В гл. 1 мы рассмотрели уравнения квантовой механики, однако лишь в редких случаях можно получить рещения этих уравнений с помоцью известных специальных функций или же записать их спектр в явном виде. Поэтому вычисления в квантовой механике выполняются приближенными методами, например нахождением нескольких первых членов формального степенного ряда. Разложение в ряд по константе связи известно как теория возмущений, а ряд по постоянной Планка называют классическим приближением.

Для того чтобы получить качественную картину поведения решения, а также оценить погрешность, очень полезно иметь интегральное представление решения. Его дает формула Фейнмана Қаца. Эта формула для широкого класса потенциалов определяет ядро $\mathscr{K}_{t}\left(q, q^{\prime}\right)$ оператора $e^{-t H}$, т. е.
\[
\left(e^{-t H} \theta\right)(q)=\int \mathscr{K}_{t}\left(q, q^{\prime}\right) \theta\left(q^{\prime}\right) d q^{\prime},
\]

даже в том случае, когда $\mathscr{K}_{t}$ не может быть выражено через элементарные функции. Идея Фейнмана заключалась в том, чтобы найти такое представление для ядра унитарной группы $e^{-i t h}$. Для классической траектории $q(s)$, где $s$ означает время, рассмотрим действие
\[
\mathscr{A}(-t / 2, t / 2)=\int_{-t / 2}^{t / 2} \mathscr{L}(q(s), \dot{q}(s)) d s .
\]

Здесь $\mathscr{L}$-лагранжиан, полученный из гамильтониана
\[
H(p, q)=\frac{1}{2} p^{2}+V(q)
\]

при помощи преобразования Лежандра
\[
\mathscr{L}(q, \dot{q})=\sup _{p}[\dot{q} p-H(p, q)]=\frac{1}{2} \dot{q}^{2}-V(q) .
\]

Пусть $\mathscr{W}\left(q, q^{\prime}, t\right)$ – множество непрерывных траекторий $q(s)$, принимающих фиксированные значения $q(-t / 2)=q$ и $q(t / 2)=q^{\prime}$ на концах отрезка $[-t / 2, t / 2]$. Формула Фейнмана такова:
$\left(\right.$ ядро $\left.e^{-i t H}\right)\left(q, q^{\prime}\right)=\mathrm{const} \int_{\mathscr{W}\left(q, q^{\prime}, t\right)} e^{i \mathcal{A}(-t / 2, t / 2)} \prod_{-t / 2<s<t / 2} d q(s)$.
Эта формула часто и успешно применяется физиками, поскольку она удобна при формальных преобразованиях. Однако комплексной мере $e^{i \wedge} \prod d q(s)$ не удалось придать удовлетворительного математического смысла ${ }^{1}$ ), и по этой причине формула Фейнмана не играла значительной роли в математически строгих исследованиях по квантовой механике.

Аналогичным представлением ядра оператора $e^{-t H}$ как интеграла по пространству траекторий является формула Фейнмана Каца. В этом случае мера в пространстве траекторий положительна и, как мы сейчас увидим, допускает строгое математическое обоснование. Так как $e^{-t H}$ получается из $e^{-i t H}$ аналитическим продолжением по $t$, при котором $t$ переходит в $-i t$, это наводит на мысль сделать такое же аналитическое продолжение в формуле (3.1.3). При помощи подстановки
\[
d s \rightarrow-i d s, \dot{q}^{2}=(d q / d s)^{2} \rightarrow-\dot{q}^{2}
\]

приходим к формальному выражению
\[
=\int_{\mathscr{W}\left(q, q^{\prime}, t\right)} \exp \left(-\int_{-t / 2}^{t / 2}\left[\frac{1}{2} \dot{q}(s)^{2}+V(q(s))\right] d s\right) \prod_{-t / 2<s<t / 2} d q(s) .
\]

Сначала рассмотрим случай $V=0$, т. е.
\[
H=H_{0}=\frac{1}{2} p^{2} .
\]

Этот частный случай приводит к определению условной меры Винера на множестве $\mathscr{W}\left(q, q^{\prime}, t\right)$ непрерывных траекторий $q(s)$, заданных на отрезке $[-t / 2, t / 2]$ и соединяющих $q$ и $q^{\prime}$. Для простоты все формулы будут написаны для трехмерного случая.

Ядро $\mathscr{K}_{t}^{0}\left(q, q^{\prime}\right)$ оператора $e^{-t H_{0}}$ является фундаментальным решением уравнения теплопроводности
\[
\frac{\partial}{\partial t} u(q, t)=H_{0} u=\frac{1}{2} \Delta u(q, t),
\]

где $\Delta=\sum_{i=1}^{3} \partial^{2} / \partial q_{i}^{2}$. Поэтому, если задано начальное условие $u(q, 0)=f(q)$, то решение (3.1.7) представляется в виде
\[
u(q, t)=\left(e^{-t H_{0}} f\right)(q)=\int \mathscr{K}_{t}^{0}\left(q, q^{\prime}\right) f\left(q^{\prime}\right) d q^{\prime} .
\]

Ядром оператора $e^{-t H_{0}}$ является хорошо известная гауссова плотность
\[
(2 \pi t)^{-3 / 2} e^{-\left(q-q^{\prime}\right)^{2} / 2 t}=\mathscr{K}_{t}^{0}\left(q, q^{\prime}\right),
\]
1) Тем не менее существует немало математических работ, посвященных корректному построению фейнманова интеграла (см. обзор Ю. Л. Далецкого: Интегрирование в функциональных пространствах.– Сер. Итоги науки. Математический анализ. – ВИНИТИ, 1967). – Прим. ред.
представляющая собой преобразование Фурье функции $e^{-p^{2} t / 2}$. Вот его основные свойства:
(i) $\mathscr{K}_{t}^{0}\left(q, q^{\prime}\right)>0$;
(ii) $\int \mathscr{K}_{t}^{0}\left(q, q^{\prime}\right) d q^{\prime}=1$;
(iii) $\mathscr{K}_{t+s}^{0}\left(q, q^{\prime}\right)=\int \mathscr{K}_{t}^{0}(q, r) \mathscr{K}_{s}^{0}\left(r, q^{\prime}\right) d r$.
Свойства (i), (ii) позволяют интерпретировать $\mathscr{K}_{t}^{0}\left(q, q^{\prime}\right)$ как плотность распределения вероятностей, а (iii) отвечает полугруп-

Рис. 3.1. Пример двух траекторий $q(s) \in \mathscr{F}\left(q, q^{\prime}, t\right)$, удовлетворяющих условию $q\left(t_{1}\right) \Subset I_{1}$.

повому свойству $e^{-(t+s) H_{0}}=e^{-t H_{0}} \cdot e^{-s H_{0}}$. Свойства (i) – (iii) ядра $\mathscr{K}_{t}^{0}\left(q, q^{\prime}\right)$ дают возможность определить на $\mathscr{W}\left(q, q^{\prime}, t\right)$ условную меру Винера («условие» заключается в том, что оба конца траектории фиксированы, в то время как в случае обычной меры Винера фиксируется лишь начало траектории). Полную меру множества $\mathscr{W}\left(q, q^{\prime}, t\right)$ положим равной $\mathscr{K}_{t}^{0}\left(q, q^{\prime}\right)$, а меру множества
\[
\left\{q(s) \in \mathscr{W}\left(q, q^{\prime}, t\right): q\left(t_{1}\right) \in I_{1}\right\}
\]

траекторий, попадающих в момент времени $t_{1},-t / 2 \leqslant t_{1} \leqslant t / 2$, в подмножество $I_{1} \subset R^{3}$, определим выражением
\[
\int_{I_{1}} \mathscr{H}_{(t / 2)+t_{1}}^{0}\left(q, q_{1}\right) \mathscr{K}_{(t / 2)-t_{1}}^{0}\left(q_{1}, q^{\prime}\right) d q_{1} .
\]

Это множество траекторий изображено на рис. 3.1. Заметим, что определение (3.1.10) корректно в силу свойства (iii), так как если мы возьмем в нем $I_{1}=R^{3}$, то (3.1.10) совпадает с $\mathscr{K}_{t}^{0}\left(q, q^{\prime}\right)$ полной мерой $\mathscr{W}\left(q, q^{\prime}, t\right)$.

В общем случае рассмотрим подмножество траекторий в $\mathscr{W}\left(q, q^{\prime}, t\right)$, точки которых в $n$ фиксированных последовательных
моментов времени $t_{l}$ принадлежат борелевским множествам $l_{j} \subset R^{3}$. Здесь $j=1,2, \ldots, n$ и $-t / 2<t_{1}<t_{2}<\ldots<t_{n}<t / 2$. Такие подмножества в $\mathscr{W}\left(q, q^{\prime}, t\right)$, т. е. подмножества
\[
\left\{q(s): q(-t / 2)=q, q(t / 2)=q^{\prime}, q\left(t_{j}\right) \in I_{j}, j=1,2, \ldots, n\right\}, \text { (3.1.11) }
\]

называются цилиндрическими множествами, а мера множества (3.1.11) определяется выражением
\[
\begin{array}{c}
\int_{I_{1}} d q_{1} \int_{I_{2}} d q_{2} \ldots \int_{I_{n}} d q_{n} \mathscr{K}_{t_{1}+t / 2}^{0}\left(q, q_{1}\right) \mathscr{K}_{t_{2}-t_{1}}^{0}\left(q_{1}, q_{2}\right) \ldots \mathscr{K}_{t / 2-t_{n}}^{0}\left(q_{n}, q^{\prime}\right)= \\
=\int_{I_{1}} d q_{1} \cdots \int_{I_{n}} d q_{n} \prod_{j=1}^{n+1}\left[2 \pi\left(t_{j}-t_{j-1}\right)\right]^{-3 / 2} e^{-\left(q_{t}-q_{i-1}\right)^{2} / 2\left(t_{j}-t_{j-1}\right)}, \quad(3.1 .12) \\
\text { где } t_{0} \equiv-t / 2, q_{0} \equiv q, t_{n+1} \equiv t^{\prime} 2, q_{n+1} \equiv q^{\prime} .
\end{array}
\]

Сформулируем без доказательства основную теорему о существовании меры Винера.
Теорема 3.1.1. Условная мера Винера (3.1.12) счетно-аддитивна на цилиндрических подмножествах пространства $\mathscr{W}\left(q, q^{\prime}, t\right)$ и имеет единственное продолжение на $\sigma$-алгебру борелевских подмножеств $\left.\mathscr{W}\left(q, q^{\prime}, t\right)^{1}\right)$.

Пусть $d W_{q, q}^{t}$ обозначает интегрирование по условной мере Винера. Заменяя в формуле (3.1.12) характеристические функции $\chi_{I}$ интервалов $I_{j}$ произвольными ступенчатыми функциями $A_{j}$, мы с помощью предельного перехода и определения (3.1.8) ядра $\mathscr{K}$ получаем
Следствие 3.1.2. Пусть $A_{i}$ – оператор умножения на ограниченную функцию $A_{i}(q)$, действующий в $L_{2}(q, d q), i=1,2, \ldots, n ;-t / 2 \leqslant$ $\leqslant t_{1} \leqslant \ldots \leqslant t_{n} \leqslant t / 2$. Тогда
\[
\begin{array}{l}
\int \prod_{i=1}^{n} A_{i}\left(q\left(t_{i}\right)\right) d W_{q, q^{\prime}}^{t}= \\
=\left(\text { ядро }\left(e^{-\left(t_{1}+t / 2\right) H_{0}} A_{1} e^{-\left(t_{2}-t_{1}\right) H_{0}} A_{2} \ldots A_{n} e^{-\left(t / 2-t_{n}\right) H_{0}}\right)\right)\left(q, q^{\prime}\right) .
\end{array}
\]

В частном случае, когда все функции $A_{i}$ – тождественные единицы, (3.1.13) превращается в формулу
\[
\int d W_{q, q^{\prime}}^{t}=\left(\text { ядро } e^{-t H_{0}}\right)\left(q, q^{\prime}\right)=\mathscr{K}_{t}^{0}\left(q, q^{\prime}\right) .
\]

Мы закончим этот параграф замечанием о том, что на формальном уровне приведенные здесь определения согласуются с выражением
1) Топология в $\mathscr{F}\left(q, q^{\prime}, t\right)$ индуцируется топологией равномерной сходимости в пространстве непрерывных траекторий на отрезке [- $t / 2, t / 2]$. – Прим. ред.
(3.1.5) в случае $V=0$. Действительно, $e^{-t H_{0}}=\left(e^{-t H_{0} / n}\right)^{n}$, поэтому, как и в (3.1.12), взяв $I_{j}=R^{3}, t_{j}=-t / 2+j t / n, j=0,1,2, \ldots, n$, получим, что
(ядро $\left.e^{-t H_{0}}\right)\left(q, q^{\prime}\right)=$
\[
=\left(\frac{2 \pi t}{n}\right)^{-3 n / 2} \int \ldots \int \exp \left[-\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{\Delta q_{i}}{\Delta t_{i}}\right)^{2} \Delta t_{i}\right] \prod_{i=1}^{n-1} d q_{i} .
\]

Здесь $\Delta q_{i}=q\left(t_{i}\right)-q\left(t_{i-1}\right), q_{0}=q, q_{n}=q^{\prime}, \Delta t_{i}=t / n$. После формального перехода к пределу при $n \rightarrow \infty$ подынтегральное выражение прннимает вид $\exp \left[-\frac{1}{2} \int_{-t / 2}^{t / 2} \dot{q}(s)^{2} d s\right]$. Однако ни константа $(2 \pi t / n)^{-3 n / 2}$, ни мера $\prod_{i} d q_{i}$ не имеют предела при $n \rightarrow \infty$. Можно доказать, что мера Винера множества траекторий, удовлетворяющих условию Гёльдера с показателем $\geqslant 1 / 2$, равна нулю. Аналогично $\exp \left[-\frac{1}{2} \int \dot{q}(s)^{2} d s\right]=0$ почти всюду по мере Винера, т. е. ни один из трех множителей в (3.1.15) не имеет предела при $n \rightarrow \infty$. Тем не менее их произведение под интегралом в (3.1.15) имеет предел, который совпадает с определенной выше условной мерой Винера $d W_{q, q^{\prime}}^{t}$.