Простейшими из корреляционных неравенств являются неравенства Гриффитса, которые утверждают, что для ферромагнитных взаимодействий общего вида математические ожидания и парные корреляционные функции положительны, т. е.
\[
\begin{array}{l}
\left\langle\xi^{A}\right\rangle \geqslant 0 \text { первое неравенство Гриффитса } \\
\text { (теорема 4.1.1); } \\
\left\langle\xi^{A} \xi^{B}\right\rangle-\left\langle\xi^{A}\right\rangle\left\langle\xi^{B}\right\rangle \geqslant 0 \text { второе неравенство Гриффитса } \\
\text { (теорема 4.1.3). } \\
\end{array}
\]

Здесь $A=\left\{a_{t}\right\}$ есть подмножество точек решетки $i$, взятых с кратностями $a_{i}$,
\[
\xi^{A} \equiv \prod_{i} \xi_{i}^{a_{i}}
\]

обозначает произведение спиновых переменных. Пусть задан полиномиальный гамильтониан
\[
H=-\sum_{A} J_{A} \xi^{A} .
\]

Гамильтониан (4.1.3) называется ферромагнитным, если $J_{A} \geqslant 0$ для всех $A$. Говорят, что гамильтониан порождается взаимодействием ближайших соседей, если $J_{A}=0$ для всех подмножеств $A$, 8а исключением тех, которые состоят из одной точки решетки или из двух соседних точек. Пусть $d \mu_{i}\left(\xi_{i}\right)$ – распределение вероятностей отдельного спина, т. е. некоторая мера на $R$. Предположим, что для любого $N$ выполнено следующее условие:
\[
\int|\xi|^{N} e^{|H(\xi)|} \prod_{i=1}^{n} d \mu_{i}\left(\xi_{i}\right)<\infty .
\]

Определим статистическую сумму
\[
Z=\int e^{-H(\xi)} d \mu(\xi)
\]

где $d \mu(\xi)=\prod_{i} d \mu_{i}\left(\xi_{i}\right)$. Среднее $\langle F\rangle$ от функции $F(\xi)$ по этой мере равно
\[
\langle F\rangle=\frac{1}{Z} \int F(\xi) e^{-H(\xi)} d \mu(\xi)
\]
(здесь обозначения отличаются от введенных в гл. 2 выделением из меры $d \mu$ множителя $\left.e^{-H(\xi)}\right)$. Неравенства Гриффитса справедливы для средних вида (4.1.6), где $H$-ферромагнитный гамильтониан.

Для доказательства неравенств (4.1.1) рассмотрим две решетки и два набора спиновых переменных
\[
\xi=\left(\xi_{1}, \ldots, \xi_{n}\right), \quad \chi=\left(\chi_{1}, \ldots, \chi_{n}\right) .
\]

Наборы $\xi, \chi$ можно рассматривать как координаты в $R^{n} \oplus R^{n}$. Введем также повернутую систему координат
\[
t_{i}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\xi_{i}+\chi_{i}\right), \quad q_{i}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\xi_{i}-\chi_{i}\right) .
\]

Обратное преобразование координат задается формулами
\[
\xi_{i}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(t_{i}+q_{i}\right), \quad \chi_{i}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(t_{i}-q_{i}\right) .
\]

Мономы $\chi^{A}, t^{A}, q^{A}$ определяются так же, как и выше. Кроме того, для функции $F=F(\xi, \chi)$ определим среднее
\[
\langle F\rangle=Z^{-2} \int F(\xi, \chi) e^{-(H(\xi)+H(\chi))} d \mu(\xi) d \mu(\chi) .
\]

Если функция $F$ зависит только от $\xi$ или только от $\chi$, то (4.1.8) совпадает с (4.1.6).
Теорема 4.1.1. Пусть Н-ферромагнитный гамильтониан, меры $d \mu_{i}\left(\xi_{i}\right)$ симметричны относительно преобразования $\xi_{i} \rightarrow-\xi_{i}, u$, кроме того, выполнено условие (4.1.4). Тогда все моменты меры (4.1.6) неотрицательны:
\[
\left\langle\xi^{A}\right\rangle \geqslant 0 .
\]

Доказательство. Разложим экспоненту в (4.1.6) в ряд Тейлора. Учитывая (4.1.4), можно поменять порядок суммирования и иптегрирования, так что
\[
\left\langle\xi^{A}\right\rangle=Z^{-1} \sum_{j=0}^{\infty} \frac{1}{j !} \int\left(\sum_{B} J_{B} \xi^{B}\right)^{f} \xi^{A} \prod_{i=1}^{n} d \mu_{i}\left(\xi_{l}\right) .
\]

Поскольку $Z=\int e^{-H} \prod_{i=1}^{n} d \mu_{i}\left(\xi_{i}\right) \geqslant 0$, достаточно показать, что каждое слагаемое неотрицательно. Возводя в степень $\left(\sum_{B} \cdots\right)^{I}$ и учитывая, что $0 \leqslant J_{B}$, мы сводим все к доказательству неравенств
\[
0 \leqslant \prod_{i=1}^{n} \int \xi_{l}^{c_{i}} d \mu_{i}\left(\xi_{i}\right)=\int \xi^{c} \prod_{i=1}^{n} d \mu_{i}\left(\xi_{l}\right)
\]

Но из симметрии мер $d \mu_{i}$ вытекает, что интеграл $\int \xi_{l}^{c_{i}} d \mu_{i}\left(\xi_{i}\right)$ или равен нулю (когда $C_{l}$ нечетно), или положителен (когда $C_{i}$ четно).

Лемма 4.1.2. Для любого $A$ функция $2^{|A| / 2}\left(\xi^{A} \pm \chi^{A}\right)=(q+t)^{A} \pm$ $\pm(q-t)^{A}$ является ферромагнитным полиномом переменных $q u t$ (т. е. полиномом с положительными коэффициентами).

Доказательство. По формуле бинома Ньютона имеем
\[
\begin{array}{l}
(q+t)^{A}=\sum_{0 \leqslant b_{i} \leqslant a_{i}} \prod_{i=1}^{n}\left(\begin{array}{c}
a_{i} \\
b_{i}
\end{array}\right) q_{i}^{a_{i}-b_{i} b_{i}}, \\
(q-t)^{A}=\sum_{0 \leqslant b_{i} \leqslant a_{i}}(-1)^{n} \prod_{i=1}^{b_{i}} \prod_{i=1}^{n}\left(\begin{array}{l}
a_{i} \\
b_{i}
\end{array}\right) q_{i}^{a_{i}-b_{i} b_{i}} .
\end{array}
\]

При сложении или вычитании этих разложений члены разных знаков сокращаются, а члены одного знака являются ферромагнитными.
Теорема 4.1.3. В предположениях предыдущей теоремы
\[
\begin{array}{r}
\left\langle q^{A} t^{B}\right\rangle \geqslant 0, \\
\left\langle\xi^{A} \xi^{B}\right\rangle-\left\langle\xi^{A}\right\rangle\left\langle\xi^{B}\right\rangle \geqslant 0 .
\end{array}
\]

Доказательство. По лемме 4.1.2 $H(\xi)+H(\chi)$ есть ферромагнитный полином от переменных $q, t$. Как и в теореме 4.1.1, разлагая в ряд экспоненту $e^{-(H(\xi)+H(\chi))}$, мы сводим (4.1.10) к неравенству
\[
\int q_{i}^{a_{i}} t_{i}^{b_{i}} d \mu_{i}\left(\xi_{i}\right) d \mu_{i}\left(x_{i}\right) \geqslant 0
\]

где $a_{i}, b_{i} \geqslant 0$ – целые числа. Используя симметрию меры $d \mu$, получаем, что
\[
\begin{aligned}
d \mu(\xi) d \mu(\chi) & =d \mu\left(2^{-1 / 2}(q+t)\right) d \mu\left(2^{-1 / 2}(q-t)\right)= \\
& =d \mu\left(2^{-1 / 2}(-q-t)\right) d \mu\left(2^{-1 / 2}(-q+t)\right) .
\end{aligned}
\]

Отсюда видно, что мера (4.1.13) симметрична относительно преобразований $(q, t) \rightarrow(-q, t)$ и $(q, t) \rightarrow(-q,-t)$. Следовательно, интеграл (4.1.12) или равен нулю (если $a_{i}$ или $b_{i}$ нечетны), или положителен (если $a_{i}$ и $b_{i}$ четны).

Докажем теперь неравенство (4.1.11). С помощью переменной $\chi$ перепишем левую часть (4.1.11):
\[
\begin{aligned}
\left\langle\xi^{A} \xi^{B}\right\rangle-\left\langle\xi^{A}\right\rangle\left\langle\xi^{B}\right\rangle & =\left\langle\xi^{A}\left(\xi^{B}-\chi^{B}\right)\right\rangle= \\
& =2^{-(|A|+|B|) / 2}\left\langle(t+q)^{A}\left[(t+q)^{B}-(t-q)^{B}\right]\right\rangle,
\end{aligned}
\]

эде $|A|=\sum_{i=1}^{n} a_{i}$. Қак видно из леммы 4.1.2, в квадратных скобках стоит ферромагнитный полином, поэтому из (4.1.10) следует, что математическое ожидание неотрицательно.