Доказательства теорем 18.1.1 и 18.1.2 основаны на разложении, которое мы сейчас построим. Пусть $\mathscr{B}-$ некоторое множество отрезков в $R^{2}$. Нас будут интересовать два основных примера: либо $\mathscr{B}=\left(Z^{2}\right)^{*}$ — множество ребер рещетки, соединяющих соседние узлы в $Z^{2}$, либо $\mathscr{B}=\left(Z^{2}\right)^{*} \backslash \Gamma$, где $\Gamma$ — конечное подмножество в $\left(Z^{2}\right)^{*}$. Отождествим $\Gamma \subset \mathscr{B}$ с подмножеством $\Gamma=\bigcup_{b \in \Gamma} b \subset R^{2}$. Мы будем помечать члены нашего разложения подмножествами $\Gamma \subset \mathscr{B}$. В слагаемом, отвечающем $\Gamma$, выключено взаимодействие ребер
\[
\Gamma^{c}=\mathscr{B} \backslash \Gamma,
\]

что соответствует выбору гауссовой меры с ковариацией Дирихле на $\Gamma^{c}$. В связи с этим ребра $b \Subset \Gamma^{c}$ называют ребрами Дирихле. Каждому ребру $b \in \Gamma$ мы сопоставим величину, определяющую разность между свободной мерой и мерой со взаимодействием, аналогичную разностям в формуле (18.1.1). Эти величины выражаются с помощью производных согласно основной теореме анализа, поэтому ребра $b \in \Gamma$ называют ребрами дифференцирования.

Рассматриваемые нами ковариационные операторы являются выпуклыми линейными комбинациями операторов $C_{\Gamma}$. Для каждого ребра $b \in \mathscr{B}$ введем параметр $s_{b} \in[0,1]$, измеряющий величину взаимодействия через $b$. Значению $s_{b}=0$ отвечает условие Дирихле на $b$, т. е. взаимодействие через $b$ отсутствует, а значению $s_{b}=1$ отвечает полное взаимодействие через $b$. Совокупность величин
\[
s=\left(s_{b}\right)_{b \in \mathscr{B}}
\]

определяет многопараметрическое семейство ковариационных операторов
\[
C(s)=\sum_{\Gamma \in \mathscr{G}} \prod_{b \in \Gamma} s_{b} \prod_{b \in \Gamma^{c}}\left(1-s_{b}\right) C_{\Gamma^{c}}
\]

Поскольку коэффициентами в (18.2.3) являются члены разложения
\[
1=\prod_{b \in \mathscr{S}} 1=\prod_{b \Subset \mathscr{S}}\left[s_{b}+\left(1-s_{b}\right)\right],
\]

то (18.23) действительно представляет собой выпуклую линейную комбинацию операторов $C_{\Gamma}$, как и утверждалось выше. Свободная ковариация есть не что иное, как
\[
C_{\varnothing}=C(1,1, \ldots)=\left(-\Delta+m_{0}^{2}\right)^{-1},
\]

а полностью выключенному взаимодействию отвечает ковариация
\[
C_{\mathscr{B}}=C(0,0, \ldots)=\left(-\Delta_{\mathscr{B}}+m_{0}^{2}\right)^{-1} .
\]

Функция Швингера и статистическая сумма являются, естественно, функциями от s. Мы используем при этом обозначения
\[
\begin{array}{c}
Z(s) S_{s}(x)=Z(\Lambda, s) S_{\Lambda, s}(x)=\int \prod_{i} \varphi\left(x_{i}\right) e^{-\lambda V(\Lambda)} d \varphi_{s}, \\
Z(s)=Z(\Lambda, s)=\int e^{-\lambda V(\Lambda)} d \varphi_{s}, \\
\text { где } \quad d \varphi_{s}=d \varphi_{C(s)}, \quad V(\Lambda)=\int_{\Lambda} \lambda: P(\varphi(x)): d x .
\end{array}
\]

Цель кластеріы разложений состоит в том, чтобы выразить величины, относящиеся к полностыю взаимодействующей теории $\left(s_{b} \equiv 1\right.$ ), с помощью свободных величин, т. е. определяемых невзаимодействующей мерой (и, следовательно, локализованных в конечном объеме). Свободным величинам отвечают значения параметров $s_{0}=0$ для большинства $b \in \mathscr{B}$, и для их записи удобно определить набор $s(\Gamma)=\left\{s\left(\mathrm{I}^{\prime}\right)_{b}\right\}_{b \mathscr{S}^{\beta}}$ следующим образом:
\[
s(\Gamma)_{b}=\left\{\begin{array}{lll}
s_{b} & \text { при } & b \in \mathrm{l}, \\
0 & \text { при } & b
otin \Gamma .
\end{array}\right.
\]

Для конечных $\Gamma$ набор $s(\Gamma)$ определяет граничное условие Дирихле на далеких расстояниях (на $\Gamma^{c}$ ), в то время как $s$ можно представлять себе в виде общих граничных условий на $\Gamma^{c}$, совпадающих с $s(\Gamma)$ на Г. Следующее определение выражает свойство независимости функции $F$ от граничных условий на бесконечности.
Определение 18.2.1. Функция $F(s)$ называется регулярной на бесконечности, если для любого $s$
\[
F(s)=\lim _{\{\Gamma \uparrow \wp: \Gamma \text { конечно }\}} F(s(\Gamma)) .
\]

Предложение 18.2.1. Функции (18.2.4) регулярны на бесконечности. Здесь $\mathscr{B} \subset\left(Z^{2}\right)^{*}$, а сходимость $S$ понимается как сходимость в $\mathscr{P}^{\prime}$.

Поскольку $\Lambda$ фиксировано и ограничено, существование предела (18.2.6) устанавливается элементарно. Предложение следует из (9.1.33), леммы 8.5.2 и теоремы 8.6.2.

ПІервый этап построения кластерного разложения состоит в применении основной теоремы анализа к конечному набору отличных от нуля параметров в $F(s(\Gamma))$. Пусть
\[
\partial^{\Gamma}=\prod_{b \in \Gamma} d / d s_{b} .
\]

Определим частичный порядок на множестве наборов $s$ следующим образом:
\[
\sigma \leqslant s \Leftrightarrow \sigma_{b} \leqslant s_{b} \quad \forall b \in \mathscr{B} .
\]

Предложение 18.2.2. Пусть $F(s)$-гладкая функция, регулярная на бесконечности. Тогда
\[
F(s)=\sum_{(\Gamma \subset \mathscr{H}: \Gamma \text { конечно }\}} \int_{0 \leqslant \sigma \leqslant s(\Gamma)} \partial^{\Gamma} F(\sigma(\Gamma)) d \sigma .
\]

Доказательство. Обозначим $G(s)$ правую часть (18.2.8). Мы утверждаем, что $F(s(B))=G(s(B))$ для любого конечного множества $B \subset \mathscr{B}$. Далее, $G(s(B))$ есть просто сумма (18.2.8), взятая по подмножествам $\Gamma \subset B \subset \mathscr{R}$. Поскольку $F(s)$ регулярна на бесконечности, сходимость суммы в (18.2.8) следует из сделанного утверждения. Сама формула (18.2.8) получается в результате перехода к пределу при $B \uparrow \mathscr{D}$.
Для функции $f\left(s_{b}\right)$ одного переменного положим
\[
\left(\delta^{b} f\right)\left(s_{b}\right)=f\left(s_{b}\right)-f(0)=\int_{0}^{s_{b}} \partial^{b} f\left(\sigma_{b}\right) d \sigma_{b}, \quad\left(E_{0}^{b} f\right)\left(s_{b}\right)=f(0) .
\]

Тогда $I=E_{0}^{b}+\delta^{b} \quad$ (по основной теореме анализа), так что
\[
I=\prod_{b \in B}\left(E_{0}^{b}+\delta^{b}\right)=\sum_{\mathrm{r} \subset B} E_{0}^{B \backslash \mathrm{r}^{\Gamma}} \delta^{\Gamma},
\]

где $\delta^{\Gamma}=\prod_{b \in \Gamma} \delta^{b}, E_{0}^{B \backslash \Gamma}=\prod_{b \in B \backslash \Gamma} E_{0}^{b}$. Легко видеть, что из (18.2.9) вытекает требуемое тождество $F(s(B))=G(s(B))$.

Следующий этап построения кластерного разложения — это факторизация и частичное пересуммирование в (18.2.8). Напишем
\[
R^{2} \backslash \Gamma^{c}=X_{1} \cup X_{2} \cup \ldots \cup X_{r},
\]

где каждое множество $X_{i}$ есть объединение связных компонент и $X_{i} \cap X_{j}=\varnothing$ при $i
eq j$.
Определение 18.2.2. Функция $F(\Lambda, s)$ называется свободной при $s=0$, если она представляется в виде
\[
F(\Lambda, s(\Gamma))=\prod_{i=1}^{r} F\left(\Lambda \cap X_{i}, s\left(\Gamma \cap X_{i}\right)\right)
\]

для любого Г и некоторого разбиения (18.2.10),
Предложение 18.2.3. Для заданного разбиения вида (18.2.10) леры $d \varphi_{s(\mathrm{\Gamma}}$ и $e^{-\lambda v^{\prime}(1)} d \varphi_{s(\Gamma,}$, могут быть представлены в виде прямого произведения $r$ мер, где і-й сомножитель является мерой на $\mathscr{P}^{\prime}\left(X_{i}\right)$.
Доказательство. Поскольку оператор $C(s(\Gamma))$ отвечает условиям Дирихле на $\Gamma^{c}$, то он является прямой суммой операторов $\left.C(s(\Gamma))\right|_{L_{2}\left(x_{i}\right)}$. Факторизация $d \varphi_{S}(\Gamma)$ следует из этого факта и, кроме того, может быть выведена из (9.1.16). Поскольку : $P(\varphi(x))$ : есть локальная функция, $e^{-\lambda V(\Lambda)}$ также факторизуется, что влечет за собой факторизацию меры $e^{-\lambda V(\Lambda)} d \varphi_{s}(\Gamma)$.
Следствие 18.2.4. Функции $Z S$ и $Z$ в (18.2.4) свободны при $s=0$.
С помощью кластерного разложения мы представляем величину $F$ в виде суммы произведений вкладов отдельных связных графов. Мы фиксируем некоторое множество точек (например, $X_{0}=x=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ — переменные в формуле (18.2.4)). По графам, в которых $X_{0}$ не встречается, проводится суммирование, что дает один множитель в выражении для $F$, отвечающий внешней области.

Проследим подробнее за этим суммированием. Сделаем подстановку (18.2.11) в разложение (18.2.8). Тогда
\[
F(\Lambda, s)=\sum_{\Gamma} \prod_{i=1}^{r} \int_{0}^{s\left(\Gamma_{i}\right)} \partial^{\Gamma_{i} F}\left(\Lambda \cap X_{i}, \sigma\left(\Gamma_{i}\right)\right) d \sigma,
\]

где $\Gamma_{i}=\Gamma \cap X_{i}$. Если $X_{i}$ связны, это выражение представляет собой сумму по произведениям связных графов. Выберем теперь в качестве $X_{1}$ в (18.2.10) объединение всех компонент, в которых встречаются точки из $X_{0}$, и пусть $X_{2}$ есть объединение остальных компонент. Фиксируем $X_{1}$ и $\Gamma_{1}$ и просуммируем по всевозможным выборам $\Gamma_{2}$ :
\[
F(\Lambda, s)=\sum_{X_{1}, \Gamma_{1}} \int_{0}^{\left(\Gamma_{1}\right)} \partial^{\Gamma_{1}} F\left(\Lambda \cap X_{1}, \sigma\left(\Gamma_{1}\right)\right) d \sigma \sum_{\Gamma_{2}} \int_{0}^{\left(\Gamma_{2}\right)} \partial^{\Gamma_{2}} F\left(\Lambda \cap X_{2}, \sigma\left(\Gamma_{2}\right)\right) d \sigma .
\]

Во второй сумме $\Gamma_{2}$ пробегает все конечные множества ребер в $\mathscr{B} \backslash \bar{X}_{1}$. Поэтому сумма по $\Gamma_{2}$ может быть вычислена с помощью (18.2.8) как функция вида $F\left(\Lambda \cap X_{2}, s\left(\mathscr{\mathscr { S }} \backslash \bar{X}_{1}\right)\right)$. Полагая $X=\bar{X}_{1}$ и обозначая $\Gamma_{1}$ просто $\Gamma$, приходим к разложению
\[
\begin{aligned}
F(\Lambda, s) & =\sum_{X} K\left(X_{0}, X\right) F(\Lambda \backslash X, s(\mathscr{B} \backslash X)), \\
K\left(X_{0}, X\right) & =\sum_{\Gamma} \int_{0}^{s(\Gamma)} \partial^{\Gamma} F(\Lambda \cap X, \sigma(\Gamma)) d \sigma .
\end{aligned}
\]

В этих суммах $X$ пробегает все конечные объединения замкнутых квадратов решетки, содержащие $X_{0}$, а в качестве $\Gamma$ может быть выбрано любое подмножество $\mathscr{B}$, такое, что

—————————————————————-
0014ru_fiz_kvan_book28_no_photo_page-0351.jpg.txt

350
Гл. 18. Кластерные разложения
(i) в каждой компоненте $X \backslash \Gamma^{c}$ встречается точка из $X_{0}$;
(ii) $\Gamma \subset \operatorname{Int} X$.

Если для заданного $X$ таких $\Gamma$ не существует, то $K\left(X_{0}, X\right) \equiv 0$.
Теорема 18.2.5. Пусть множество $X_{0}$ ограничено, а функция $F$ является гладкой, регулярной на бесконечности и свободной при $s=0$. Тогда имеет место кластерное разложение (18.2.13).
Пример 1. Пусть $\mathscr{B}=\left(Z^{2}\right)^{*}$ — множество всех ребер решетки и $X_{0}=\left\{x_{1}, \ldots\right.$ $\left.\ldots, x_{n}\right\}$. Положим $F=Z S$ (см. (18.2.4)). Тогда при $s=1$
\[
\begin{aligned}
F(\Lambda \backslash X, s(\mathscr{B} \backslash X))=\int e^{-\lambda V(\Lambda \backslash X)} d \varphi_{s(\mathscr{S} \backslash X)} & = \\
& =Z(\Lambda \backslash X, s(\mathscr{A} \backslash X)) \equiv Z_{\partial X}(\Lambda \backslash X),
\end{aligned}
\]

поскольку изменение граничных условий внутри $X$ не изменяет интеграла. Разделив на $Z$, мы получим, в силу (18.2.13),
\[
S_{\Lambda}(x)=\sum_{X, \Gamma} \int \partial^{\Gamma} \int \prod_{i} \varphi\left(x_{i}\right) e^{-\lambda V(\Lambda \cap X)} d \varphi_{s(\Gamma)} d s(\Gamma) \frac{Z_{\partial X}(\Lambda \backslash X)}{Z(\Lambda)} .
\]

Представив $X \backslash \Gamma^{c}$ как объединение связных компонент, мы можем факторизовать интеграл в (18.2.15) так же, как в формуле (18.2.12).
Пример 2. Пусть $\Gamma_{1} \subset\left(Z^{2}\right)^{*}$ и $\Gamma_{2}=\Gamma_{1} \backslash b_{1}$ — конечные множества ребер решетки, а $b_{1}$ — первый элемент $\Gamma_{1}$ по отношению к некоторому лексикографическому порядку на $\left(Z^{2}\right)^{*}$. Применим кластерное разложение (по всем наборам ребер $b
eq b_{1}$ ) для изучения разности $Z_{\Gamma_{1}}-Z_{\Gamma_{2}}$, где $Z_{\Gamma}=\int e^{-\lambda V(\Lambda)} d \varphi_{C_{\Gamma}}$. Для этого в качестве $\mathscr{B}$ выберем множество $\left(Z^{2}\right)^{*} \backslash b_{1} ; X_{0}=b_{1}$. Теперь $Z$ является функцией пары $\left(s, s_{b_{1}}\right)$. Определим функцию
\[
F(\Lambda, s)=\left\{\begin{array}{lr}
Z\left(\Lambda, s\left(\Gamma_{2}^{c}\right), 0\right)-Z\left(\Lambda, s\left(\Gamma_{2}^{c}\right), 1\right), & b_{1} \subset \Lambda, \\
Z\left(\Lambda, s\left(\Gamma_{2}^{c}\right), 0\right), & b_{1} \cap \Lambda=\varnothing .
\end{array}\right.
\]

Функция $F$ обладает тем свойством, что
\[
F(\Lambda, s=1)=Z_{\Gamma_{1}}-Z_{\Gamma_{2}} \quad \text { при } \quad b_{1} \subset \Lambda .
\]

Кроме того, $F$ являстся гладкой, регулярной на бесконечности и свободной прн $s=0$ (последиее свойство выполнено в силу того, что $b_{1}
otin \mathscr{B}$ ). Заметим, что $F$ не зависит от переменных $s_{b}$, отвечающих ребрам $b \in \Gamma_{2}$, поэтому $\partial^{b} F=0$ при $b \in \Gamma_{2}$. Следовательно, для любого ненулевого члена разложения граф $\Gamma_{2}$ состоит из ребер Дирихле, и в (18.2.13) можно ввести еще одно ограничение на множества $\Gamma$, по которым проводится суммирование $\sum_{\Gamma}$ :
(iii) $\mathrm{I} \cap \Gamma_{2}=\varnothing$.

Согласно (18.2.13), имеем
\[
\begin{aligned}
F(\Lambda, s=1) & =Z_{\Gamma_{1}}(\Lambda)-Z_{\Gamma_{2}}(\Lambda)=\sum_{X} K\left(b_{1}, \Gamma_{1}, X\right) F(\Lambda \backslash X, s(\mathscr{B} \backslash X))= \\
& =\sum_{X} K\left(b_{1}, \Gamma_{1}, X\right) Z_{\Gamma_{1} \cup X^{*}}(\Lambda \backslash X) .
\end{aligned}
\]

Здесь $X^{*}$ — множество ребер, входящих в $X$. Последнее равенство вытекает из того, что $F\left(\Lambda \backslash X, s(\mathscr{B} \backslash X)\right.$ ) не зависит от переменных $s_{b}, b \in \operatorname{Int} X$. Умножим

н разделим почленно на $Z_{\partial \Delta}(\Delta)^{\lfloor\Lambda \cap X \mid}$, где $\Delta$ — один из квадратов решетки. Поскольку
\[
Z_{\partial \Delta}(\Delta)^{|\Lambda \cap X|} Z_{\Gamma_{1} \cup X^{*}}(\Lambda \backslash X)=Z_{\Gamma_{1} \cup X^{*}}(\Lambda)
\]

то мы получаем (при новом $K$ )
\[
Z_{\Gamma_{1}}=Z_{\Gamma_{1} \backslash b_{1}}+\sum_{X} K\left(b_{1}, \Gamma_{1}, X\right) Z_{\Gamma_{1} \cup X^{*}}(\Lambda),
\]

где новое $K$ равно
\[
K\left(b_{1}, \Gamma_{1}, X\right)=Z_{\partial \Delta}(\Delta)^{-|\Lambda \cap X|} \int \sum_{\Gamma} \partial^{\Gamma \cup b_{1}} Z\left(\Lambda \cap X, s\left(\Gamma \cup b_{1}\right)\right) d s\left(\Gamma \cup b_{1}\right) .
\]

Эти уравнения по своей структуре занимают промежуточное положение между уравнениями Қирквуда — Зальцбурга и уравнениями Майера — Монтролла. Они будут изучены в $\$ 18.5$ с целью получения оценок для $Z_{\Gamma} / Z$, т. е. второго сомножителя в (18.2.15).