\Gamma }}$, как и утверждалось выше. Свободная ковариация есть не что иное, как
$$C_{\varnothing }=C(1,1,\dots )={(-\mathrm{\Delta }+m_0^2)}^{-1},$$

а полностью выключенному взаимодействию отвечает ковариация
$$C_{\mathcal{B}}=C(0,0,\dots )={(-{\mathrm{\Delta }}_{\mathcal{B}}+m_0^2)}^{-1}.$$

Функция Швингера и статистическая сумма являются, естественно, функциями от s. Мы используем при этом обозначения
$$\begin{array}{c}Z(s)S_s(x)=Z(\mathrm{\Lambda },s)S_{\mathrm{\Lambda },s}(x)=\int \prod _i\phi \left(x_i\right)e^{-\lambda V(\mathrm{\Lambda })}d{\phi }_s,\\ Z(s)=Z(\mathrm{\Lambda },s)=\int e^{-\lambda V(\mathrm{\Lambda })}d{\phi }_s,\\ \text{ где }d{\phi }_s=d{\phi }_{C(s)},V(\mathrm{\Lambda })={\int }_{\mathrm{\Lambda }}\lambda :P(\phi (x)):dx.\end{array}$$

Цель кластеріы разложений состоит в том, чтобы выразить величины, относящиеся к полностыю взаимодействующей теории $(s_b\equiv 1$ ), с помощью свободных величин, т. е. определяемых невзаимодействующей мерой (и, следовательно, локализованных в конечном объеме). Свободным величинам отвечают значения параметров $s_0=0$ для большинства $b\in \mathcal{B}$, и для их записи удобно определить набор $s(\mathrm{\Gamma })={\left\{s{\left({\mathrm{I}}^{\prime }\right)}_b\right\}}_{b{\mathcal{S}}^{\beta }}$ следующим образом:
$$s(\mathrm{\Gamma }{)}_b=\{\begin{array}{lll}{s}_b& \text{ при }& b\in \mathrm{l},\\ 0& \text{ при }& botin\mathrm{\Gamma }.\end{array}$$

Для конечных $\mathrm{\Gamma }$ набор $s(\mathrm{\Gamma })$ определяет граничное условие Дирихле на далеких расстояниях (на ${\mathrm{\Gamma }}^c$ ), в то время как $s$ можно представлять себе в виде общих граничных условий на ${\mathrm{\Gamma }}^c$, совпадающих с $s(\mathrm{\Gamma })$ на Г. Следующее определение выражает свойство независимости функции $F$ от граничных условий на бесконечности.
Определение 18.2.1. Функция $F(s)$ называется регулярной на бесконечности, если для любого $s$
$$F(s)=\underset{\{\mathrm{\Gamma }\uparrow \mathrm{\wp }:\mathrm{\Gamma }\text{ конечно }\}}{lim}F(s(\mathrm{\Gamma })).$$

Предложение 18.2.1. Функции (18.2.4) регулярны на бесконечности. Здесь $\mathcal{B}\subset {\left(Z^2\right)}^{\ast }$, а сходимость $S$ понимается как сходимость в ${\mathcal{P}}^{\prime }$.

Поскольку $\mathrm{\Lambda }$ фиксировано и ограничено, существование предела (18.2.6) устанавливается элементарно. Предложение следует из (9.1.33), леммы 8.5.2 и теоремы 8.6.2.

ПІервый этап построения кластерного разложения состоит в применении основной теоремы анализа к конечному набору отличных от нуля параметров в $F(s(\mathrm{\Gamma }))$. Пусть
$${\partial }^{\mathrm{\Gamma }}=\prod _{b\in \mathrm{\Gamma }}d/d{s}_b.$$

Определим частичный порядок на множестве наборов $s$ следующим образом:
$$\sigma ⩽s\iff {\sigma }_b⩽s_b\mathrm{\forall }b\in \mathcal{B}.$$

Предложение 18.2.2. Пусть $F(s)$-гладкая функция, регулярная на бесконечности. Тогда
$$F(s)=\sum _{(\mathrm{\Gamma }\subset \mathcal{H}:\mathrm{\Gamma }\text{ конечно }\}}{\int }_{0⩽\sigma ⩽s(\mathrm{\Gamma })}{\partial }^{\mathrm{\Gamma }}F(\sigma (\mathrm{\Gamma }))d\sigma .$$

Доказательство. Обозначим $G(s)$ правую часть (18.2.8). Мы утверждаем, что $F(s(B))=G(s(B))$ для любого конечного множества $B\subset \mathcal{B}$. Далее, $G(s(B))$ есть просто сумма (18.2.8), взятая по подмножествам $\mathrm{\Gamma }\subset B\subset \mathcal{R}$. Поскольку $F(s)$ регулярна на бесконечности, сходимость суммы в (18.2.8) следует из сделанного утверждения. Сама формула (18.2.8) получается в результате перехода к пределу при $B\uparrow \mathcal{D}$.
Для функции $f\left(s_b\right)$ одного переменного положим
$$\left({\delta }^{b}f\right)\left(s_b\right)=f\left(s_b\right)-f(0)={\int }_0^{s_b}{\partial }^{b}f\left({\sigma }_b\right)d{\sigma }_b,\left(E_0^{b}f\right)\left(s_b\right)=f(0).$$

Тогда $I=E_0^b+{\delta }^b$ (по основной теореме анализа), так что
$$I=\prod _{b\in B}(E_0^b+{\delta }^b)=\sum _{\mathrm{r}\subset B}{E}_0^{B\mathrm{\setminus }{\mathrm{r}}^{\mathrm{\Gamma }}}{\delta }^{\mathrm{\Gamma }},$$

где ${\delta }^{\mathrm{\Gamma }}=\prod _{b\in \mathrm{\Gamma }}{\delta }^b,E_0^{B\mathrm{\setminus }\mathrm{\Gamma }}=\prod _{b\in B\mathrm{\setminus }\mathrm{\Gamma }}{E}_0^b$. Легко видеть, что из (18.2.9) вытекает требуемое тождество $F(s(B))=G(s(B))$.

Следующий этап построения кластерного разложения — это факторизация и частичное пересуммирование в (18.2.8). Напишем
$$R^2\mathrm{\setminus }{\mathrm{\Gamma }}^c=X_1\cup X_2\cup \dots \cup X_r,$$

где каждое множество $X_i$ есть объединение связных компонент и $X_i\cap X_j=\varnothing$ при $ieqj$.
Определение 18.2.2. Функция $F(\mathrm{\Lambda },s)$ называется свободной при $s=0$, если она представляется в виде
$$F(\mathrm{\Lambda },s(\mathrm{\Gamma }))=\prod _{i=1}^{r}F(\mathrm{\Lambda }\cap X_i,s(\mathrm{\Gamma }\cap X_i))$$

для любого Г и некоторого разбиения (18.2.10),
Предложение 18.2.3. Для заданного разбиения вида (18.2.10) леры $d{\phi }_{s(\mathrm{\Gamma }}$ и $e^{-\lambda v^{\prime }(1)}d{\phi }_{s(\mathrm{\Gamma },}$, могут быть представлены в виде прямого произведения $r$ мер, где і-й сомножитель является мерой на ${\mathcal{P}}^{\prime }\left(X_i\right)$.
Доказательство. Поскольку оператор $C(s(\mathrm{\Gamma }))$ отвечает условиям Дирихле на ${\mathrm{\Gamma }}^c$, то он является прямой суммой операторов ${C(s(\mathrm{\Gamma }))|}_{L_2\left(x_i\right)}$. Факторизация $d{\phi }_S(\mathrm{\Gamma })$ следует из этого факта и, кроме того, может быть выведена из (9.1.16). Поскольку : $P(\phi (x))$ : есть локальная функция, $e^{-\lambda V(\mathrm{\Lambda })}$ также факторизуется, что влечет за собой факторизацию меры $e^{-\lambda V(\mathrm{\Lambda })}d{\phi }_s(\mathrm{\Gamma })$.
Следствие 18.2.4. Функции $ZS$ и $Z$ в (18.2.4) свободны при $s=0$.
С помощью кластерного разложения мы представляем величину $F$ в виде суммы произведений вкладов отдельных связных графов. Мы фиксируем некоторое множество точек (например, $X_0=x=(x_1,\dots ,x_n)$ — переменные в формуле (18.2.4)). По графам, в которых $X_0$ не встречается, проводится суммирование, что дает один множитель в выражении для $F$, отвечающий внешней области.

Проследим подробнее за этим суммированием. Сделаем подстановку (18.2.11) в разложение (18.2.8). Тогда
$$F(\mathrm{\Lambda },s)=\sum _{\mathrm{\Gamma }}\prod _{i=1}^r{\int }_0^{s\left({\mathrm{\Gamma }}_i\right)}{\partial }^{{\mathrm{\Gamma }}_{i}F}(\mathrm{\Lambda }\cap X_i,\sigma \left({\mathrm{\Gamma }}_i\right))d\sigma ,$$

где ${\mathrm{\Gamma }}_i=\mathrm{\Gamma }\cap X_i$. Если $X_i$ связны, это выражение представляет собой сумму по произведениям связных графов. Выберем теперь в качестве $X_1$ в (18.2.10) объединение всех компонент, в которых встречаются точки из $X_0$, и пусть $X_2$ есть объединение остальных компонент. Фиксируем $X_1$ и ${\mathrm{\Gamma }}_1$ и просуммируем по всевозможным выборам ${\mathrm{\Gamma }}_2$ :
$$F(\mathrm{\Lambda },s)=\sum _{X_1,{\mathrm{\Gamma }}_1}{\int }_0^{\left({\mathrm{\Gamma }}_1\right)}{\partial }^{{\mathrm{\Gamma }}_1}F(\mathrm{\Lambda }\cap X_1,\sigma \left({\mathrm{\Gamma }}_1\right))d\sigma \sum _{{\mathrm{\Gamma }}_2}{\int }_0^{\left({\mathrm{\Gamma }}_2\right)}{\partial }^{{\mathrm{\Gamma }}_2}F(\mathrm{\Lambda }\cap X_2,\sigma \left({\mathrm{\Gamma }}_2\right))d\sigma .$$

Во второй сумме ${\mathrm{\Gamma }}_2$ пробегает все конечные множества ребер в $\mathcal{B}\mathrm{\setminus }{\overline{X}}_1$. Поэтому сумма по ${\mathrm{\Gamma }}_2$ может быть вычислена с помощью (18.2.8) как функция вида $F(\mathrm{\Lambda }\cap X_2,s\left(\mathcal{S}\mathrm{\setminus }{\overline{X}}_1\right))$. Полагая $X={\overline{X}}_1$ и обозначая ${\mathrm{\Gamma }}_1$ просто $\mathrm{\Gamma }$, приходим к разложению
$$\begin{array}{rl}F(\mathrm{\Lambda },s)& =\sum _{X}K(X_0,X)F(\mathrm{\Lambda }\mathrm{\setminus }X,s(\mathcal{B}\mathrm{\setminus }X)),\\ K(X_0,X)& =\sum _{\mathrm{\Gamma }}{\int }_0^{s(\mathrm{\Gamma })}{\partial }^{\mathrm{\Gamma }}F(\mathrm{\Lambda }\cap X,\sigma (\mathrm{\Gamma }))d\sigma .\end{array}$$

В этих суммах $X$ пробегает все конечные объединения замкнутых квадратов решетки, содержащие $X_0$, а в качестве $\mathrm{\Gamma }$ может быть выбрано любое подмножество $\mathcal{B}$, такое, что

—————————————————————-
0014ru_fiz_kvan_book28_no_photo_page-0351.jpg.txt

350
Гл. 18. Кластерные разложения
(i) в каждой компоненте $X\mathrm{\setminus }{\mathrm{\Gamma }}^c$ встречается точка из $X_0$;
(ii) $\mathrm{\Gamma }\subset \mathrm{Int}X$.

Если для заданного $X$ таких $\mathrm{\Gamma }$ не существует, то $K(X_0,X)\equiv 0$.
Теорема 18.2.5. Пусть множество $X_0$ ограничено, а функция $F$ является гладкой, регулярной на бесконечности и свободной при $s=0$. Тогда имеет место кластерное разложение (18.2.13).
Пример 1. Пусть $\mathcal{B}={\left(Z^2\right)}^{\ast }$ — множество всех ребер решетки и $X_0=\{x_1,\dots$ $\dots ,x_n\}$. Положим $F=ZS$ (см. (18.2.4)). Тогда при $s=1$
$$\begin{array}{rl}F(\mathrm{\Lambda }\mathrm{\setminus }X,s(\mathcal{B}\mathrm{\setminus }X))=\int e^{-\lambda V(\mathrm{\Lambda }\mathrm{\setminus }X)}d{\phi }_{s(\mathcal{S}\mathrm{\setminus }X)}& =\\ & =Z(\mathrm{\Lambda }\mathrm{\setminus }X,s(\mathcal{A}\mathrm{\setminus }X))\equiv Z_{\partial X}(\mathrm{\Lambda }\mathrm{\setminus }X),\end{array}$$

поскольку изменение граничных условий внутри $X$ не изменяет интеграла. Разделив на $Z$, мы получим, в силу (18.2.13),
$$S_{\mathrm{\Lambda }}(x)=\sum _{X,\mathrm{\Gamma }}\int {\partial }^{\mathrm{\Gamma }}\int \prod _i\phi \left(x_i\right)e^{-\lambda V(\mathrm{\Lambda }\cap X)}d{\phi }_{s(\mathrm{\Gamma })}ds(\mathrm{\Gamma })\frac{Z_{\partial X}(\mathrm{\Lambda }\mathrm{\setminus }X)}{Z(\mathrm{\Lambda })}.$$

Представив $X\mathrm{\setminus }{\mathrm{\Gamma }}^c$ как объединение связных компонент, мы можем факторизовать интеграл в (18.2.15) так же, как в формуле (18.2.12).
Пример 2. Пусть ${\mathrm{\Gamma }}_1\subset {\left(Z^2\right)}^{\ast }$ и ${\mathrm{\Gamma }}_2={\mathrm{\Gamma }}_1\mathrm{\setminus }{b}_1$ — конечные множества ребер решетки, а $b_1$ — первый элемент ${\mathrm{\Gamma }}_1$ по отношению к некоторому лексикографическому порядку на ${\left(Z^2\right)}^{\ast }$. Применим кластерное разложение (по всем наборам ребер $beq{b}_1$ ) для изучения разности $Z_{{\mathrm{\Gamma }}_1}-Z_{{\mathrm{\Gamma }}_2}$, где $Z_{\mathrm{\Gamma }}=\int e^{-\lambda V(\mathrm{\Lambda })}d{\phi }_{C_{\mathrm{\Gamma }}}$. Для этого в качестве $\mathcal{B}$ выберем множество ${\left(Z^2\right)}^{\ast }\mathrm{\setminus }{b}_1;X_0=b_1$. Теперь $Z$ является функцией пары $(s,s_{b_1})$. Определим функцию
$$F(\mathrm{\Lambda },s)=\{\begin{array}{lr}Z(\mathrm{\Lambda },s\left({\mathrm{\Gamma }}_2^c\right),0)-Z(\mathrm{\Lambda },s\left({\mathrm{\Gamma }}_2^c\right),1),& b_1\subset \mathrm{\Lambda },\\ Z(\mathrm{\Lambda },s\left({\mathrm{\Gamma }}_2^c\right),0),& b_1\cap \mathrm{\Lambda }=\varnothing .\end{array}$$

Функция $F$ обладает тем свойством, что
$$F(\mathrm{\Lambda },s=1)=Z_{{\mathrm{\Gamma }}_1}-Z_{{\mathrm{\Gamma }}_2}\text{ при }{b}_1\subset \mathrm{\Lambda }.$$

Кроме того, $F$ являстся гладкой, регулярной на бесконечности и свободной прн $s=0$ (последиее свойство выполнено в силу того, что $b_{1}otin\mathcal{B}$ ). Заметим, что $F$ не зависит от переменных $s_b$, отвечающих ребрам $b\in {\mathrm{\Gamma }}_2$, поэтому ${\partial }^{b}F=0$ при $b\in {\mathrm{\Gamma }}_2$. Следовательно, для любого ненулевого члена разложения граф ${\mathrm{\Gamma }}_2$ состоит из ребер Дирихле, и в (18.2.13) можно ввести еще одно ограничение на множества $\mathrm{\Gamma }$, по которым проводится суммирование $\sum _{\mathrm{\Gamma }}$ :
(iii) $\mathrm{I}\cap {\mathrm{\Gamma }}_2=\varnothing$.

Согласно (18.2.13), имеем
$$\begin{array}{rl}F(\mathrm{\Lambda },s=1)& =Z_{{\mathrm{\Gamma }}_1}(\mathrm{\Lambda })-Z_{{\mathrm{\Gamma }}_2}(\mathrm{\Lambda })=\sum _{X}K(b_1,{\mathrm{\Gamma }}_1,X)F(\mathrm{\Lambda }\mathrm{\setminus }X,s(\mathcal{B}\mathrm{\setminus }X))=\\ & =\sum _{X}K(b_1,{\mathrm{\Gamma }}_1,X)Z_{{\mathrm{\Gamma }}_1\cup X^{\ast }}(\mathrm{\Lambda }\mathrm{\setminus }X).\end{array}$$

Здесь $X^{\ast }$ — множество ребер, входящих в $X$. Последнее равенство вытекает из того, что $F(\mathrm{\Lambda }\mathrm{\setminus }X,s(\mathcal{B}\mathrm{\setminus }X)$ ) не зависит от переменных $s_b,b\in \mathrm{Int}X$. Умножим

н разделим почленно на $Z_{\partial \mathrm{\Delta }}(\mathrm{\Delta }{)}^{\lfloor \mathrm{\Lambda }\cap X\mid }$, где $\mathrm{\Delta }$ — один из квадратов решетки. Поскольку
$$Z_{\partial \mathrm{\Delta }}(\mathrm{\Delta }{)}^{|\mathrm{\Lambda }\cap X|}{Z}_{{\mathrm{\Gamma }}_1\cup X^{\ast }}(\mathrm{\Lambda }\mathrm{\setminus }X)=Z_{{\mathrm{\Gamma }}_1\cup X^{\ast }}(\mathrm{\Lambda })$$

то мы получаем (при новом $K$ )
$$Z_{{\mathrm{\Gamma }}_1}=Z_{{\mathrm{\Gamma }}_1\mathrm{\setminus }{b}_1}+\sum _{X}K(b_1,{\mathrm{\Gamma }}_1,X)Z_{{\mathrm{\Gamma }}_1\cup X^{\ast }}(\mathrm{\Lambda }),$$

где новое $K$ равно
$$K(b_1,{\mathrm{\Gamma }}_1,X)=Z_{\partial \mathrm{\Delta }}(\mathrm{\Delta }{)}^{-|\mathrm{\Lambda }\cap X|}\int \sum _{\mathrm{\Gamma }}{\partial }^{\mathrm{\Gamma }\cup b_1}Z(\mathrm{\Lambda }\cap X,s(\mathrm{\Gamma }\cup b_1))ds(\mathrm{\Gamma }\cup b_1).$$

Эти уравнения по своей структуре занимают промежуточное положение между уравнениями Қирквуда — Зальцбурга и уравнениями Майера — Монтролла. Они будут изучены в $\mathrm{\$}18.5$ с целью получения оценок для $Z_{\mathrm{\Gamma }}/Z$, т. е. второго сомножителя в (18.2.15).