Множество конфигураций скалярного евклидова поля $\varphi$, рассматриваемого в этой книге, совпадает с пространством «траекторий», по которым происходит интегрирование в формуле Фейнмана Каца. Используя обозначения $\$ 6.1$, имеем
\[
\begin{array}{c}
\left\langle\hat{A}, e^{-t(H+V)} \hat{A}\right\rangle=\int \overline{\theta A}(\varphi) A(\varphi) e^{-\int_{0}^{t} V(\varphi(s)) d s} d \mu(\varphi), \\
\text { или } e^{-t(H+V)}=\left(e^{-\int_{0}^{t} V(\varphi(s)) d s}\right)^{-} .
\end{array}
\]

Обобщение этой формулы на ферми-поля содержится в работах [Osterwalder, Schrader, 1972a, 1973a,b]. Оказалось, что это обобщение, даже на формальном уровне, содержит в себе нечто новое. Поясним некоторые существенные моменты этого обобщения.

Во-первых, поле $\psi$, зависящее от вещественного времени, и его сопряженное $\bar{\psi}$ заменены независимыми антикоммутирующими евклидовыми полями $\psi_{1}$ и $\psi_{2}$. В результате евклидово поле, отвечающее нулевому моменту времени, строится не в $\mathscr{H}$, а в другом пространстве.

Во-вторых, так как введенные евклидовы поля антикоммутируют и принимают значения из грассмановой алгебры, скалярное произведение в евклидовом пространстве не задается уже интегрированием по положительной мере $d \mu$. Вместо этого оно определяется как положительное состояние (среднее) $\rho$ на алгебре полевых операторов, порожденной элементами $\psi_{1}(f), \psi_{2}(g)$. Для полиномов $P\left(\psi_{1}, \psi_{2}\right)$ выполнено $\rho\left(P^{*} P\right) \geqslant 0$. Это состояние и определяет интеграл.

И в-третьих, наконец, типичные взаимодействия, входящие в выражение для плотности оператора энергии, такие, как $\bar{\psi} \psi, \bar{\psi} \gamma^{5} \psi, \sum_{n} \bar{\psi} \gamma^{\mu} \psi A_{\mu}$, для обычных ферми-полей принимают вещественные значения. В евклидовом пространстве они представляются выражениями $\psi_{2} \psi_{1}, \psi_{2} \gamma^{5} \psi_{1}, \sum_{n} \psi_{2} \gamma^{\mu} \psi_{1} A_{\mu}$ и т. п., и, следовательно, евклидово действие не вещественная функция, а принимает значения из грассмановой алгебры.

Тем не менее на этот случай можно обобщить аксиомы OS $0-4$ и доказать формулу Фейнмана – Қаца
\[
\exp [-t(H+V(\psi, \bar{\psi}, \varphi))]=\left(\exp \left[-\int_{0}^{t} V\left(\psi_{1}(s), \Psi_{2}(s) \varphi(s)\right) d s\right] T(t)\right)
\]

Гамильтониан $H+V$, определенный формулой (20.3.1), действует в гильбертовом пространстве $\mathscr{H}$, описывающем квантовую систему. В случае когда взаимодействие $V(\psi, \bar{\psi}, \varphi)$ формально вещественно, определение (20.3.1) приводит к симметрическому оператору $H+V$, что согласуется со стандартной канонической конструкцией.