В программу конструктивной теории поля входит изучение $\varphi^{4}$-модели в размерности $d=3$. Здесь уже требуется бесконечная перенормировка массы. Сформулируем основную теорему существования. Пусть $d \varphi$ обозначает гауссову меру на пространстве $\mathscr{D}^{\prime}\left(R^{3}\right)$ с ковариацией $(-\Delta+1)^{-1}$ и нулевым средним, а $\varphi_{x}$ – обрезанное поле, полученное либо переходом к решетке с шагом $x^{-1}$, либо сверткой $\varphi_{x} \equiv \varphi * \delta_{x}$ с размазанной $\delta$-функцией $\delta_{x}$, как в $\$ 8.1$. Положим
\[
\begin{array}{l}
V(\Lambda, x)=\int_{\Lambda}\left[\lambda \varphi^{4}+a(x, \lambda) \varphi^{2}\right] d^{3} x, \\
S_{\Lambda, x}(f)=e^{\varphi(f)} d \mu_{\Lambda, x},
\end{array}
\]

где $d \mu_{\Lambda, x}=Z(\Lambda, x)^{-1} \exp [-V(\Lambda, x)] d \varphi, Z(\Lambda, x)=\int \exp [-V(\Lambda, x)] d \varphi$.
Теорема 20.1.1. Существуют такие постоянные $\alpha, \beta \geqslant 0$, что если $a(x)=-\alpha \lambda x+\beta \lambda^{2} \ln x+\sigma$, то для всех $\lambda>0$ и $\sigma \in R$ существует предельный функционал
\[
S\{f\}=\lim _{\Lambda \uparrow R^{3}} \lim _{x \rightarrow \infty} S_{\Lambda, x}(f),
\]

удовлетворяющий аксиомам OS $0-3$.
Теорема 20.1.2. Существуют два конечных значения $\sigma_{ \pm}(\lambda)$, такие, что функционал $\mathcal{S}\{f\}$ удовлетворяет аксиоме OS 4 при $\sigma>\sigma_{+}(\lambda)$ ( $и$, значит, у гамильтониана $H$ имеется единственный вакуумный вектор) и не удовлетворяет ей при $\sigma<\sigma_{-}(\lambda)$ (существуют по крайней мере два вакуумных вектора).

Основной шаг в доказательстве существования, а именно построение меры $d \mu(\Lambda, x=\infty)$, был сделан в работе [Glimm, Jaffe, $1972 b]$. Существование предела при $\Lambda \uparrow R^{3}$ в случае $\sigma>\sigma_{+}$показано с помощью техники кластерных разложений в статьях [Feldman, Osterwalder, 1976] и [Magnen, Sénéor, 1976a]. Сходимость решеточных аппроксимаций, когда шаг решетки стремится к нулю, а $\Lambda$ фиксировано, доказана в работе [Park, 1977]; тем самым установлены корреляционные неравенства. Предел при переходе к бесконечному объему для всех значений $\sigma$ построен в статье [Seiler, Simon, 1976]. Доказательство существования нескольких вакуумов (т. е. фазовых переходов) получено распространением на непрерывный случай методов, описанных в § 16.4 [Fröhlich, Simon, Spencer, 1976]. Спектр частиц в модели при $\sigma \gg 1$ изучался в работе [Burnap, 1977], где доказано существование изолированного одночастичного состояния. Несколько иное построение модели $\varphi_{3}^{4}$ в конечном объеме дано в работе [Benfatto et al., 1980]. Оно основано на идеях, связанных с ренормгруппой (см. [Wilson, Kogut, 1974], [Ma, 1976]).