Продолжая изученне свободных полей, мы хотим определить понятие частицы в пространстве
$$\mathcal{H}=L_2({\mathcal{J}}^{\prime }\left(R^{d-1}\right),d{\phi }_{(2\mu {)}^{-1}}).$$

Как и в случае систем с одной степеньто свободы (§1.5), это эквивалентно разложению пространства $\mathcal{C}$ по полиномам Эрмита, поскольку $n$-частичные состояния в $\mathcal{H}$ совпадают с подпространством, порожденным всеми полиномами Эрмита $n$-й степени. Это разложение приводит к хорошо известной конструкции пространства Фока. Представление Эрмита — Фока применимо к любой гауссовой мере, поэтому ради большей общности рассмотрим произвольную гауссову меру $d\phi$ с с характеристическим функционалом (6.2.2). В качестве технического средства нам понадобится формула интегрирования по частям. Положим
$$⟨f,C\frac{\delta }{\delta \phi }⟩=\int f(x)C(x,y)\frac{\delta }{\delta \phi (y)}dxdy.$$

Здесь $C(x,y)$ — интегральное ядро ковариационного оператора, а $\delta /\delta \phi (y)$ — производная по $\phi$ (см. $\mathrm{\S }9.1)$.
Теорема 6.3.1. Пусть $A(\phi )$ — полином, определенный на пространстве ${\mathcal{P}}^{\prime }\left(R^d\right)$, а $C$ — непрерывная билинейная форма на $\mathcal{P}\left(R^d\right)\times$
$$\int \phi (f)A(\phi )d{\phi }_C=\int ⟨f,C\frac{\delta }{\delta \phi }⟩A(\phi )d{\phi }_C.$$

Доказательство. Сначала докажем эту формулу для $A=e^{i\phi (g)}$. К полиномам можно будет перейти при помоци линейных комбинаций экспонент и взятня предела. Пусть
$$F(\lambda )=\int e^{i\phi (g+\lambda f)}d{\phi }_C=e^{-⟨g+\lambda f,C(g+\lambda f)⟩/2}.$$

Тогда
$$\begin{array}{rl}i\int \phi (f)e^{i\phi (g)}d{\phi }_C& =F^{\prime }(0)=-⟨f,Cg⟩e^{-(g,Cg⟩/2}=\\ & =-⟨f,Cg⟩\int e^{i\phi (g)}d{\phi }_C=i\int ⟨f,C\frac{\delta }{\delta \phi }⟩e^{i\phi (g)}d{\phi }_C.\end{array}$$

Замечание. Полученная формула интегрирования по частям продолжается по непрерывности на значительно более широкий класс функций $A(\phi )$ и оказывается весьма полезной во многих случаях (см. §9.1).
Определение 6.3.2. Пусть $\mathcal{P}$ — вещественное предгильбертово пространство. Представлением канонических коммутационных соотношений на $\mathcal{S}$ называется пара линейных отображений $f\to a(f)$, $g\to a^{\ast }(g)$ из $\mathcal{S}$ в пространство операторов $a(f)$ и $a^{\ast }(g)$, определенных на плотном множестве $\mathcal{D}$ комплексного гильбертова пространства $\mathcal{H}$, такая, что для любых $A,A_1,A_2\in \mathcal{D}$ и любых функций $f$ и $g$ из $\mathcal{S}$ справедливы соотношення
$$\begin{array}{c}a(f)\mathcal{D}\subset \mathcal{D},a^{\ast }(g)\mathcal{D}\subset \mathcal{D},\\ ⟨A_1,a(f)A_2⟩=⟨a^{\ast }(f)A_1,A_2⟩,\\ [a(f),a(g)]=[a^{\ast }(f),a^{\ast }(g)]=0,\\ [a(f),a^{\ast }(g)]A=⟨f,g⟩A.\end{array}$$

Это представление называется фоковым, если существует единичный вектор $\mathrm{\Omega }\in \mathcal{H}$, такой, что для всех $f\in \mathcal{P}$
$$a(f)\mathrm{\Omega }=0,$$

а множество $\mathcal{D}$ представляет собой линейную оболочку векторов $a^{\ast }\left(f_1\right)\dots a^{\ast }\left(f_n\right)\mathrm{\Omega },n=0,1,\dots$.
Пример. Пусть ${\mathcal{F}}_n$ — пространство симметрических $L_2$-функций на $R^{nd}$. В част* ности, ${\mathcal{F}}_0$ — множество комплексных чисел. Определим
$$\mathcal{F}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\mathcal{F}}_n,\mathrm{\Omega }=1\in {\mathcal{F}}_0$$

Обозначим через $S_n$ симметризацию, т.е. проекцию пространства $L_2\left(R^{\text{nd }}\right)$ на ${\mathcal{F}}_{{\mathit{n}}_n}$ и пусть $\mathcal{D}$ — линейная оболочка в $\mathcal{F}$ вектора $\mathrm{\Omega }$ и векторов вида
$$f(x_1,\dots ,x_n)=S_n{f}_1\left(x_1\right)\dots f_n\left(x_n\right),$$

где $f_i\in \mathcal{I}\left(R^d\right)$, а $n=1,2,\dots$. Для таких функций $f$ определим операторы $a$ и $a^{\ast }$ на $\mathcal{D}$ формулами
$$\begin{array}{rl}(a^{\ast }(g)f)(x_1,\dots ,x_{n+1})& =(n+1{)}^{1/2}{S}_{n+1}g\left(x_{n+1}\right)f(x_1,\dots ,x_n),\\ (a(g)f)(x_1,\dots ,x_{n-1})& =n^{1/2}\int g\left(x_n\right)f(x_1,\dots ,x_n)d{x}_n.\end{array}$$

Непосредственные вычисления показывают, что равенства (6.3.5) задают фоково представление канонических коммутационных соотношений.

Переходя к следующему примеру фокова представления, возьмем $\mathcal{H}=L_2({\mathcal{D}}^{\prime }\left(R^d\right),d{\phi }_c),\mathrm{\Omega }=1$, а множество $\mathcal{D}$ определим как пространство многочленов на ${\mathcal{S}}^{\prime }\left(R^d\right)$. Рассмотрим $\phi (f)$ (это линейная координатная функция на ${\mathcal{P}}^{\prime }\left(R^d\right)$ ) как оператор умножения на пространстве $\mathcal{H}$ с областью определения $\mathcal{D}$. Тогда $\phi (f)\mathcal{D}\subset \mathcal{D}\subset \mathcal{H}$. Как и в формуле (6.3.2), пусть
$$\pi (f)=-i⟨f,\delta /\delta \phi ⟩+2^{-1}i\phi \left(C^{-1}f\right).$$

Если обратный оператор $C^{-1}$ действует из $\mathcal{S}\left(R^d\right)$ в $\mathcal{P}\left(R^d\right)$, то к тому же

$\pi (f)\mathcal{D}\subset \mathcal{D}$ и можно проверить, что $\phi$ п $\pi$ как операторы на $\mathcal{D}$ симметричны и удовлетворяют соотноцениям
$$\begin{array}{l}[\phi (f),\pi (g)]=i⟨f,g⟩I,\\ [\phi (f),\phi (g)]=0=[\pi (f),\pi (g)].\end{array}$$

Теорема 6.3.3. Допустим, что у оператора С существует квадратныи корень $C^{1/2}$ и что $C^{\pm 1/2}$ — операторы из $\mathcal{I}\left(R^d\right)$ в $\mathcal{S}\left(R^d\right)$. Тогда, если положить
$$\begin{array}{l}a(f)=2^{-1}\phi \left(C^{-1/2}f\right)+i\pi \left(C^{1/2}f\right),\\ a^{\ast }(f)=2^{-1}\phi \left(C^{-1/2}f\right)-i\pi \left(C^{1/2}f\right),\end{array}$$

то операторы а, а* задают фоково представление канониеских коммутационных соотношений.

Доказательство. Коммутационные соотношения для $a$, $a^{\ast }$ следуют из соотношений для $\phi$ и $\pi$. Так как $\mathrm{\Omega }\equiv 1$ и $a(f)=⟨C^{-1/2},\delta /\delta \phi ⟩$, то $a(f)\mathrm{\Omega }=0$. Соотношенне между $a$ и $a^{\ast }$ следует из того, что $\phi$ симметричен (как оператор умножения на вещественную функцию) и оператор $\pi$ тоже симметричен (по теореме 6.3.2).

Наконец, разложение Эрмита пространства $L_2({\mathcal{P}}^{\prime }\left(R^d\right),d{\phi }_C)$ получается при помощи отождествлений
$$\mathcal{H}=L_2({\mathcal{P}}^{\prime }\left(R^d\right),d{\phi }_C)=\mathcal{F},$$

которые допустимы в силу единственности фокова представления, доказываемой ниже.
Теорема 6.3.4. Пусть $\{a_i,a_i^{\ast }\},i=1,2,-$ два фоксвых представления канониеских коммутационных соотношений на $\mathcal{D}$ с вакуумными векторами ${\mathrm{\Omega }}_i$. Тогда они унитарно эквивалентны и, более того, оператор $U$, устанавливающий эту эквивалентность, однозначно определен требованием $U{\mathrm{\Omega }}_1={\mathrm{\Omega }}_2$.

Доказательство. Положим
$$A_i=a_i^{\ast }\left(f_1\right)\dots a_i^{\ast }\left(f_n\right){\mathrm{\Omega }}_i,B_i=a_i^{\ast }\left(g_1\right)\dots a_i^{\ast }\left(g_m\right){\mathrm{\Omega }}_i.$$

Мы убедимся, что $⟨A_1,B_1⟩=⟨A_2,B_2⟩$, так что оператор $U$, определенный равенством $U{A}_1=A_2$ и продолженный по линейности (и непрерывности) до унитарного оператора из ${\mathcal{H}}_1$ в ${\mathcal{H}}_2$, устанавливает требуемую эквивалентность. Если $U^{\prime }$ — какой-нибудь другой оператор, устанавливающий унитарную эквивалентность и такой, что $U^{\prime }{\mathrm{\Omega }}_1={\mathrm{\Omega }}_2$, то с неизбежностью $U^{\prime }{A}_1=A_2$, т. е. $U=U^{\prime }$, и тем самым $U$ единствен.
Из коммутационных соотношеннй и равенства $a_i{\mathrm{\Omega }}_i=0$ следует, что
$$\begin{array}{l}⟨A_i,B_i⟩=\\ =\sum _{j=1}^m⟨f_1,g_j⟩⟨a_i^{\ast }\left(g_1\right)\dots a_i^{\ast }\left(g_{j-1}\right)a_i^{\ast }\left(g_{j+1}\right)\dots a_i^{\ast }\left(g_m\right){\mathrm{\Omega }}_i,a_i^{\ast }\left(f_2\right)\dots a_i^{\ast }\left(f_n\right){\mathrm{\Omega }}_l⟩.\end{array}$$

Поэтому, пользуясь индукцней по $m$, получим окончательно, что $⟨A_1,B_1⟩=$ $=⟨A_2,B_2⟩$.

Определение 6.3.5. Подпространство ${\mathcal{F}}_n\subset \mathcal{F}$ называется $n$-частичным подпространством $\mathcal{F}$. Пусть $f={\left\{f_n\right\}}_{n=0}$, где $f_n\in {\mathcal{F}}_n$, разложение вектора $f\in \mathcal{F}$ на $n$-частичные компоненты. Оператор $Nf={\left\{n{f}_n\right\}}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$ с областью определения
$$\mathcal{D}(N)=\{f:f\in \mathcal{F},\sum n^2{\Vert f_n\Vert }^2<\mathrm{\infty }\}$$

называется оператором числа частиц.
Фоково представление облегчает построение ортогональных полиномов Эрмита. Пусть $E_n$ — ортогональная проекция пространства $\mathcal{F}$ на $n$-частичное подпространство ${\mathcal{F}}_n$. Так как $\phi =$ $=c^{1/2}(a^{\ast }+a)$, то полиномы степени $n$ порождают пространство $\sum _{j=0}^n{\mathcal{F}}_j$. Поэтому процесс ортогонализации мономов степени $n$ можно определить формулой
$$:\phi \left(f_1\right)\dots \phi \left(f_n\right):=E_n\phi \left(f_1\right)\dots \phi \left(f_n\right),$$

и, в частности,
$$:\phi (j{)}^n:=c^{n/2}(c^{-1/2}\phi (f)),$$

где $P_n(x)$ — полином Эрмита от одной переменной, определенный формулами (1.5.12), (1.5.13), а нормирующий множитель $c$ теперь равен
$$c=⟨f,Cf⟩=\int \phi (f{)}^{2}d{\phi }_C$$

вместо нормировки $⟨Q^2⟩=1/2$ в формуле (1.5.18). Продолжим по линейности виково двоеточие : : на многочлены и сходящиеся степенные ряды. Тогда, в силу (1.5.12), получим, что
$$:e^{\phi (f)}:=\sum \frac{:\phi (f{)}^n:}{n!}=e^{-c/2}{e}^{\phi (f)}.$$

В следующей формуле заключены многие комбинаторные факты, связанные с мономами Вика:
$$\int :e^{\phi (f)}::e^{\phi (g)}:d{\phi }_C=e^{-((f,Cf)+(g,Cg)/2}\int e^{\phi (f+g)}d{\phi }_C.$$

В частности, положив $f=\sum {\alpha }_i{f}_i,g=\sum {\beta }_j{g}_j$, применив к обеим частям равенства (6.3.11) дифференцирование $\prod _{i=1}^n\left(d/d{\alpha }_i\right)\prod _{j=1}^m\left(d/d{\beta }_j\right)$, а затем подставив $\alpha =\beta =0$, получим тождество
$$\begin{array}{rl}\int :\prod _{i=1}^n\phi \left(f_i\right)::\prod _{j=1}^m\phi \left(g_j\right):d{\phi }_C& =\\ =& {\delta }_{nm}\sum _{\pi \in {\mathcal{E}}_n}⟨f_1,C{g}_{\pi (1)}⟩\cdots ⟨f_n,C{g}_{\pi (n)}⟩,\end{array}$$

где ${\mathrm{\Im }}_n$ — группа из $n$ ! перестановок $\pi$ чисел $\{1,2,\dots ,n\}$. Сравнение полученного представления с фоковым осуществляется с помощью формулы
$$:\prod _{i=1}^n\phi \left(f_i\right):\mathrm{\Omega }=\prod _{i=1}^n\left(a^{\ast }\left(C^{1/2}f\right)\right)\mathrm{\Omega }.$$

Вернемся теперь к свободному полю с ковариацией $C=$ $={(-\mathrm{\Delta }+m^2)}^{-1}$ и представлением (6.2.18). Имеем
$$\mathcal{H}={\mathcal{E}}_0=\mathcal{F}=L_2({\mathcal{P}}^{\prime }\left(R^{d-1}\right),d{\phi }_{(2\mu {)}^{-1}}).$$

Здесь $\mathcal{F}=\sum {\mathcal{F}}_n$ — фоково представление для полей в нулевой момент времени, определенное гауссовой мерой на ${\mathcal{D}}^{\prime }\left(R^{d-1}\right)$ с ковариацией $(2\mu {)}^{-1},\mu ={(-\mathrm{\Delta }+m^2)}^{1/2}$. Пусть ${\mu }_j$ — действие $\mu$ на $j$-ю переменную функции $f_n\in {\mathcal{F}}_n$. Для $f\in \mathcal{D}(H)$, где
$$\mathcal{D}(H)=\{f\in \mathcal{F}:f_n\in \mathcal{D}\left({\mu }_j\right),\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\Vert \sum _{j=1}^n{\mu }_j{f}_n\Vert }^2<\mathrm{\infty }\},$$

положим
$$Hf={\left\{H{f}_n\right\}}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}={\left\{\sum _{j=1}^n{\mu }_f{f}_n\right\}}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}.$$

Теорема 6.3.6. В фоковом представлении (6.3.14) гамильтониан свободного поля определяется соотношениями (6.3.15) $и$, кроме того,
$$e^{-ttH}{f}_n=\left(\prod _{j=1}^n{e}^{-it{\mu }_j}\right)f_n.$$

Замечание. Формула (6.3.16) означает, что каждая из частиц в $f_n$ движется под действием свободной динамики независимо от остальных частиц и, более того, ее движение совпадает с движением одной частицы в ${\mathcal{F}}_1$ под действием динамики $e^{-it\mu }$. Символически $H$ можно записать в виде $H=\int \mu (k)a^{\ast }(k)a(k)dk$.
Доказательство. Рассматривая все функции в нулевой момент времени, имеем, в силу аналитического продолжения и следствия $6.2.7,e^{-itH}{e}^{i\phi (f)}=\exp \left(i\phi \left(e^{-it\mu f}\right)\right)$. Согласно формуле (6.3.10), получаем, что
$$e^{-itH}:e^{i\phi (f)}:=\exp \left[(⟨e^{-it\mu }f,(2\mu {)}^{-1}{e}^{-it\mu }f⟩-⟨f,(2\mu {)}^{-1}f⟩)/2\right]:\exp \left(i\phi \left(e^{-it\mu }f\right)\right):$$

Так как группа унитарна, то выражение под знаком первой экспоненты в правой части на самом деле равно нулю. Разложение в соответствии с (6.3.10) приводит к равенству $e^{-itH}:\phi (n{)}^n:=:\phi {\left(e^{-it\mu }\right)}^n:$. Воспользовавшись представлением (6.3.14) с тем, чтобы отождествить $\mathcal{F}$. с $L_2\left({\mathcal{P}}^{\prime }\left(R^{d-1}\right)\right)$, получим равенство $(6.3.16)$.

Теорема 6.3.7. В пространстве $\mathcal{H}=\mathcal{F}$ гамильтониан свободного поля можно записать в виде
$$H={\int }_{t=0}H(\mathbf{x})d\mathbf{x}={\int }_{t=0}{a}^{\ast }(\mathbf{x})\mu a(\mathbf{x})d\mathbf{x},$$

где плотность энергии равна
$$H(x)=\frac{1}{2}:{\pi }^2(x):+\frac{1}{2}:(abla\phi {)}^2(x):+\frac{1}{2}{m}^2:{\phi }^2(x):.$$

Доказательство. Разлагая $a(\mathbf{x}{)}^{\ast }a(\mathbf{x})$ с использованием формул перехода (6.3.7), в которых положено $C=(2\mu {)}^{-1}$, приходим к написанному выше выражению для $H(\mathbf{x})$.