При доказательстве сходимости волновых операторов в теории поля мы используем тот же метод, что и в случае потенциального рассеяния, но сталкиваемся при этом с новой трудностью. Условия убывания потенциала, например $V_{i j} \in L_{2}$ (как мы предполагали в § 13.2), заменяются в теории поля требованием убывания усеченных вакуумных средних. Эти специальные корреляционные функции в определенном смысле отражают свойства многочастичных взаимодействий. Трудность состоит в том, что это убывание не предполагается, а выводится из исходных принципов (из аксиом или же выбора лагранжиана взаимодействия). Мы начнем этот параграф с того, что обойдем эту трудность, предположив требуемый характер убывания.

Для любого заданного семейства $n$-точечных функций (например, функций Вайтмана $\mathscr{W}_{n}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ ) определим усеченные функции $\mathscr{W}_{n}^{T}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ формулами
\[
\begin{array}{c}
\mathscr{W}_{n}=\sum_{\pi \in \mathscr{D} P} \prod_{P} \mathscr{W}_{|P|}^{T}\left(x_{i_{1}}, \ldots, x_{t_{\mid P} \mid}\right), \\
\mathscr{W}_{n}^{T}=\sum_{\pi \in \mathscr{D}}(-1)^{|\pi|+1}(|\pi|-1) ! \prod_{P \in \pi} \mathscr{W}_{|P|}\left(x_{i_{1}}, \ldots, x_{i_{|P|} \mid}\right) .
\end{array}
\]

Здесь $\mathscr{P}$ обозначает совокупность всех разбиений множества $\{1, \ldots, n\}, \quad \pi=\left\{P_{1}, \ldots, P_{|\pi|}\right\} \in \mathscr{P}$ – разбиение, $\quad$ a $p=\left\{i_{1}, \ldots\right.$ $\left.\ldots, i_{\mid P\}}\right\}$-элемент $\pi$. Комбинаторные рассуждения, известные под названием теоремы Мёбиуса, показывают, что формулы (13.5.1) и (13.5.2) дают эквивалентные определения усеченных функций $\mathscr{W}^{T}$ в терминах функций $\mathscr{W}$.

Пусть, как и выше, \# означает, что $\psi$, возможно, заменено своей производной по времени, и ноложим
\[
\mathscr{F}_{n}\left(\mathbf{x}_{1}, \ldots, \mathbf{x}_{n}\right)=\left\langle\Omega,{ }^{\#} \psi_{m_{1}}\left(0, \mathbf{x}_{1}\right) \ldots{ }^{\#} \psi_{m_{n}}\left(0, \mathbf{x}_{n}\right) \Omega\right\rangle .
\]

Теорема 13.5.1. В предположениях теоремы 13.3.2 $\mathscr{F}_{n}^{T}$ как функция разности переменных $\mathbf{x}_{1}-\mathbf{x}_{j}$ является обобщенной функцией умеренного роста.
Доказательство теоремы 13.3.2. Обозначим $\theta(t)$ левую часть равенства (13.3.10), усредпенную с основными функциями $f, f$. Предположим, что разные функции имеют непересекающиеся носители в пространстве скоростей. Тогда
\[
\left\|\theta\left(t_{1}\right)-\theta\left(t_{2}\right)\right\| \leqslant \int_{t_{1}}^{t_{2}}\|d \theta(t) / d t\| d t,
\]

и норму $\|d \theta(t) / d t\|^{2}$ можно выразить через скалярное произведение (13.5.3), которое в свою очередь разлагается в сумму произведений усеченных средних $\mathscr{F}_{n}^{T}$.

Каждый член, содержащий сомножитель $\mathscr{F}_{1}^{T}$, равен нулю, так как $\psi_{m} \Omega \oplus \mathscr{G}_{m} \perp \Omega$ и, значит, $\left\langle\Omega, \psi_{m} \Omega\right\rangle=0$. Каждый член, содержащий только сомножители вида $\mathscr{F}_{2}^{T}$, тоже равен нулю. В самом деле, такой член содержит множитель с производной по времени, а именно
\[
\left\langle e^{-i t H}\left\{G_{m_{i}}(-t)\left(\begin{array}{l}
\psi_{m_{i}}\left(0, \mathbf{x}_{i}\right) \Omega \\
\dot{\psi}_{m_{i}}\left(0, \mathrm{x}_{i}\right) \Omega
\end{array}\right)\right\}, \frac{d}{d t} e^{-i t H^{\#}}\left\{G_{m_{j}}(-t)\left(\begin{array}{l}
\psi_{m_{j}}\left(0, \mathrm{x}_{j}\right) \Omega \\
\dot{\psi}_{m_{j}}\left(0, \mathrm{x}_{j}\right) \Omega
\end{array}\right)\right\}\right\rangle .
\]

Однако для векторов $\psi_{m} \Omega$ и $\dot{\psi}_{m} \Omega$ свободная и физическая динамика (определенные соответственно однопараметрическими группами $G_{m}(t)$ и $e^{-i t H}$ ) совпадают, так как \# $\psi \Omega \in \mathscr{H}_{m}$. ІІоэтому, принимая во внимание знак минус в каждом $G_{m}(-t)$, заметим, что любой вектор (до применения $d / d t$ ) в скалярном произведении не зависит от времени. Применение производной по времени обращает произведение в нуль.

Теперь перейдем к рассмотрению слагаемых, содержащих хотя бы один сомножитель $\mathscr{F}_{j}^{T}, j \geqslant 3$. В этом случае производная $d / d t$ не играет никакой роли. В сомножителе $\mathscr{F}_{j}^{T}$ некоторые из точек относятся к полям $\psi_{m}$ из левой части скалярного произведения $\langle\cdot \Omega, \cdot \Omega\rangle$, а некоторые – из правой части. Поскольку $j \geqslant 3$, то по крайней мере две точки относятся к одной части. Основные функции для этих двух точек имеют непересекающиеся носители в пространстве скоростей. Поэтому соответствующие конусы скоростей не пересекаются. Вне конуса скоростей свободное поле $G_{m}(-t) f$ быстро убывает; то же самое происходит и внутри конуса, но только за счет убывания $\mathscr{F}_{j}^{T}$ как функции разности $\mathbf{x}_{i_{1}}-\mathbf{x}_{i_{2}}$. Отсюда следует, что члены, содержащие множитель $\mathscr{F}_{j}^{T}$, при $j \geqslant 3$ быстро убывают.

Из этого доказательства видно, что предел вектора (13.3.10) при $t \rightarrow \pm \infty$ определяется не зависящими от времени произведениями сомножителей $\mathscr{F}_{2}^{T}$. Этот предел, как можно убедиться, порождается свободным полем $\varphi$. Из сказанного следует, что $W^{ \pm}$- изометрин.

Обратимся теперь к доказательству теоремы 13.5.1. Его ключом служит свойство быстрого убывания функций $\mathscr{F}^{T}$ при пространственно-подобном удалении переменных, что в свою очередь есть следствие предположения о массовой щели. Мы знаем, что $\mathscr{F}^{T}$ является обобщенной функцией умеренного роста по относительной переменной $\mathbf{x}_{\text {rel }}$ тогда и только тогда, когда преобразование Фурье $\widetilde{\mathscr{F}^{T}}\left(\mathbf{p}_{\text {rel }}\right)$ по переменной $\mathbf{p}_{\text {rel }}$ имеет степенной рост и принадлежит классу $C^{\infty}$. Напишем
\[
\widetilde{\mathscr{F}}_{n}^{T}\left(\mathbf{p}_{\text {rel }}\right)=\int \ldots \int \prod_{i=1}^{n} \tilde{h}\left(p_{i} \cdot p_{i}\right) \widetilde{\mathscr{W}^{T}}\left(p_{\text {rel }}\right) \prod_{i=1}^{n} d p_{0, i},
\]

где $p_{i}=\left(p_{0, i}, \mathbf{p}_{i}\right)$, и заметим, что достаточно, чтобы для всех $f \in \mathscr{S}\left(R^{d n}\right)$ выполнялось
\[
\int \cdots \int \tilde{f}(p) \widetilde{\mathscr{F}}^{T}(p) \prod_{i=1}^{n} d p_{0, i} \in \mathscr{P}\left(\mathbf{p}_{\text {rel }}\right)
\]

а значит, достаточно, чтобы для всех $f \in \mathscr{P}\left(R^{d n}\right)$
\[
\left(f * \mathscr{W}^{T}\right)\left(\mathbf{y}_{\text {rel }}\right)=\int f(x) \mathscr{W}^{T}\left(\mathbf{y}_{\text {rel }}-x\right) d x \in \mathscr{P}\left(R^{(d-1)(n-1)}\right) .
\]

Так как гладкость обеспечивается этой сверткой, то ключевым свойством является быстрое убывание по переменной уге!.
Теперь удалим из области интегрирования по $x$ ту часть, где $\|x\| \geqslant \sum\left\|\mathrm{y}_{\text {rel }}\right\| / n$. Пусть $g$ – функция класса $C^{\infty}$, равная 1 в малой окрестности нуля, носитель которой содержится в большей, но по-прежнему малой окрестности начала координат. Тогда
\[
f^{*}(1-g) \mathscr{F}^{T} \equiv \int f(x)\left[1-g\left(\frac{x^{2}}{x^{2}+\mathbf{y}_{\mathrm{rel}}^{2}}\right)\right] \mathscr{F}^{T}\left(\mathbf{y}_{\mathrm{rel}}-x\right) d x \in \mathscr{S}\left(\mathbf{y}_{\mathrm{rel}}\right)
\]

и нам осталось исследовать свертку $f * g \mathscr{\mathscr { P }}^{T}$.
Рассмотрим $\mathbf{y} \equiv\left(0, \mathbf{y}_{\text {rel }}\right)$ как набор $n$ точек в пространстве $R^{d-1}$. Простые геометрические рассуждения показывают, что найдутся две параллельные гиперплоскости в пространстве $R^{d-1}$, отстоящие одна от другой на расстояние, не меньшее $\left\|\mathbf{y}_{\text {reit }}\right\| / n$, и разбивающие эти $n$ точек на два непересекающихся множества, расположенных по разные стороны от заключенного между этими гиперплоскостями слоя. Далее, при $\|x\| \leqslant \sum\left\|\mathbf{y}_{\text {геl }}\right\| / n$ полученные из у сдвигом $n$ точек $\mathbf{y}-x$ в пространстве $R^{d}$ подобным же образом разбиваются на два подмножества, таких, что точки первого (например, $\mathbf{y}_{i}-x, i \in X$ ) пространственно-подобно отделены от точек второго (например, $\mathbf{y}_{j}-x, j \in X^{\prime}$ ).

Пусть $\pi \in \mathscr{E}_{i 2}$ – перестановка чисел $\{1, \ldots, n\}$, в которой набор индексов $i \in X$ предшествует набору $j \in X^{\prime}$ и которая не меняет относительного расположения внутри множеств $X$ и $X^{\prime}$. Аналогично, пусть $\pi^{\prime} \in \Xi_{n}$ – подобная же перестановка, в которой набор $X^{\prime}$ предшествует $X$. Если $\mathscr{W}_{\pi}$ обозначает действие перестановки $\pi$ на аргументы функции $\mathscr{W}$, то из аксиомы локальности и приведенных выше рассужденнй следует, что $g \mathscr{F}^{T}=g \mathscr{P}_{\pi}^{T}=g \mathscr{H}_{\pi^{\prime}}^{T}$.

Обозначим $\left\{\chi_{X}\right\}$, где $X$ – подмножество индексов $1,2, \ldots, n$, разбиение единицы по переменным $\mathbf{y}_{\text {ген }}$, где каждая функция $\chi_{X}$ отлична от нуля только для тех $\mathbf{y}_{\text {rel }}$, которые при указанном выше разбиении могут привести к этому $X$. Поскольку
\[
\chi_{X} f *\left(\mathscr{W}^{T}-\mathscr{W}_{\pi}^{T}\right), \quad \chi_{X} f *\left(\mathscr{W}_{\pi}^{T}-\mathscr{W}_{\pi^{\prime}}^{T}\right) \in \mathscr{P}\left(\mathrm{y}_{\text {rel }}\right),
\]

ключом к использованию массовой щели служит следующая
Лемма 13.5.2. Существует такая обобщенная функция $h_{x} \in$ $\in \mathscr{S}^{\prime}\left(R^{d n}\right)$ умеренного роста, что
\[
h_{X} * \mathscr{W}_{\pi}^{T}=\mathscr{W}_{\pi}^{T}, \quad h_{X} * \mathscr{W}_{\pi^{\prime}}^{T}=0 .
\]

Из этой леммы следует, что
\[
\begin{aligned}
f * \mathscr{W}^{T} & =\sum_{X} \chi_{X} f * \mathscr{W}^{T}= \\
& =\sum_{X} \chi_{X} f *\left(\mathscr{W}^{T}-\mathscr{W}_{\pi}^{T}\right)+\sum_{X} \chi_{X} f * h_{X} *\left(\mathscr{W}_{\pi}^{T}-\mathscr{W}_{\pi^{\prime}}^{T}\right)
\end{aligned}
\]

а так как $f * h_{x} \in \mathscr{P}\left(R^{d n}\right)$, то $f * \mathscr{W}^{T} \in \mathscr{P}\left(\mathbf{y}_{\text {rel }}\right)$, что и завершает доказательство теоремы 13.5.1.
Введем обозначение: $V_{+}^{m}=\left\{p \in R^{d}:-p \cdot p \geqslant m^{2}, p_{0}>0\right\}$.
Предложение 13.5.3. В теории Вайтмана с массой $m>0$ носитель функции $\widetilde{\mathscr{F}^{T}}\left(p_{1}, \ldots, p_{n}\right)$ содержится в множестве
\[
\sum_{l=s}^{n} p_{l} \in V_{+}^{m}, \quad s
eq 1 ; \quad \sum_{l=1}^{n} p_{l}=0 .
\]

Доказательство леммы 13.5.2. Пусть $P_{X}=\sum_{i \in X} p_{i}$ и $P_{X^{\prime}}=\sum_{j \in X^{\prime}} p_{j}$. Тогда носитель функции $\mathscr{W}_{\pi}^{T}$ принадлежит множеству $-P_{X}, P_{X^{\prime}} \in V_{+}^{m}$, а носитель $\widetilde{\mathscr{W}}_{\pi^{\prime}}^{T}$ множеству $P_{X^{\prime}}, \quad-P_{X^{\prime}} \in V_{+}^{m}$.

Выберем ограниченную бесконечно дифференцируемую функцию $\tilde{h}_{X}$, зависящ
Доказательство предложения 13.5.3. Условие $\sum_{l=1}^{n} p_{l}=0$ следует из транслящионной инвариантности. Обозначим $\widehat{V}=\{0\} \cup V_{+}^{m}$; тогда множество $\widehat{V}$ содержит носитель спектральной меры группы операторов сдвига, и, следовательно, носитель функции $\widetilde{\mathscr{P}}\left(p_{1}, \ldots, p_{n}\right)$ лежит в множестве
\[
P_{s} \equiv \sum_{l=s}^{n} p_{l} \in \widehat{V}, \quad \sum_{l=1}^{n} p_{l}=0 .
\]

Заметим, что множество $\widehat{V}$ – полугруппа, т. е. замкнуто относительно сложения. Из соотношения (13.5.2) или из равенства (13.5.1) при помощи индукции по $n$ следует, что носитель функции $\widetilde{\mathscr{F}}^{T}$ также лежит в множестве (13.5.5). Главный момент при переходе к усеченным функциям состоит в том, что начало координат $p=0$ удаляется из носителей, т. е. множество $\widehat{V}$ заменяется на $V_{+}^{m}$.

Для доказательства предложения воспользуемся индукцией по $n$. Для $n=1$ утверждение о том, что $P_{s} \in V_{+}^{m}, s
eq 1$, относится к пустому множеству и, значит, верно. Предположим, что утверждение доказано для $l \leqslant n-1$. Пусть функция $g \in \mathscr{S}\left(R^{d}\right)$ обладает свойством supp $\tilde{g} \cap \widehat{V} \subset\{0\}$. Тогда
\[
\begin{aligned}
\int g(a) & \mathscr{W}_{l}\left(x_{1}, \ldots, x_{j-1}, x_{j}+a, \ldots, x_{l}+a\right) d a= \\
& =\left\langle\varphi\left(x_{j-1}\right) \ldots \varphi\left(x_{1}\right) \Omega, \int e^{-i a \cdot P} g(a) d a \varphi\left(x_{j}\right) \ldots \varphi\left(x_{l}\right) \Omega\right\rangle= \\
& =\tilde{g}(0)\left\langle\Omega, \varphi\left(x_{1}\right) \ldots \varphi\left(x_{j-1}\right) \Omega\right\rangle\left\langle\Omega, \varphi\left(x_{j}\right) \ldots \varphi\left(x_{l}\right) \Omega\right\rangle= \\
& =\tilde{g}(0) \mathscr{W}_{j-1}\left(x_{1}, \ldots, x_{j-1}\right) \mathscr{W}_{l-j+1}\left(x_{j}, \ldots, x_{l}\right) .
\end{aligned}
\]

Теперь положим $l=n$ и подставим сюда выражение (13.5.1). В результате по\”уучим, что
\[
\begin{array}{l}
\tilde{g}(0) \mathscr{W}_{l-1} \mathscr{W}_{n-j+1}=\int g(a) \mathscr{W}_{n}^{T}\left(x_{1}, \ldots, x_{j-1}, x_{j}+a, \ldots, x_{n}+a\right) d a+ \\
+\sum_{\{1, \ldots, n\}
eq \pi \in \mathscr{S}^{P}}(\ldots) .
\end{array}
\]
Согласно индуктивному предположению, ненулевой вклад в последнюю сумму могут дать только те разбиения $\pi$, которые являются измельчениями разбиения $\pi_{f}=\{\{1, \ldots, j-1\},\{i, \ldots, n\}\}$. Суммарный вклад от таких разбнений равен $\tilde{g}(0) \mathscr{W}_{l-1} \mathscr{F}_{n-l+1}$ в силу (13.5.1). Итак,
\[
\begin{aligned}
0 & =\int g(a) \mathscr{W}_{n}^{T}\left(x_{1}, \ldots, x_{j-1}, x_{j}+a, \ldots, x_{n}+a\right) d a= \\
& =\left.\tilde{g}\left(P_{j}\right) \mathscr{\mathscr { P }}^{T}\right|_{P_{j}=0} .
\end{aligned}
\]

Этим завершается индукция, а вместе с ней и доказательство.
Переформулируем и обобщим теорему 13.3.2. Асимптотический предел при $t \rightarrow \pm \infty$ может быть полностью описан как эволюция основной функции $f \in \mathscr{P}\left(R^{d}\right)$. В самом деле, действие физической динамики $\varphi\left(x_{0}, \mathbf{x}\right) \rightarrow \varphi\left(x_{0}+t, \mathbf{x}\right)$ и соответствующая замена переменных эквивалентны переходу $f\left(x_{0}, \mathbf{x}\right) \rightarrow f\left(x_{0}-t, \mathbf{x}\right)$, или, на языке преобразования Фурье, $\tilde{f} \rightarrow e^{i t p \tilde{f}}$ при следующем соглашении о знаках в интеграле Фурье:
\[
\begin{array}{l}
f(x)=(2 \pi)^{-d / 2} \int e^{i p x} \tilde{f}(p) d p, \\
p \cdot x=-p_{0} x_{0}+\mathbf{p} \cdot \mathbf{x} .
\end{array}
\]

При заданных начальных условиях $f_{0}, \hat{f}_{0} \in \mathscr{P}\left(R^{d-1}\right)$ конструкция поля $\psi$ по свободному полю $\psi^{\text {св }}=\varphi$, данная в $\S 13.3$, эквивалентна замене интегрирования основной функции
\[
f(y)=f_{0}(\mathbf{x}) \delta\left(y_{0}\right)+\dot{f}_{0}(\mathbf{x}) \delta^{\prime}\left(y_{0}\right)
\]

с полем $\psi$ на интегрирование основной функции
\[
f(x)=\int\left(h(x-\mathrm{y}) f_{0}(\mathrm{y})-\partial_{x_{0}} h(x-\mathrm{y}) \dot{f}_{0}(\mathrm{y})\right) d \mathbf{y}
\]

или
\[
\tilde{f}(p)=\left(\tilde{f}_{0}(\mathrm{p})+i p_{0} \tilde{f}_{0}(\mathbf{p})\right) \tilde{h}(p)
\]

с полем $\varphi$. Комбинация физической и (обратной по времени) свободной динамики, как и в формуле (13.3.10), выражается с помощью фурье-образов в виде
\[
\tilde{f}(p) \rightarrow e^{i t\left(p_{0}-\varepsilon\left(p_{0}\right) \mu(\mathbf{p})\right)} \tilde{f}(p) \equiv \widetilde{f^{(t)}}(p),
\]

где $\varepsilon$ определено соотношением (13.4.4). Ключевые оценки для доказательства утверждения (13.5.9) содержатся в предложении 13.4.3.

При доказательстве теоремы 13.3 .2 важную роль играет следующее свойство функции $f$ :
\[
\operatorname{supp} \tilde{f} \subset\left\{p:\left|p^{2}+m^{2}\right| \leqslant \varepsilon\right\},
\]

где $\varepsilon>0$ настолько мало, что из (13.5.10) вытекает соотношение $\operatorname{supp} f \cap(H, \mathbf{p})=\left\{p:-p^{2}=m^{2}\right\}$.

Динамику $f \rightarrow f^{(t)}$ можно продолжить на все функцни $f$, обладающие свойством (13.5.10). Кроме того, теорема 13.3.2 также обобщается на все такие $f$ и утверждает, что
\[
\lim _{t \rightarrow \pm \infty} \prod_{i=1}^{n} \varphi\left(f_{i}^{(t)}\right) \Omega=\prod_{i=1}^{n} \varphi_{\text {in/out }}\left(f_{i}\right) \Omega
\]

в предположении, что носители $f_{i}$ в пространстве скоростей не пересекаются, причем порядок сходимости равен $O\left(t^{-N}\right), N$ произвольно.

Обобщение этого результата состоит в том, что в каждом полиноме мы можем выбрать значение $t=t_{i}$ независимо $n$ затем перейти к пределу в отдельности для каждого $t_{i}$.

Теорема 13.5.4. Пусть набор функций $\left\{f_{i}\right\}$ имеет непересекающиеся носители в пространстве скоростей и каждая из них удовлетворяет условию (13.5.10). Пусть, кроме того, $\theta_{\mathrm{in} / \mathrm{out}}=\prod_{i=m+1}^{n} \varphi_{\mathrm{in} / \mathrm{out}}\left(f_{i}\right) \Omega$.
Тогда
\[
\lim _{\substack{ \\t_{1} \leqslant t_{2} \leqslant \ldots \leqslant t_{m} \\ t_{i} \rightarrow+\infty}} \varphi\left(f_{1}^{\left(t_{1}\right)}\right) \cdots \varphi\left(f_{m}^{\left(t_{m}\right)}\right) \theta_{\text {out }}=\prod_{i=1}^{n} \varphi_{\text {out }}\left(f_{i}\right) \Omega .
\]

Аналогичное утверждение справедливо для $\theta_{\text {in }}$ и $t_{i} \rightarrow-\infty$ при условии, что в процессе предельного перехода $t_{m} \leqslant \ldots \leqslant t_{2} \leqslant t_{1}$.

Доказательство. Воспользуемся индукцией по $m$, начало которой составляет тривиальный случай $m=0$. Сначала будем изменять моменты времени $t_{m+1}=$ $=t_{m+2}=\ldots=t_{n}$ от $\infty$ к $t_{m}$, а затем устремим $t_{m}=t_{m+1}=\ldots$ обратно $\mathrm{K} \infty$. В результате первой процедуры (от $\infty$ к $t_{m}$ ) возникнет поправка, ограниченная по норме выражением
\[
\int_{t_{m}}^{\infty}\left\|\varphi\left(f_{1}^{\left(t_{1}\right)}\right) \ldots\left(f_{m}^{\left(t_{m}\right)}\right) \frac{d}{d s} \prod_{i=m+1}^{n} \varphi\left(f_{i}^{(s)}\right) \Omega\right\| d s .
\]

Қвадрат подынтегрального выражения – это скалярное произведение; оно может быть выражено с помощью усеченных вакуумных средних. Қак и в доказательстве теоремы 13.3.2, обратим особое внимание на множители вида $\partial_{s} \varphi\left(f_{i}^{(s)}\right)$. Если этот множитель действует на вектор $\Omega$ непосредственно, то результат равен нулю, так как $\partial_{s} \varphi\left(f_{i}^{(s)}\right) \Omega=0$. В противном случае должно быть два полевых множителя, стоящих по одну и ту же сторону в скалярном произведении, у которых $t=s$. Два этих множителя имеют непересекающиеся носители в пространстве скоростей, и это приводит к тому, что порядок сходимости равен $O\left(s^{-N}\right)$. После интегрирования по $s$ это дает порядок $O\left(t_{m}^{-N}\right)$.
Поправка при втором изменении времени по тем же причинам ограничена

\[
\int_{t_{m-1}}^{\infty}\left\|\varphi\left(f_{1}^{\left(t_{1}\right)}\right) \ldots \varphi\left(f_{m-1}^{\left(t_{m-1}\right)}\right) \frac{d}{d t} \prod_{i=m}^{n} \varphi\left(f_{i}^{(s)}\right) \Omega\right\| d s \leqslant O\left(t_{m-1}^{-N}\right) .
\]

Литературные ссылки
[Jost, 1965], [Hepp, 1966a], [Reed, Simon, 1972-9