Продолжая изученне свободных полей, мы хотим определить понятие частицы в пространстве
\[
\mathscr{H}=L_{2}\left(\mathscr{J}^{\prime}\left(R^{d-1}\right), d \varphi_{(2 \mu)^{-1}}\right) .
\]

Как и в случае систем с одной степеньто свободы (§1.5), это эквивалентно разложению пространства $\mathscr{C}$ по полиномам Эрмита, поскольку $n$-частичные состояния в $\mathscr{H}$ совпадают с подпространством, порожденным всеми полиномами Эрмита $n$-й степени. Это разложение приводит к хорошо известной конструкции пространства Фока. Представление Эрмита — Фока применимо к любой гауссовой мере, поэтому ради большей общности рассмотрим произвольную гауссову меру $d \varphi$ с с характеристическим функционалом (6.2.2). В качестве технического средства нам понадобится формула интегрирования по частям. Положим
\[
\left\langle f, C \frac{\delta}{\delta \varphi}\right\rangle=\int f(x) C(x, y) \frac{\delta}{\delta \varphi(y)} d x d y .
\]

Здесь $C(x, y)$ — интегральное ядро ковариационного оператора, а $\delta / \delta \varphi(y)$ — производная по $\varphi$ (см. $\S 9.1)$.
Теорема 6.3.1. Пусть $A(\varphi)$ — полином, определенный на пространстве $\mathscr{P}^{\prime}\left(R^{d}\right)$, а $C$ — непрерывная билинейная форма на $\mathscr{P}\left(R^{d}\right) \times$
\[
\int \varphi(f) A(\varphi) d \varphi_{C}=\int\left\langle f, C \frac{\delta}{\delta \varphi}\right\rangle A(\varphi) d \varphi_{C} .
\]

Доказательство. Сначала докажем эту формулу для $A=e^{i \varphi(g)}$. К полиномам можно будет перейти при помоци линейных комбинаций экспонент и взятня предела. Пусть
\[
F(\lambda)=\int e^{i \varphi(g+\lambda f)} d \varphi_{C}=e^{-\langle g+\lambda f, C(g+\lambda f)\rangle / 2} .
\]

Тогда
\[
\begin{aligned}
i \int \varphi(f) e^{i \varphi(g)} d \varphi_{C} & =F^{\prime}(0)=-\langle f, C g\rangle e^{-(g, C g\rangle / 2}= \\
& =-\langle f, C g\rangle \int e^{i \varphi(g)} d \varphi_{C}=i \int\left\langle f, C \frac{\delta}{\delta \varphi}\right\rangle e^{i \varphi(g)} d \varphi_{C} .
\end{aligned}
\]

Замечание. Полученная формула интегрирования по частям продолжается по непрерывности на значительно более широкий класс функций $A(\varphi)$ и оказывается весьма полезной во многих случаях (см. §9.1).
Определение 6.3.2. Пусть $\mathscr{P}$ — вещественное предгильбертово пространство. Представлением канонических коммутационных соотношений на $\mathscr{S}$ называется пара линейных отображений $f \rightarrow a(f)$, $g \rightarrow a^{*}(g)$ из $\mathscr{S}$ в пространство операторов $a(f)$ и $a^{*}(g)$, определенных на плотном множестве $\mathscr{D}$ комплексного гильбертова пространства $\mathscr{H}$, такая, что для любых $A, A_{1}, A_{2} \in \mathscr{D}$ и любых функций $f$ и $g$ из $\mathscr{S}$ справедливы соотношення
\[
\begin{array}{c}
a(f) \mathscr{D} \subset \mathscr{D}, \quad a^{*}(g) \mathscr{D} \subset \mathscr{D}, \\
\left\langle A_{1}, a(f) A_{2}\right\rangle=\left\langle a^{*}(f) A_{1}, A_{2}\right\rangle, \\
{[a(f), a(g)]=\left[a^{*}(f), a^{*}(g)\right]=0,} \\
{\left[a(f), a^{*}(g)\right] A=\langle f, g\rangle A .}
\end{array}
\]

Это представление называется фоковым, если существует единичный вектор $\Omega \in \mathscr{H}$, такой, что для всех $f \in \mathscr{P}$
\[
a(f) \Omega=0,
\]

а множество $\mathscr{D}$ представляет собой линейную оболочку векторов $a^{*}\left(f_{1}\right) \ldots a^{*}\left(f_{n}\right) \Omega, n=0,1, \ldots$.
Пример. Пусть $\mathscr{F}_{n}$ — пространство симметрических $L_{2}$-функций на $R^{n d}$. В част* ности, $\mathscr{F}_{0}$ — множество комплексных чисел. Определим
\[
\mathscr{F}=\sum_{n=0}^{\infty} \mathscr{F}_{n}, \quad \Omega=1 \in \mathscr{F}_{0}
\]

Обозначим через $S_{n}$ симметризацию, т.е. проекцию пространства $L_{2}\left(R^{\text {nd }}\right)$ на $\mathscr{F}_{\boldsymbol{n}_{n}}$ и пусть $\mathscr{D}$ — линейная оболочка в $\mathscr{F}$ вектора $\Omega$ и векторов вида
\[
f\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=S_{n} f_{1}\left(x_{1}\right) \ldots f_{n}\left(x_{n}\right),
\]

где $f_{i} \in \mathscr{I}\left(R^{d}\right)$, а $n=1,2, \ldots$. Для таких функций $f$ определим операторы $a$ и $a^{*}$ на $\mathscr{D}$ формулами
\[
\begin{aligned}
\left(a^{*}(g) f\right)\left(x_{1}, \ldots, x_{n+1}\right) & =(n+1)^{1 / 2} S_{n+1} g\left(x_{n+1}\right) f\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right), \\
(a(g) f)\left(x_{1}, \ldots, x_{n-1}\right) & =n^{1 / 2} \int g\left(x_{n}\right) f\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) d x_{n} .
\end{aligned}
\]

Непосредственные вычисления показывают, что равенства (6.3.5) задают фоково представление канонических коммутационных соотношений.

Переходя к следующему примеру фокова представления, возьмем $\mathscr{H}=L_{2}\left(\mathscr{D}^{\prime}\left(R^{d}\right), d \varphi_{c}\right), \Omega=1$, а множество $\mathscr{D}$ определим как пространство многочленов на $\mathscr{S}^{\prime}\left(R^{d}\right)$. Рассмотрим $\varphi(f)$ (это линейная координатная функция на $\mathscr{P}^{\prime}\left(R^{d}\right)$ ) как оператор умножения на пространстве $\mathscr{H}$ с областью определения $\mathscr{D}$. Тогда $\varphi(f) \mathscr{D} \subset \mathscr{D} \subset \mathscr{H}$. Как и в формуле (6.3.2), пусть
\[
\pi(f)=-i\langle f, \delta / \delta \varphi\rangle+2^{-1} i \varphi\left(C^{-1} f\right) .
\]

Если обратный оператор $C^{-1}$ действует из $\mathscr{S}\left(R^{d}\right)$ в $\mathscr{P}\left(R^{d}\right)$, то к тому же

$\pi(f) \mathscr{D} \subset \mathscr{D}$ и можно проверить, что $\varphi$ п $\pi$ как операторы на $\mathscr{D}$ симметричны и удовлетворяют соотноцениям
\[
\begin{array}{l}
{[\varphi(f), \pi(g)]=i\langle f, g\rangle I,} \\
{[\varphi(f), \varphi(g)]=0=[\pi(f), \pi(g)] .}
\end{array}
\]

Теорема 6.3.3. Допустим, что у оператора С существует квадратныи корень $C^{1 / 2}$ и что $C^{ \pm 1 / 2}$ — операторы из $\mathscr{I}\left(R^{d}\right)$ в $\mathscr{S}\left(R^{d}\right)$. Тогда, если положить
\[
\begin{array}{l}
a(f)=2^{-1} \varphi\left(C^{-1 / 2} f\right)+i \pi\left(C^{1 / 2} f\right), \\
a^{*}(f)=2^{-1} \varphi\left(C^{-1 / 2} f\right)-i \pi\left(C^{1 / 2} f\right),
\end{array}
\]

то операторы а, а* задают фоково представление канониеских коммутационных соотношений.

Доказательство. Коммутационные соотношения для $a$, $a^{*}$ следуют из соотношений для $\varphi$ и $\pi$. Так как $\Omega \equiv 1$ и $a(f)=\left\langle C^{-1 / 2}, \delta / \delta \varphi\right\rangle$, то $a(f) \Omega=0$. Соотношенне между $a$ и $a^{*}$ следует из того, что $\varphi$ симметричен (как оператор умножения на вещественную функцию) и оператор $\pi$ тоже симметричен (по теореме 6.3.2).

Наконец, разложение Эрмита пространства $L_{2}\left(\mathscr{P}^{\prime}\left(R^{d}\right), d \varphi_{C}\right)$ получается при помощи отождествлений
\[
\mathscr{H}=L_{2}\left(\mathscr{P}^{\prime}\left(R^{d}\right), d \varphi_{C}\right)=\mathscr{F},
\]

которые допустимы в силу единственности фокова представления, доказываемой ниже.
Теорема 6.3.4. Пусть $\left\{a_{i}, a_{i}^{*}\right\}, i=1,2,-$ два фоксвых представления канониеских коммутационных соотношений на $\mathscr{D}$ с вакуумными векторами $\Omega_{i}$. Тогда они унитарно эквивалентны и, более того, оператор $U$, устанавливающий эту эквивалентность, однозначно определен требованием $U \Omega_{1}=\Omega_{2}$.

Доказательство. Положим
\[
A_{i}=a_{i}^{*}\left(f_{1}\right) \ldots a_{i}^{*}\left(f_{n}\right) \Omega_{i}, \quad B_{i}=a_{i}^{*}\left(g_{1}\right) \ldots a_{i}^{*}\left(g_{m}\right) \Omega_{i} .
\]

Мы убедимся, что $\left\langle A_{1}, B_{1}\right\rangle=\left\langle A_{2}, B_{2}\right\rangle$, так что оператор $U$, определенный равенством $U A_{1}=A_{2}$ и продолженный по линейности (и непрерывности) до унитарного оператора из $\mathscr{H}_{1}$ в $\mathscr{H}_{2}$, устанавливает требуемую эквивалентность. Если $U^{\prime}$ — какой-нибудь другой оператор, устанавливающий унитарную эквивалентность и такой, что $U^{\prime} \Omega_{1}=\Omega_{2}$, то с неизбежностью $U^{\prime} A_{1}=A_{2}$, т. е. $U=U^{\prime}$, и тем самым $U$ единствен.
Из коммутационных соотношеннй и равенства $a_{i} \Omega_{i}=0$ следует, что
\[
\begin{array}{l}
\left\langle A_{i}, B_{i}\right\rangle= \\
\quad=\sum_{j=1}^{m}\left\langle f_{1}, g_{j}\right\rangle\left\langle a_{i}^{*}\left(g_{1}\right) \ldots a_{i}^{*}\left(g_{j-1}\right) a_{i}^{*}\left(g_{j+1}\right) \ldots a_{i}^{*}\left(g_{m}\right) \Omega_{i}, a_{i}^{*}\left(f_{2}\right) \ldots a_{i}^{*}\left(f_{n}\right) \Omega_{l}\right\rangle .
\end{array}
\]

Поэтому, пользуясь индукцней по $m$, получим окончательно, что $\left\langle A_{1}, B_{1}\right\rangle=$ $=\left\langle A_{2}, B_{2}\right\rangle$.

Определение 6.3.5. Подпространство $\mathscr{F}_{n} \subset \mathscr{F}$ называется $n$-частичным подпространством $\mathscr{F}$. Пусть $f=\left\{f_{n}\right\}_{n=0}$, где $f_{n} \in \mathscr{F}_{n}$, разложение вектора $f \in \mathscr{F}$ на $n$-частичные компоненты. Оператор $N f=\left\{n f_{n}\right\}_{n=0}^{\infty}$ с областью определения
\[
\mathscr{D}(N)=\left\{f: f \in \mathscr{F}, \sum n^{2}\left\|f_{n}\right\|^{2}<\infty\right\}
\]

называется оператором числа частиц.
Фоково представление облегчает построение ортогональных полиномов Эрмита. Пусть $E_{n}$ — ортогональная проекция пространства $\mathscr{F}$ на $n$-частичное подпространство $\mathscr{F}_{n}$. Так как $\varphi=$ $=c^{1 / 2}\left(a^{*}+a\right)$, то полиномы степени $n$ порождают пространство $\sum_{j=0}^{n} \mathscr{F}_{j}$. Поэтому процесс ортогонализации мономов степени $n$ можно определить формулой
\[
: \varphi\left(f_{1}\right) \ldots \varphi\left(f_{n}\right):=E_{n} \varphi\left(f_{1}\right) \ldots \varphi\left(f_{n}\right),
\]

и, в частности,
\[
: \varphi(j)^{n}:=c^{n / 2}\left(c^{-1 / 2} \varphi(f)\right),
\]

где $P_{n}(x)$ — полином Эрмита от одной переменной, определенный формулами (1.5.12), (1.5.13), а нормирующий множитель $c$ теперь равен
\[
c=\langle f, C f\rangle=\int \varphi(f)^{2} d \varphi_{C}
\]

вместо нормировки $\left\langle Q^{2}\right\rangle=1 / 2$ в формуле (1.5.18). Продолжим по линейности виково двоеточие : : на многочлены и сходящиеся степенные ряды. Тогда, в силу (1.5.12), получим, что
\[
: e^{\varphi(f)}:=\sum \frac{: \varphi(f)^{n}:}{n !}=e^{-c / 2} e^{\varphi(f)} .
\]

В следующей формуле заключены многие комбинаторные факты, связанные с мономами Вика:
\[
\int: e^{\varphi(f)}:: e^{\varphi(g)}: d \varphi_{C}=e^{-((f, C f)+(g, C g) / 2} \int e^{\varphi(f+g)} d \varphi_{C} .
\]

В частности, положив $f=\sum \alpha_{i} f_{i}, g=\sum \beta_{j} g_{j}$, применив к обеим частям равенства (6.3.11) дифференцирование $\prod_{i=1}^{n}\left(d / d \alpha_{i}\right) \prod_{j=1}^{m}\left(d / d \beta_{j}\right)$, а затем подставив $\alpha=\beta=0$, получим тождество
\[
\begin{aligned}
\int: \prod_{i=1}^{n} \varphi\left(f_{i}\right):: \prod_{j=1}^{m} \varphi\left(g_{j}\right): d \varphi_{C} & = \\
= & \delta_{n m} \sum_{\pi \in \mathscr{E}_{n}}\left\langle f_{1}, C g_{\pi(1)}\right\rangle \cdots\left\langle f_{n}, C g_{\pi(n)}\right\rangle,
\end{aligned}
\]

где $\Im_{n}$ — группа из $n$ ! перестановок $\pi$ чисел $\{1,2, \ldots, n\}$. Сравнение полученного представления с фоковым осуществляется с помощью формулы
\[
: \prod_{i=1}^{n} \varphi\left(f_{i}\right): \Omega=\prod_{i=1}^{n}\left(a^{*}\left(C^{1 / 2} f\right)\right) \Omega .
\]

Вернемся теперь к свободному полю с ковариацией $C=$ $=\left(-\Delta+m^{2}\right)^{-1}$ и представлением (6.2.18). Имеем
\[
\mathscr{H}=\mathscr{E}_{0}=\mathscr{F}=L_{2}\left(\mathscr{P}^{\prime}\left(R^{d-1}\right), d \varphi_{(2 \mu)^{-1}}\right) .
\]

Здесь $\mathscr{F}=\sum \mathscr{F}_{n}$ — фоково представление для полей в нулевой момент времени, определенное гауссовой мерой на $\mathscr{D}^{\prime}\left(R^{d-1}\right)$ с ковариацией $(2 \mu)^{-1}, \mu=\left(-\Delta+m^{2}\right)^{1 / 2}$. Пусть $\mu_{j}$ — действие $\mu$ на $j$-ю переменную функции $f_{n} \in \mathscr{F}_{n}$. Для $f \in \mathscr{D}(H)$, где
\[
\mathscr{D}(H)=\left\{f \in \mathscr{F}: f_{n} \in \mathscr{D}\left(\mu_{j}\right), \sum_{n=1}^{\infty}\left\|\sum_{j=1}^{n} \mu_{j} f_{n}\right\|^{2}<\infty\right\},
\]

положим
\[
H f=\left\{H f_{n}\right\}_{n=0}^{\infty}=\left\{\sum_{j=1}^{n} \mu_{f} f_{n}\right\}_{n=0}^{\infty} .
\]

Теорема 6.3.6. В фоковом представлении (6.3.14) гамильтониан свободного поля определяется соотношениями (6.3.15) $и$, кроме того,
\[
e^{-t t H} f_{n}=\left(\prod_{j=1}^{n} e^{-i t \mu_{j}}\right) f_{n} .
\]

Замечание. Формула (6.3.16) означает, что каждая из частиц в $f_{n}$ движется под действием свободной динамики независимо от остальных частиц и, более того, ее движение совпадает с движением одной частицы в $\mathscr{F}_{1}$ под действием динамики $e^{-i t \mu}$. Символически $H$ можно записать в виде $H=\int \mu(k) a^{*}(k) a(k) d k$.
Доказательство. Рассматривая все функции в нулевой момент времени, имеем, в силу аналитического продолжения и следствия $6.2 .7, e^{-i t H} e^{i \varphi(f)}=\exp \left(i \varphi\left(e^{-i t \mu f}\right)\right)$. Согласно формуле (6.3.10), получаем, что
\[
e^{-i t H}: e^{i \varphi(f)}:=\exp \left[\left(\left\langle e^{-i t \mu} f,(2 \mu)^{-1} e^{-i t \mu} f\right\rangle-\left\langle f,(2 \mu)^{-1} f\right\rangle\right) / 2\right]: \exp \left(i \varphi\left(e^{-i t \mu} f\right)\right):
\]

Так как группа унитарна, то выражение под знаком первой экспоненты в правой части на самом деле равно нулю. Разложение в соответствии с (6.3.10) приводит к равенству $e^{-i t H}: \varphi(n)^{n}:=: \varphi\left(e^{-i t \mu}\right)^{n}:$. Воспользовавшись представлением (6.3.14) с тем, чтобы отождествить $\mathscr{F}$. с $L_{2}\left(\mathscr{P}^{\prime}\left(R^{d-1}\right)\right)$, получим равенство $(6.3 .16)$.

Теорема 6.3.7. В пространстве $\mathscr{H}=\mathscr{F}$ гамильтониан свободного поля можно записать в виде
\[
H=\int_{t=0} H(\mathbf{x}) d \mathbf{x}=\int_{t=0} a^{*}(\mathbf{x}) \mu a(\mathbf{x}) d \mathbf{x},
\]

где плотность энергии равна
\[
H(x)=\frac{1}{2}: \pi^{2}(x):+\frac{1}{2}:(
abla \varphi)^{2}(x):+\frac{1}{2} m^{2}: \varphi^{2}(x): .
\]

Доказательство. Разлагая $a(\mathbf{x})^{*} a(\mathbf{x})$ с использованием формул перехода (6.3.7), в которых положено $C=(2 \mu)^{-1}$, приходим к написанному выше выражению для $H(\mathbf{x})$.