При доказательстве сходимости волновых операторов в теории поля мы используем тот же метод, что и в случае потенциального рассеяния, но сталкиваемся при этом с новой трудностью. Условия убывания потенциала, например $V_{ij}\in L_2$ (как мы предполагали в § 13.2), заменяются в теории поля требованием убывания усеченных вакуумных средних. Эти специальные корреляционные функции в определенном смысле отражают свойства многочастичных взаимодействий. Трудность состоит в том, что это убывание не предполагается, а выводится из исходных принципов (из аксиом или же выбора лагранжиана взаимодействия). Мы начнем этот параграф с того, что обойдем эту трудность, предположив требуемый характер убывания.

Для любого заданного семейства $n$-точечных функций (например, функций Вайтмана ${\mathcal{W}}_n(x_1,\dots ,x_n)$ ) определим усеченные функции ${\mathcal{W}}_n^T(x_1,\dots ,x_n)$ формулами
$$\begin{array}{c}{\mathcal{W}}_n=\sum _{\pi \in \mathcal{D}P}\prod _P{\mathcal{W}}_{|P|}^T(x_{i_1},\dots ,x_{t_{\mid P}\mid }),\\ {\mathcal{W}}_n^T=\sum _{\pi \in \mathcal{D}}(-1{)}^{|\pi |+1}(|\pi |-1)!\prod _{P\in \pi }{\mathcal{W}}_{|P|}(x_{i_1},\dots ,x_{i_{|P|}\mid }).\end{array}$$

Здесь $\mathcal{P}$ обозначает совокупность всех разбиений множества $\{1,\dots ,n\},\pi =\{P_1,\dots ,P_{|\pi |}\}\in \mathcal{P}$ — разбиение, $$ a $p=\{i_1,\dots$ $\dots ,i_{\mid P\}}\}$-элемент $\pi$. Комбинаторные рассуждения, известные под названием теоремы Мёбиуса, показывают, что формулы (13.5.1) и (13.5.2) дают эквивалентные определения усеченных функций ${\mathcal{W}}^T$ в терминах функций $\mathcal{W}$.

Пусть, как и выше, \# означает, что $\psi$, возможно, заменено своей производной по времени, и ноложим
$${\mathcal{F}}_n({\mathbf{x}}_1,\dots ,{\mathbf{x}}_n)=⟨\mathrm{\Omega },{}^{\mathrm{\#}}{\psi }_{m_1}(0,{\mathbf{x}}_1)\dots {}^{\mathrm{\#}}{\psi }_{m_n}(0,{\mathbf{x}}_n)\mathrm{\Omega }⟩.$$

Теорема 13.5.1. В предположениях теоремы 13.3.2 ${\mathcal{F}}_n^T$ как функция разности переменных ${\mathbf{x}}_1-{\mathbf{x}}_j$ является обобщенной функцией умеренного роста.
Доказательство теоремы 13.3.2. Обозначим $\theta (t)$ левую часть равенства (13.3.10), усредпенную с основными функциями $f,f$. Предположим, что разные функции имеют непересекающиеся носители в пространстве скоростей. Тогда
$$\Vert \theta \left(t_1\right)-\theta \left(t_2\right)\Vert ⩽{\int }_{t_1}^{t_2}\Vert d\theta (t)/dt\Vert dt,$$

и норму $\Vert d\theta (t)/dt{\Vert }^2$ можно выразить через скалярное произведение (13.5.3), которое в свою очередь разлагается в сумму произведений усеченных средних ${\mathcal{F}}_n^T$.

Каждый член, содержащий сомножитель ${\mathcal{F}}_1^T$, равен нулю, так как ${\psi }_m\mathrm{\Omega }\oplus {\mathcal{G}}_m\perp \mathrm{\Omega }$ и, значит, $⟨\mathrm{\Omega },{\psi }_m\mathrm{\Omega }⟩=0$. Каждый член, содержащий только сомножители вида ${\mathcal{F}}_2^T$, тоже равен нулю. В самом деле, такой член содержит множитель с производной по времени, а именно
$$⟨e^{-itH}\{G_{m_i}(-t)\left(\begin{array}{l}{\psi }_{m_i}(0,{\mathbf{x}}_i)\mathrm{\Omega }\\ {\dot{\psi }}_{m_i}(0,{\mathrm{x}}_i)\mathrm{\Omega }\end{array}\right)\},\frac{d}{dt}{e}^{-it{H}^{\mathrm{\#}}}\{G_{m_j}(-t)\left(\begin{array}{l}{\psi }_{m_j}(0,{\mathrm{x}}_j)\mathrm{\Omega }\\ {\dot{\psi }}_{m_j}(0,{\mathrm{x}}_j)\mathrm{\Omega }\end{array}\right)\}⟩.$$

Однако для векторов ${\psi }_m\mathrm{\Omega }$ и ${\dot{\psi }}_m\mathrm{\Omega }$ свободная и физическая динамика (определенные соответственно однопараметрическими группами $G_m(t)$ и $e^{-itH}$ ) совпадают, так как \# $\psi \mathrm{\Omega }\in {\mathcal{H}}_m$. ІІоэтому, принимая во внимание знак минус в каждом $G_m(-t)$, заметим, что любой вектор (до применения $d/dt$ ) в скалярном произведении не зависит от времени. Применение производной по времени обращает произведение в нуль.

Теперь перейдем к рассмотрению слагаемых, содержащих хотя бы один сомножитель ${\mathcal{F}}_j^T,j⩾3$. В этом случае производная $d/dt$ не играет никакой роли. В сомножителе ${\mathcal{F}}_j^T$ некоторые из точек относятся к полям ${\psi }_m$ из левой части скалярного произведения $⟨\cdot \mathrm{\Omega },\cdot \mathrm{\Omega }⟩$, а некоторые — из правой части. Поскольку $j⩾3$, то по крайней мере две точки относятся к одной части. Основные функции для этих двух точек имеют непересекающиеся носители в пространстве скоростей. Поэтому соответствующие конусы скоростей не пересекаются. Вне конуса скоростей свободное поле $G_m(-t)f$ быстро убывает; то же самое происходит и внутри конуса, но только за счет убывания ${\mathcal{F}}_j^T$ как функции разности ${\mathbf{x}}_{i_1}-{\mathbf{x}}_{i_2}$. Отсюда следует, что члены, содержащие множитель ${\mathcal{F}}_j^T$, при $j⩾3$ быстро убывают.

Из этого доказательства видно, что предел вектора (13.3.10) при $t\to \pm \mathrm{\infty }$ определяется не зависящими от времени произведениями сомножителей ${\mathcal{F}}_2^T$. Этот предел, как можно убедиться, порождается свободным полем $\phi$. Из сказанного следует, что $W^{\pm }$- изометрин.

Обратимся теперь к доказательству теоремы 13.5.1. Его ключом служит свойство быстрого убывания функций ${\mathcal{F}}^T$ при пространственно-подобном удалении переменных, что в свою очередь есть следствие предположения о массовой щели. Мы знаем, что ${\mathcal{F}}^T$ является обобщенной функцией умеренного роста по относительной переменной ${\mathbf{x}}_{\text{rel }}$ тогда и только тогда, когда преобразование Фурье $\widetilde{{\mathcal{F}}^T}\left({\mathbf{p}}_{\text{rel }}\right)$ по переменной ${\mathbf{p}}_{\text{rel }}$ имеет степенной рост и принадлежит классу $C^{\mathrm{\infty }}$. Напишем
$${\tilde{\mathcal{F}}}_n^T\left({\mathbf{p}}_{\text{rel }}\right)=\int \dots \int \prod _{i=1}^n\tilde{h}(p_i\cdot p_i)\widetilde{{\mathcal{W}}^T}\left(p_{\text{rel }}\right)\prod _{i=1}^{n}d{p}_{0,i},$$

где $p_i=(p_{0,i},{\mathbf{p}}_i)$, и заметим, что достаточно, чтобы для всех $f\in \mathcal{S}\left(R^{dn}\right)$ выполнялось
$$\int \cdots \int \tilde{f}(p){\tilde{\mathcal{F}}}^T(p)\prod _{i=1}^{n}d{p}_{0,i}\in \mathcal{P}\left({\mathbf{p}}_{\text{rel }}\right)$$

а значит, достаточно, чтобы для всех $f\in \mathcal{P}\left(R^{dn}\right)$
$$(f\ast {\mathcal{W}}^T)\left({\mathbf{y}}_{\text{rel }}\right)=\int f(x){\mathcal{W}}^T({\mathbf{y}}_{\text{rel }}-x)dx\in \mathcal{P}\left(R^{(d-1)(n-1)}\right).$$

Так как гладкость обеспечивается этой сверткой, то ключевым свойством является быстрое убывание по переменной уге!.
Теперь удалим из области интегрирования по $x$ ту часть, где $\Vert x\Vert ⩾\sum \Vert {\mathrm{y}}_{\text{rel }}\Vert /n$. Пусть $g$ — функция класса $C^{\mathrm{\infty }}$, равная 1 в малой окрестности нуля, носитель которой содержится в большей, но по-прежнему малой окрестности начала координат. Тогда
$$f^{\ast }(1-g){\mathcal{F}}^T\equiv \int f(x)[1-g\left(\frac{x^2}{x^2+{\mathbf{y}}_{\mathrm{rel}}^2}\right)]{\mathcal{F}}^T({\mathbf{y}}_{\mathrm{rel}}-x)dx\in \mathcal{S}\left({\mathbf{y}}_{\mathrm{rel}}\right)$$

и нам осталось исследовать свертку $f\ast g{\mathcal{P}}^T$.
Рассмотрим $\mathbf{y}\equiv (0,{\mathbf{y}}_{\text{rel }})$ как набор $n$ точек в пространстве $R^{d-1}$. Простые геометрические рассуждения показывают, что найдутся две параллельные гиперплоскости в пространстве $R^{d-1}$, отстоящие одна от другой на расстояние, не меньшее $\Vert {\mathbf{y}}_{\text{reit }}\Vert /n$, и разбивающие эти $n$ точек на два непересекающихся множества, расположенных по разные стороны от заключенного между этими гиперплоскостями слоя. Далее, при $\Vert x\Vert ⩽\sum \Vert {\mathbf{y}}_{\text{геl }}\Vert /n$ полученные из у сдвигом $n$ точек $\mathbf{y}-x$ в пространстве $R^d$ подобным же образом разбиваются на два подмножества, таких, что точки первого (например, ${\mathbf{y}}_i-x,i\in X$ ) пространственно-подобно отделены от точек второго (например, ${\mathbf{y}}_j-x,j\in X^{\prime }$ ).

Пусть $\pi \in {\mathcal{E}}_{i2}$ — перестановка чисел $\{1,\dots ,n\}$, в которой набор индексов $i\in X$ предшествует набору $j\in X^{\prime }$ и которая не меняет относительного расположения внутри множеств $X$ и $X^{\prime }$. Аналогично, пусть ${\pi }^{\prime }\in {\mathrm{\Xi }}_n$ — подобная же перестановка, в которой набор $X^{\prime }$ предшествует $X$. Если ${\mathcal{W}}_{\pi }$ обозначает действие перестановки $\pi$ на аргументы функции $\mathcal{W}$, то из аксиомы локальности и приведенных выше рассужденнй следует, что $g{\mathcal{F}}^T=g{\mathcal{P}}_{\pi }^T=g{\mathcal{H}}_{{\pi }^{\prime }}^T$.

Обозначим $\left\{{\chi }_X\right\}$, где $X$ — подмножество индексов $1,2,\dots ,n$, разбиение единицы по переменным ${\mathbf{y}}_{\text{ген }}$, где каждая функция ${\chi }_X$ отлична от нуля только для тех ${\mathbf{y}}_{\text{rel }}$, которые при указанном выше разбиении могут привести к этому $X$. Поскольку
$${\chi }_{X}f\ast ({\mathcal{W}}^T-{\mathcal{W}}_{\pi }^T),{\chi }_{X}f\ast ({\mathcal{W}}_{\pi }^T-{\mathcal{W}}_{{\pi }^{\prime }}^T)\in \mathcal{P}\left({\mathrm{y}}_{\text{rel }}\right),$$

ключом к использованию массовой щели служит следующая
Лемма 13.5.2. Существует такая обобщенная функция $h_x\in$ $\in {\mathcal{S}}^{\prime }\left(R^{dn}\right)$ умеренного роста, что
$$h_X\ast {\mathcal{W}}_{\pi }^T={\mathcal{W}}_{\pi }^T,h_X\ast {\mathcal{W}}_{{\pi }^{\prime }}^T=0.$$

Из этой леммы следует, что
$$\begin{array}{rl}f\ast {\mathcal{W}}^T& =\sum _X{\chi }_{X}f\ast {\mathcal{W}}^T=\\ & =\sum _X{\chi }_{X}f\ast ({\mathcal{W}}^T-{\mathcal{W}}_{\pi }^T)+\sum _X{\chi }_{X}f\ast h_X\ast ({\mathcal{W}}_{\pi }^T-{\mathcal{W}}_{{\pi }^{\prime }}^T)\end{array}$$

а так как $f\ast h_x\in \mathcal{P}\left(R^{dn}\right)$, то $f\ast {\mathcal{W}}^T\in \mathcal{P}\left({\mathbf{y}}_{\text{rel }}\right)$, что и завершает доказательство теоремы 13.5.1.
Введем обозначение: $V_{+}^m=\{p\in R^d:-p\cdot p⩾m^2,p_0>0\}$.
Предложение 13.5.3. В теории Вайтмана с массой $m>0$ носитель функции $\widetilde{{\mathcal{F}}^T}(p_1,\dots ,p_n)$ содержится в множестве
$$\sum _{l=s}^n{p}_l\in V_{+}^m,seq1;\sum _{l=1}^n{p}_l=0.$$

Доказательство леммы 13.5.2. Пусть $P_X=\sum _{i\in X}{p}_i$ и $P_{X^{\prime }}=\sum _{j\in X^{\prime }}{p}_j$. Тогда носитель функции ${\mathcal{W}}_{\pi }^T$ принадлежит множеству $-P_X,P_{X^{\prime }}\in V_{+}^m$, а носитель ${\tilde{\mathcal{W}}}_{{\pi }^{\prime }}^T$ множеству $P_{X^{\prime }},-P_{X^{\prime }}\in V_{+}^m$.

Выберем ограниченную бесконечно дифференцируемую функцию ${\tilde{h}}_X$, зависящ
Доказательство предложения 13.5.3. Условие $\sum _{l=1}^n{p}_l=0$ следует из транслящионной инвариантности. Обозначим $\hat{V}=\{0\}\cup V_{+}^m$; тогда множество $\hat{V}$ содержит носитель спектральной меры группы операторов сдвига, и, следовательно, носитель функции $\tilde{\mathcal{P}}(p_1,\dots ,p_n)$ лежит в множестве
$$P_s\equiv \sum _{l=s}^n{p}_l\in \hat{V},\sum _{l=1}^n{p}_l=0.$$

Заметим, что множество $\hat{V}$ — полугруппа, т. е. замкнуто относительно сложения. Из соотношения (13.5.2) или из равенства (13.5.1) при помощи индукции по $n$ следует, что носитель функции ${\tilde{\mathcal{F}}}^T$ также лежит в множестве (13.5.5). Главный момент при переходе к усеченным функциям состоит в том, что начало координат $p=0$ удаляется из носителей, т. е. множество $\hat{V}$ заменяется на $V_{+}^m$.

Для доказательства предложения воспользуемся индукцией по $n$. Для $n=1$ утверждение о том, что $P_s\in V_{+}^m,seq1$, относится к пустому множеству и, значит, верно. Предположим, что утверждение доказано для $l⩽n-1$. Пусть функция $g\in \mathcal{S}\left(R^d\right)$ обладает свойством supp $\tilde{g}\cap \hat{V}\subset \{0\}$. Тогда
$$\begin{array}{rl}\int g(a)& {\mathcal{W}}_l(x_1,\dots ,x_{j-1},x_j+a,\dots ,x_l+a)da=\\ & =⟨\phi \left(x_{j-1}\right)\dots \phi \left(x_1\right)\mathrm{\Omega },\int e^{-ia\cdot P}g(a)da\phi \left(x_j\right)\dots \phi \left(x_l\right)\mathrm{\Omega }⟩=\\ & =\tilde{g}(0)⟨\mathrm{\Omega },\phi \left(x_1\right)\dots \phi \left(x_{j-1}\right)\mathrm{\Omega }⟩⟨\mathrm{\Omega },\phi \left(x_j\right)\dots \phi \left(x_l\right)\mathrm{\Omega }⟩=\\ & =\tilde{g}(0){\mathcal{W}}_{j-1}(x_1,\dots ,x_{j-1}){\mathcal{W}}_{l-j+1}(x_j,\dots ,x_l).\end{array}$$

Теперь положим $l=n$ и подставим сюда выражение (13.5.1). В результате по\»уучим, что
$$\begin{array}{l}\tilde{g}(0){\mathcal{W}}_{l-1}{\mathcal{W}}_{n-j+1}=\int g(a){\mathcal{W}}_n^T(x_1,\dots ,x_{j-1},x_j+a,\dots ,x_n+a)da+\\ +\sum _{\{1,\dots ,n\}eq\pi \in {\mathcal{S}}^P}(\dots ).\end{array}$$
Согласно индуктивному предположению, ненулевой вклад в последнюю сумму могут дать только те разбиения $\pi$, которые являются измельчениями разбиения ${\pi }_f=\{\{1,\dots ,j-1\},\{i,\dots ,n\}\}$. Суммарный вклад от таких разбнений равен $\tilde{g}(0){\mathcal{W}}_{l-1}{\mathcal{F}}_{n-l+1}$ в силу (13.5.1). Итак,
$$\begin{array}{rl}0& =\int g(a){\mathcal{W}}_n^T(x_1,\dots ,x_{j-1},x_j+a,\dots ,x_n+a)da=\\ & ={\tilde{g}\left(P_j\right){\mathcal{P}}^T|}_{P_j=0}.\end{array}$$

Этим завершается индукция, а вместе с ней и доказательство.
Переформулируем и обобщим теорему 13.3.2. Асимптотический предел при $t\to \pm \mathrm{\infty }$ может быть полностью описан как эволюция основной функции $f\in \mathcal{P}\left(R^d\right)$. В самом деле, действие физической динамики $\phi (x_0,\mathbf{x})\to \phi (x_0+t,\mathbf{x})$ и соответствующая замена переменных эквивалентны переходу $f(x_0,\mathbf{x})\to f(x_0-t,\mathbf{x})$, или, на языке преобразования Фурье, $\tilde{f}\to e^{itp\tilde{f}}$ при следующем соглашении о знаках в интеграле Фурье:
$$\begin{array}{l}f(x)=(2\pi {)}^{-d/2}\int e^{ipx}\tilde{f}(p)dp,\\ p\cdot x=-p_0{x}_0+\mathbf{p}\cdot \mathbf{x}.\end{array}$$

При заданных начальных условиях $f_0,{\hat{f}}_0\in \mathcal{P}\left(R^{d-1}\right)$ конструкция поля $\psi$ по свободному полю ${\psi }^{\text{св }}=\phi$, данная в $\mathrm{\S }13.3$, эквивалентна замене интегрирования основной функции
$$f(y)=f_0(\mathbf{x})\delta \left(y_0\right)+{\dot{f}}_0(\mathbf{x}){\delta }^{\prime }\left(y_0\right)$$

с полем $\psi$ на интегрирование основной функции
$$f(x)=\int (h(x-\mathrm{y})f_0(\mathrm{y})-{\partial }_{x_0}h(x-\mathrm{y}){\dot{f}}_0(\mathrm{y}))d\mathbf{y}$$

или
$$\tilde{f}(p)=({\tilde{f}}_0(\mathrm{p})+i{p}_0{\tilde{f}}_0(\mathbf{p}))\tilde{h}(p)$$

с полем $\phi$. Комбинация физической и (обратной по времени) свободной динамики, как и в формуле (13.3.10), выражается с помощью фурье-образов в виде
$$\tilde{f}(p)\to e^{it(p_0-\epsilon \left(p_0\right)\mu (\mathbf{p}))}\tilde{f}(p)\equiv \widetilde{f^{(t)}}(p),$$

где $\epsilon$ определено соотношением (13.4.4). Ключевые оценки для доказательства утверждения (13.5.9) содержатся в предложении 13.4.3.

При доказательстве теоремы 13.3 .2 важную роль играет следующее свойство функции $f$ :
$$\mathrm{supp}\tilde{f}\subset \{p:|p^2+m^2|⩽\epsilon \},$$

где $\epsilon >0$ настолько мало, что из (13.5.10) вытекает соотношение $\mathrm{supp}f\cap (H,\mathbf{p})=\{p:-p^2=m^2\}$.

Динамику $f\to f^{(t)}$ можно продолжить на все функцни $f$, обладающие свойством (13.5.10). Кроме того, теорема 13.3.2 также обобщается на все такие $f$ и утверждает, что
$$\underset{t\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\prod _{i=1}^n\phi \left(f_i^{(t)}\right)\mathrm{\Omega }=\prod _{i=1}^n{\phi }_{\text{in/out }}\left(f_i\right)\mathrm{\Omega }$$

в предположении, что носители $f_i$ в пространстве скоростей не пересекаются, причем порядок сходимости равен $O\left(t^{-N}\right),N$ произвольно.

Обобщение этого результата состоит в том, что в каждом полиноме мы можем выбрать значение $t=t_i$ независимо $n$ затем перейти к пределу в отдельности для каждого $t_i$.

Теорема 13.5.4. Пусть набор функций $\left\{f_i\right\}$ имеет непересекающиеся носители в пространстве скоростей и каждая из них удовлетворяет условию (13.5.10). Пусть, кроме того, ${\theta }_{\mathrm{in}/\mathrm{out}}=\prod _{i=m+1}^n{\phi }_{\mathrm{in}/\mathrm{out}}\left(f_i\right)\mathrm{\Omega }$.
Тогда
$$\underset{\begin{array}{c}\\ t_1⩽t_2⩽\dots ⩽t_m\\ t_i\to +\mathrm{\infty }\end{array}}{lim}\phi \left(f_1^{\left(t_1\right)}\right)\cdots \phi \left(f_m^{\left(t_m\right)}\right){\theta }_{\text{out }}=\prod _{i=1}^n{\phi }_{\text{out }}\left(f_i\right)\mathrm{\Omega }.$$

Аналогичное утверждение справедливо для ${\theta }_{\text{in }}$ и $t_i\to -\mathrm{\infty }$ при условии, что в процессе предельного перехода $t_m⩽\dots ⩽t_2⩽t_1$.

Доказательство. Воспользуемся индукцией по $m$, начало которой составляет тривиальный случай $m=0$. Сначала будем изменять моменты времени $t_{m+1}=$ $=t_{m+2}=\dots =t_n$ от $\mathrm{\infty }$ к $t_m$, а затем устремим $t_m=t_{m+1}=\dots$ обратно $\mathrm{K}\mathrm{\infty }$. В результате первой процедуры (от $\mathrm{\infty }$ к $t_m$ ) возникнет поправка, ограниченная по норме выражением
$${\int }_{t_m}^{\mathrm{\infty }}\Vert \phi \left(f_1^{\left(t_1\right)}\right)\dots \left(f_m^{\left(t_m\right)}\right)\frac{d}{ds}\prod _{i=m+1}^n\phi \left(f_i^{(s)}\right)\mathrm{\Omega }\Vert ds.$$

Қвадрат подынтегрального выражения — это скалярное произведение; оно может быть выражено с помощью усеченных вакуумных средних. Қак и в доказательстве теоремы 13.3.2, обратим особое внимание на множители вида ${\partial }_s\phi \left(f_i^{(s)}\right)$. Если этот множитель действует на вектор $\mathrm{\Omega }$ непосредственно, то результат равен нулю, так как ${\partial }_s\phi \left(f_i^{(s)}\right)\mathrm{\Omega }=0$. В противном случае должно быть два полевых множителя, стоящих по одну и ту же сторону в скалярном произведении, у которых $t=s$. Два этих множителя имеют непересекающиеся носители в пространстве скоростей, и это приводит к тому, что порядок сходимости равен $O\left(s^{-N}\right)$. После интегрирования по $s$ это дает порядок $O\left(t_m^{-N}\right)$.
Поправка при втором изменении времени по тем же причинам ограничена

$${\int }_{t_{m-1}}^{\mathrm{\infty }}\Vert \phi \left(f_1^{\left(t_1\right)}\right)\dots \phi \left(f_{m-1}^{\left(t_{m-1}\right)}\right)\frac{d}{dt}\prod _{i=m}^n\phi \left(f_i^{(s)}\right)\mathrm{\Omega }\Vert ds⩽O\left(t_{m-1}^{-N}\right).$$

Литературные ссылки
[Jost, 1965], [Hepp, 1966a], [Reed, Simon, 1972-9