Теория рассеяния изучает асимптотическое поведение при $t\to \pm \mathrm{\infty }$ решений
$$\theta (t)=e^{-itH}\theta (0)$$

уравнения Шредингера $i\dot{\theta }=H\theta$. Поскольку для собственного или обобщенного собственного вектора $\theta$ оператора $H$ с собственным значением $\omega$ справедливо равенство $\theta (t)=e^{it\omega }\theta (0)$, эта задача по существу сводится к спектральному анализу оператора $H$. В трансляционно-инвариантном случае, когда операторы $H$ и P коммутируют, для них ищут совместное спектральное разложение. Однако задача о совместном спектре не проста, поэтому, чтобы ее корректно поставить, вернемся к формуле (13.1.1).

При больших значениях параметра $|t|$ волновая функция $\theta (t)$ распадается на части, отвечающие отдельным изолированным невзаимодействующим частицам и кластерам (связанным состояниям). Это разделение происходит в $x$-пространстве, а его следствием является существование оператора свободной энергии $H_0$, который описывает движение невзаимодействующих отдельных частиц и связанных состояний. При $t\to \pm \mathrm{\infty }$ мы выбираем такой обобщенный собственный вектор $\theta$ оператора $H$, что асимптотика $\theta (t)$ определяется свободной динамикой $e^{-it{H}_0}$. Такие собственные векторы определяют спектральное in/out-разложение оператора H. Унитарный оператор, переводящий одно из этих разложений в другое, можно рассматривать как оператор, переводящий асимптотические режимы при $t\to -\mathrm{\infty }$ в асимптотические режимы при $t\to +\mathrm{\infty }$. Он называется $S$-матрицей.

В релятивистской теории поля in/out-асимптотики описываются свободными полями (см. гл. 6), обозначаемыми, например, ${\phi }_{\text{in/out. }}$ Эти in/out-поля действуют в пространстве Фока $\mathcal{F}$, а векторами ${\theta }_{\text{in/out }}\in \mathcal{T}$ помечены асимптотики квантового поля при больших $|t|$. В случае, когда в теории содержится несколько типов частиц (элементарные частицы и связанные состояния), им соответствуют и несколько in/out-полей, которые действуют в тензорном произведении пространств Фока ${\mathcal{F}}_1\otimes {\mathcal{F}}_2\otimes \dots =\mathcal{F}$. В силу лоренц-инвариантности спектр энергии-импульса лежит на гиперболоидах вида $M={(P_0^2-{\mathbf{P}}^2)}^{1/2}$ (рис. 13.1). Пусть ${\mathcal{H}}_{\mu }$ обозначает собственное подпространство оператора $M$, отвечающее собственному значению $\mu$. Для многочастичного подпространства
$\mathcal{H}⩾2m$ на рис. 13.1 изображены порог $M=m+m_b$ частица — связанное состояние и трехчастичный порог $M=3m$.

Асимптотическая полнота — это утверждение о том, что все состояния квантового поля помечаются состояниями в пространстве $\mathcal{F}$ асимптотического свободного поля. Точнее, дискретный спектр оператора $M$ (а также спектр оператора спина и другие «внутренние» квантовые числа, входящие в теорию) определяет одночастичные подпространства в сомножителях ${\mathcal{F}}_1,{\mathcal{F}}_2,\dots$ пространства $\mathcal{F}$, которое в свою очередь описывает многочастичные состояния, составленные из этих масс, спинов и внутренних

Рис. 13.1.

квантовых чисел. Если асимптотическая полнота имеет место, то в теории нет никаких других состояний, кроме этих многочастичных состояний.

В § 13.2 мы обсудим случай так называемого многочастичного потенциального рассеяния. С тем чтобы изложить теорию рассеяния в ее наиболее изученном виде, мы построим волновые операторы и $S$-матрицу. Остаток главы мы посвятим описанию нестационарных методов в квантовой теории поля. Обобщением методов, с помощью которых строятся волновые операторы и $S$-матрица, на случай теории поля получают, в частности, и конструкцию Хаага — Рюэля.

Исходным пунктом теории Хаага— Рюэля является предположение ${}^1$ ) о существовании изолирозанного собственного значения $m$ у массового оператора $M$. В дополнение к этому предполагается, что поле $\phi$ удовлетворяет аксиомам Вайтмана. В итоге будут построены многочастичные состояния. Эти состояния фактически являются асимптотическими входящими и выходящими многочас-
1) Для частиц нулевой массы это предположение неверно. И хотя в теории рассеяния для частиц нулевой массы достигнуты большие успехи, адекватного обобщения нестационарных методов на этот случай не существует.

Гл. 13. Теория рассеяния: нестационарные методы
тичными состояниями для рассеяния частиц массы $m$. В случае, когда теория поля описывает много типов частиц и связанных состояний, конструкцию Хаага — Рюэля можно использовать для построения многочастичных состояний с $n_1$ частицами первого типа, $n_2$ частицами второго типа и т. д. Единственным изначальным требованнем по-прежнему остается наличие у оператора $M$ изолированного собственного значения $m_i$ для каждой частицы или связанного состояния.

Пространства ${\mathcal{H}}_{\text{in/out }}$, построенные с помощью теории Хаага Рюэля, -это подпространства $\mathcal{C}$. Они имеют естественную структуру пространства Фока и изоморфны пространству $\mathcal{F}$, элементами которого помечены состояния рассеяния. На самом деле можно отождествить пространство $\mathcal{F}$ с пространством ${\mathcal{H}}_{\text{іп }}$ или ${\mathcal{H}}_{\text{out }};$ как следствие получаем равенство ${\mathcal{H}}_{\text{in }}={\mathcal{H}}_{\text{out }}(=\mathcal{F})$. Таким образом, теория Хаага-Рюэля дает конкретное представление для пространств ${\mathcal{H}}_{\text{in/out }}$.

Затронутый выше вопрос об асимптотической полноте — это вопрос о справедливости равенства ${\mathcal{H}}_{\text{in/out }}=\mathcal{H}$. Имеются физические основания ожидать такой полноты. Другими словами, мы считаем, что каждое состояние физической системы можно рассматривать либо как составленное из частиц (в том числе из связанных состояний), либо как распадающееся в такое состояние со временем. Примером ситуации, когда асимптотическая полнота нарушена, служит пространство Фока, в котором имеются лишь векторы с четным числом частиц. Таким образом, одночастичные состояния никогда не появляются в такой теории. Если бы для теории поля в пространстве $\mathcal{H}$ пространство ${\mathcal{H}}_{\text{in }}$ состояло только из таких четночастичных состояний (называемых солитонными парными состояниями), то можно было бы заключить, что для адекватного описания физической картины основное пространство $\mathcal{H}$ нуждается в расширении. С точки зрения теории Хаага Рюэля (или с физической точки зрения) такие примеры патологичны. С другой стороны, доказательство соотношения ${\mathcal{H}}_{\text{in/out }}=$ $=\mathcal{H}$ даже для конкретных примеров квантовых полей, построенных в части II, является серьезной (и открытой) математической проблемой. Частичные результаты (относящиеся к малым энергиям и слабым связям) описаны в гл. 14.
$S$-матрица может быть выражена в терминах хронологически упорядоченных функций Вайтмана (формализм Лемана-Симанзика — Циммермана). Таким образом, в некотором смысле $S$-матрица может быть эффективно вычислена. При изучении спектра частиц и связанных состояний (т. е. пространств ${\mathcal{H}}_m$ ), а также асимптотической полноты используется уравнение Бете Солпитера. Оно является в теории поля аналогом стационарных методов в теории потенциального рассеяния. Согласно этой аналогии, ядро Бете-Солпитера $K$ соответствует потенциалу $V$ в теории рассеяния. Аналогия становится точной в нерелятивистском пределе $c\to \mathrm{\infty }$, когда после соответствующего изменения масштаба $K$ сходится к $V$.
В теории поля ядро $K$ считается вторичным объектом, так как оно не фигурирует ни в выражении оператора энергии, ни в уравнениях движения. Придерживаясь этой традиции, для (голого) взаимодействия, скажем $:{\phi }^4:$, можно вывести требуемые свойства ядра $K$ (во всяком случае для малых значений константы связи). В этом выводе используются высокотемпературные кластерные разложения (гл. 18).