Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
При доказательстве сходимости волновых операторов в теории поля мы используем тот же метод, что и в случае потенциального рассеяния, но сталкиваемся при этом с новой трудностью. Условия убывания потенциала, например $V_{i j} \in L_{2}$ (как мы предполагали в § 13.2), заменяются в теории поля требованием убывания усеченных вакуумных средних. Эти специальные корреляционные функции в определенном смысле отражают свойства многочастичных взаимодействий. Трудность состоит в том, что это убывание не предполагается, а выводится из исходных принципов (из аксиом или же выбора лагранжиана взаимодействия). Мы начнем этот параграф с того, что обойдем эту трудность, предположив требуемый характер убывания. Для любого заданного семейства $n$-точечных функций (например, функций Вайтмана $\mathscr{W}_{n}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ ) определим усеченные функции $\mathscr{W}_{n}^{T}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ формулами Здесь $\mathscr{P}$ обозначает совокупность всех разбиений множества $\{1, \ldots, n\}, \quad \pi=\left\{P_{1}, \ldots, P_{|\pi|}\right\} \in \mathscr{P}$ — разбиение, $\quad$ a $p=\left\{i_{1}, \ldots\right.$ $\left.\ldots, i_{\mid P\}}\right\}$-элемент $\pi$. Комбинаторные рассуждения, известные под названием теоремы Мёбиуса, показывают, что формулы (13.5.1) и (13.5.2) дают эквивалентные определения усеченных функций $\mathscr{W}^{T}$ в терминах функций $\mathscr{W}$. Пусть, как и выше, \# означает, что $\psi$, возможно, заменено своей производной по времени, и ноложим Теорема 13.5.1. В предположениях теоремы 13.3.2 $\mathscr{F}_{n}^{T}$ как функция разности переменных $\mathbf{x}_{1}-\mathbf{x}_{j}$ является обобщенной функцией умеренного роста. и норму $\|d \theta(t) / d t\|^{2}$ можно выразить через скалярное произведение (13.5.3), которое в свою очередь разлагается в сумму произведений усеченных средних $\mathscr{F}_{n}^{T}$. Каждый член, содержащий сомножитель $\mathscr{F}_{1}^{T}$, равен нулю, так как $\psi_{m} \Omega \oplus \mathscr{G}_{m} \perp \Omega$ и, значит, $\left\langle\Omega, \psi_{m} \Omega\right\rangle=0$. Каждый член, содержащий только сомножители вида $\mathscr{F}_{2}^{T}$, тоже равен нулю. В самом деле, такой член содержит множитель с производной по времени, а именно Однако для векторов $\psi_{m} \Omega$ и $\dot{\psi}_{m} \Omega$ свободная и физическая динамика (определенные соответственно однопараметрическими группами $G_{m}(t)$ и $e^{-i t H}$ ) совпадают, так как \# $\psi \Omega \in \mathscr{H}_{m}$. ІІоэтому, принимая во внимание знак минус в каждом $G_{m}(-t)$, заметим, что любой вектор (до применения $d / d t$ ) в скалярном произведении не зависит от времени. Применение производной по времени обращает произведение в нуль. Теперь перейдем к рассмотрению слагаемых, содержащих хотя бы один сомножитель $\mathscr{F}_{j}^{T}, j \geqslant 3$. В этом случае производная $d / d t$ не играет никакой роли. В сомножителе $\mathscr{F}_{j}^{T}$ некоторые из точек относятся к полям $\psi_{m}$ из левой части скалярного произведения $\langle\cdot \Omega, \cdot \Omega\rangle$, а некоторые — из правой части. Поскольку $j \geqslant 3$, то по крайней мере две точки относятся к одной части. Основные функции для этих двух точек имеют непересекающиеся носители в пространстве скоростей. Поэтому соответствующие конусы скоростей не пересекаются. Вне конуса скоростей свободное поле $G_{m}(-t) f$ быстро убывает; то же самое происходит и внутри конуса, но только за счет убывания $\mathscr{F}_{j}^{T}$ как функции разности $\mathbf{x}_{i_{1}}-\mathbf{x}_{i_{2}}$. Отсюда следует, что члены, содержащие множитель $\mathscr{F}_{j}^{T}$, при $j \geqslant 3$ быстро убывают. Из этого доказательства видно, что предел вектора (13.3.10) при $t \rightarrow \pm \infty$ определяется не зависящими от времени произведениями сомножителей $\mathscr{F}_{2}^{T}$. Этот предел, как можно убедиться, порождается свободным полем $\varphi$. Из сказанного следует, что $W^{ \pm}$- изометрин. Обратимся теперь к доказательству теоремы 13.5.1. Его ключом служит свойство быстрого убывания функций $\mathscr{F}^{T}$ при пространственно-подобном удалении переменных, что в свою очередь есть следствие предположения о массовой щели. Мы знаем, что $\mathscr{F}^{T}$ является обобщенной функцией умеренного роста по относительной переменной $\mathbf{x}_{\text {rel }}$ тогда и только тогда, когда преобразование Фурье $\widetilde{\mathscr{F}^{T}}\left(\mathbf{p}_{\text {rel }}\right)$ по переменной $\mathbf{p}_{\text {rel }}$ имеет степенной рост и принадлежит классу $C^{\infty}$. Напишем где $p_{i}=\left(p_{0, i}, \mathbf{p}_{i}\right)$, и заметим, что достаточно, чтобы для всех $f \in \mathscr{S}\left(R^{d n}\right)$ выполнялось а значит, достаточно, чтобы для всех $f \in \mathscr{P}\left(R^{d n}\right)$ Так как гладкость обеспечивается этой сверткой, то ключевым свойством является быстрое убывание по переменной уге!. и нам осталось исследовать свертку $f * g \mathscr{\mathscr { P }}^{T}$. Пусть $\pi \in \mathscr{E}_{i 2}$ — перестановка чисел $\{1, \ldots, n\}$, в которой набор индексов $i \in X$ предшествует набору $j \in X^{\prime}$ и которая не меняет относительного расположения внутри множеств $X$ и $X^{\prime}$. Аналогично, пусть $\pi^{\prime} \in \Xi_{n}$ — подобная же перестановка, в которой набор $X^{\prime}$ предшествует $X$. Если $\mathscr{W}_{\pi}$ обозначает действие перестановки $\pi$ на аргументы функции $\mathscr{W}$, то из аксиомы локальности и приведенных выше рассужденнй следует, что $g \mathscr{F}^{T}=g \mathscr{P}_{\pi}^{T}=g \mathscr{H}_{\pi^{\prime}}^{T}$. Обозначим $\left\{\chi_{X}\right\}$, где $X$ — подмножество индексов $1,2, \ldots, n$, разбиение единицы по переменным $\mathbf{y}_{\text {ген }}$, где каждая функция $\chi_{X}$ отлична от нуля только для тех $\mathbf{y}_{\text {rel }}$, которые при указанном выше разбиении могут привести к этому $X$. Поскольку ключом к использованию массовой щели служит следующая Из этой леммы следует, что а так как $f * h_{x} \in \mathscr{P}\left(R^{d n}\right)$, то $f * \mathscr{W}^{T} \in \mathscr{P}\left(\mathbf{y}_{\text {rel }}\right)$, что и завершает доказательство теоремы 13.5.1. Доказательство леммы 13.5.2. Пусть $P_{X}=\sum_{i \in X} p_{i}$ и $P_{X^{\prime}}=\sum_{j \in X^{\prime}} p_{j}$. Тогда носитель функции $\mathscr{W}_{\pi}^{T}$ принадлежит множеству $-P_{X}, P_{X^{\prime}} \in V_{+}^{m}$, а носитель $\widetilde{\mathscr{W}}_{\pi^{\prime}}^{T}$ множеству $P_{X^{\prime}}, \quad-P_{X^{\prime}} \in V_{+}^{m}$. Выберем ограниченную бесконечно дифференцируемую функцию $\tilde{h}_{X}$, зависящ Заметим, что множество $\widehat{V}$ — полугруппа, т. е. замкнуто относительно сложения. Из соотношения (13.5.2) или из равенства (13.5.1) при помощи индукции по $n$ следует, что носитель функции $\widetilde{\mathscr{F}}^{T}$ также лежит в множестве (13.5.5). Главный момент при переходе к усеченным функциям состоит в том, что начало координат $p=0$ удаляется из носителей, т. е. множество $\widehat{V}$ заменяется на $V_{+}^{m}$. Для доказательства предложения воспользуемся индукцией по $n$. Для $n=1$ утверждение о том, что $P_{s} \in V_{+}^{m}, s Теперь положим $l=n$ и подставим сюда выражение (13.5.1). В результате по\»уучим, что Этим завершается индукция, а вместе с ней и доказательство. При заданных начальных условиях $f_{0}, \hat{f}_{0} \in \mathscr{P}\left(R^{d-1}\right)$ конструкция поля $\psi$ по свободному полю $\psi^{\text {св }}=\varphi$, данная в $\S 13.3$, эквивалентна замене интегрирования основной функции с полем $\psi$ на интегрирование основной функции или с полем $\varphi$. Комбинация физической и (обратной по времени) свободной динамики, как и в формуле (13.3.10), выражается с помощью фурье-образов в виде где $\varepsilon$ определено соотношением (13.4.4). Ключевые оценки для доказательства утверждения (13.5.9) содержатся в предложении 13.4.3. При доказательстве теоремы 13.3 .2 важную роль играет следующее свойство функции $f$ : где $\varepsilon>0$ настолько мало, что из (13.5.10) вытекает соотношение $\operatorname{supp} f \cap(H, \mathbf{p})=\left\{p:-p^{2}=m^{2}\right\}$. Динамику $f \rightarrow f^{(t)}$ можно продолжить на все функцни $f$, обладающие свойством (13.5.10). Кроме того, теорема 13.3.2 также обобщается на все такие $f$ и утверждает, что в предположении, что носители $f_{i}$ в пространстве скоростей не пересекаются, причем порядок сходимости равен $O\left(t^{-N}\right), N$ произвольно. Обобщение этого результата состоит в том, что в каждом полиноме мы можем выбрать значение $t=t_{i}$ независимо $n$ затем перейти к пределу в отдельности для каждого $t_{i}$. Теорема 13.5.4. Пусть набор функций $\left\{f_{i}\right\}$ имеет непересекающиеся носители в пространстве скоростей и каждая из них удовлетворяет условию (13.5.10). Пусть, кроме того, $\theta_{\mathrm{in} / \mathrm{out}}=\prod_{i=m+1}^{n} \varphi_{\mathrm{in} / \mathrm{out}}\left(f_{i}\right) \Omega$. Аналогичное утверждение справедливо для $\theta_{\text {in }}$ и $t_{i} \rightarrow-\infty$ при условии, что в процессе предельного перехода $t_{m} \leqslant \ldots \leqslant t_{2} \leqslant t_{1}$. Доказательство. Воспользуемся индукцией по $m$, начало которой составляет тривиальный случай $m=0$. Сначала будем изменять моменты времени $t_{m+1}=$ $=t_{m+2}=\ldots=t_{n}$ от $\infty$ к $t_{m}$, а затем устремим $t_{m}=t_{m+1}=\ldots$ обратно $\mathrm{K} \infty$. В результате первой процедуры (от $\infty$ к $t_{m}$ ) возникнет поправка, ограниченная по норме выражением Қвадрат подынтегрального выражения — это скалярное произведение; оно может быть выражено с помощью усеченных вакуумных средних. Қак и в доказательстве теоремы 13.3.2, обратим особое внимание на множители вида $\partial_{s} \varphi\left(f_{i}^{(s)}\right)$. Если этот множитель действует на вектор $\Omega$ непосредственно, то результат равен нулю, так как $\partial_{s} \varphi\left(f_{i}^{(s)}\right) \Omega=0$. В противном случае должно быть два полевых множителя, стоящих по одну и ту же сторону в скалярном произведении, у которых $t=s$. Два этих множителя имеют непересекающиеся носители в пространстве скоростей, и это приводит к тому, что порядок сходимости равен $O\left(s^{-N}\right)$. После интегрирования по $s$ это дает порядок $O\left(t_{m}^{-N}\right)$. \[ Литературные ссылки
|
1 |
Оглавление
|