Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Простейшими из корреляционных неравенств являются неравенства Гриффитса, которые утверждают, что для ферромагнитных взаимодействий общего вида математические ожидания и парные корреляционные функции положительны, т. е. Здесь $A=\left\{a_{t}\right\}$ есть подмножество точек решетки $i$, взятых с кратностями $a_{i}$, обозначает произведение спиновых переменных. Пусть задан полиномиальный гамильтониан Гамильтониан (4.1.3) называется ферромагнитным, если $J_{A} \geqslant 0$ для всех $A$. Говорят, что гамильтониан порождается взаимодействием ближайших соседей, если $J_{A}=0$ для всех подмножеств $A$, 8а исключением тех, которые состоят из одной точки решетки или из двух соседних точек. Пусть $d \mu_{i}\left(\xi_{i}\right)$ — распределение вероятностей отдельного спина, т. е. некоторая мера на $R$. Предположим, что для любого $N$ выполнено следующее условие: Определим статистическую сумму где $d \mu(\xi)=\prod_{i} d \mu_{i}\left(\xi_{i}\right)$. Среднее $\langle F\rangle$ от функции $F(\xi)$ по этой мере равно Для доказательства неравенств (4.1.1) рассмотрим две решетки и два набора спиновых переменных Наборы $\xi, \chi$ можно рассматривать как координаты в $R^{n} \oplus R^{n}$. Введем также повернутую систему координат Обратное преобразование координат задается формулами Мономы $\chi^{A}, t^{A}, q^{A}$ определяются так же, как и выше. Кроме того, для функции $F=F(\xi, \chi)$ определим среднее Если функция $F$ зависит только от $\xi$ или только от $\chi$, то (4.1.8) совпадает с (4.1.6). Доказательство. Разложим экспоненту в (4.1.6) в ряд Тейлора. Учитывая (4.1.4), можно поменять порядок суммирования и иптегрирования, так что Поскольку $Z=\int e^{-H} \prod_{i=1}^{n} d \mu_{i}\left(\xi_{i}\right) \geqslant 0$, достаточно показать, что каждое слагаемое неотрицательно. Возводя в степень $\left(\sum_{B} \cdots\right)^{I}$ и учитывая, что $0 \leqslant J_{B}$, мы сводим все к доказательству неравенств Но из симметрии мер $d \mu_{i}$ вытекает, что интеграл $\int \xi_{l}^{c_{i}} d \mu_{i}\left(\xi_{i}\right)$ или равен нулю (когда $C_{l}$ нечетно), или положителен (когда $C_{i}$ четно). Лемма 4.1.2. Для любого $A$ функция $2^{|A| / 2}\left(\xi^{A} \pm \chi^{A}\right)=(q+t)^{A} \pm$ $\pm(q-t)^{A}$ является ферромагнитным полиномом переменных $q u t$ (т. е. полиномом с положительными коэффициентами). Доказательство. По формуле бинома Ньютона имеем При сложении или вычитании этих разложений члены разных знаков сокращаются, а члены одного знака являются ферромагнитными. Доказательство. По лемме 4.1.2 $H(\xi)+H(\chi)$ есть ферромагнитный полином от переменных $q, t$. Как и в теореме 4.1.1, разлагая в ряд экспоненту $e^{-(H(\xi)+H(\chi))}$, мы сводим (4.1.10) к неравенству где $a_{i}, b_{i} \geqslant 0$ — целые числа. Используя симметрию меры $d \mu$, получаем, что Отсюда видно, что мера (4.1.13) симметрична относительно преобразований $(q, t) \rightarrow(-q, t)$ и $(q, t) \rightarrow(-q,-t)$. Следовательно, интеграл (4.1.12) или равен нулю (если $a_{i}$ или $b_{i}$ нечетны), или положителен (если $a_{i}$ и $b_{i}$ четны). Докажем теперь неравенство (4.1.11). С помощью переменной $\chi$ перепишем левую часть (4.1.11): эде $|A|=\sum_{i=1}^{n} a_{i}$. Қак видно из леммы 4.1.2, в квадратных скобках стоит ферромагнитный полином, поэтому из (4.1.10) следует, что математическое ожидание неотрицательно.
|
1 |
Оглавление
|