Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике При изучении кластерного разложения в гл. 18 нам понадобятся граничные условия Дирихле на множестве Г, являющемся объединением гиперплоскостей, образующих решетку. При исследовании предельного перехода к бесконечному объему в гл. 11,18 в качестве Г будет выбираться поверхность двух кубов, вложенных один в другой и отделенных друг от друга. Для того чтобы изучать именно такие ковариационные операторы, удобно иметь соответствующее представление для оператора $C_{\Gamma}$, которое мы здесь и получим. Вообще говоря, не существует разложения $C_{\Gamma}$ в элементарный ряд (типа (7.5.1)), однако утверждения следствия 7.5.2 остаются справедливыми. Формула для оператора $C_{\Gamma}$, которую мы хотим получить, использует винеровское интегральное представление. Метод, применяемый при ее выводе, идейно прост, но технически сложен. Поэтому мы ограничимся лишь схемой доказательства. Пусть $d W_{x y}^{t}$ обозначает условную меру Винера на множестве непрерывных траекторий $\omega(\tau)$ из точки $x$ в точку $y$, таких, что $\omega(0)=x, \omega(t)=y$. Обозначим $\chi_{\Gamma}$ характеристическую функцию множества тех траекторий, которые не пересекают Г. Иначе говоря, Покажем, что ядро оператора $e^{t \Delta} \Gamma$ можно получить, рассматривая только те траектории, которые не пересекают $\Gamma$, а именно В частности, если $\Gamma=\varnothing$, то соотношение (7.8.2) преврацается в известную уже формулу (3.1.14) для свободных граничных условий, Взяв преобразование Лапласа от (7.8.2), получим ядро оператора Более подробное изложение винеровского интсгрального представления для граничных условий Дирихле (и Неймана) см. в работе [Ginibre, 1971]. Наше доказательство формулы (7.8.3) опирается на другое определение граничных условий Дирихле. Введем граничные условия Дирихле на границе $\Gamma=\partial \Lambda$ области $\Lambda$, рассматривая потенциал, равный константе на $R^{d} \backslash \Lambda$, и устремляя затем эту константу к бесконечности. Тем самым в пределе мы получим $\Delta_{\Lambda}$ оператор Лапласа в пространстве $L_{2}(\Lambda)$ с граничными условиями Дирихле на $\partial \Lambda$. Аналогично построим $\Delta_{R d \prod_{\Lambda}}$. После этого оператор $\Delta$ г есть не что иное, как сумма двух коммутирующих операторов $\Delta_{\Lambda}$ и $\Delta_{R^{d} \Lambda_{\Lambda}}$ в пространстве $L_{2}\left(R^{d}\right)$. В случае когда контур $\Gamma$ не охватывает никакой области $\Lambda$, мы построим $\Delta_{\Gamma}$, «раздувая» $\Gamma$ так, чтобы получилась небольшая область, а затем устремим «раздутие» к нулю. Следствие 7.8.2. Для области $\Lambda$ с гранией $\Gamma=\partial \Lambda$ справедливо соотношение Лемма 7.8.3. Оператор $C(\lambda) \equiv\left(-\Delta+m^{2}+\lambda \chi_{\Lambda^{\prime}}\right)^{-1}$ монотонно убывает по $\lambda$ и сходится при $\lambda \rightarrow \infty \kappa$ сильному пределу С. Ядро $C(\lambda, x, y)$ при $\lambda \rightarrow \infty$ убывает и сходится при $x Поскольку $C(\lambda)$ – положительный оператор, для любой функции $f \in L_{2}$ существует $\lim \langle f, C(\lambda) f\rangle$, а оператор $C=\mathrm{w} \cdot \lim C(\lambda)$ ограничен и самосопряжен. Положим $B(\lambda)=C(\lambda)-C \geqslant 0$. Тогда $\| B(\lambda)^{1 / 2} f \rightarrow 0$ для произвольной функции $f$, поэтому s. $\lim B(\lambda)^{1 / 2}=0$ и s. lim $B(\lambda)=0$. Значит, оператор $C(\lambda)$ сильно сходится к $C$, что и утверждалось. Қак и в $\S 7.5$, оператор $C(\lambda)$ имеет строго положительное ядро, а тождество (7.8.6) гарантирует поточечное монотонное убыванне ядра $C(\lambda, x, y)$. Следовательно, $\lim C(\lambda, x, y) \equiv C(x, y) \geqslant 0$ существует для всех точек $x Следующий результат являстся частным случаем сходимости графиков операторов. Общее обсуждение см. в работах [Glimm, Jaffe, 1969, 71 b]. Сначала докажем, что $L_{2}\left(R^{d} \backslash \Lambda\right) \subset \operatorname{Ker} C$. Так как оператор $C$ ограничен, множество Кег $C$ замкнуто. Поэтому достаточно проверить, содержится ли в $\operatorname{Ker} C$ плотное подмножество $L_{2}\left(R^{d} \backslash \Lambda\right)$. В качестве такого подмножества выберем функции класса $C^{2}$ с компактными носителями в $R^{d} \backslash \Lambda$. Для таких функций $f \in C_{0}^{2}\left(R^{a} \backslash \Lambda\right)$ положим Тогда $\|f(\lambda)-f\|=\lambda^{-l}\left\|\left(-\Delta+m^{2}\right) f\right\|=O\left(\lambda^{-1}\right)$ при $\lambda \rightarrow \infty$. Из тождества $C(\lambda) f(\lambda)=\lambda^{-1} f$ следует, что Так как оператор $C(\lambda)$ сильно сходится к оператору $C$, то $C f=0$. Поскольку векторы $g$ плотны в пространстве $L_{2}(\Lambda)$, это означает, что $f \in L_{2}(\Lambda) \perp=L_{2}\left(R^{d} \backslash \Lambda\right)$ и $К$ Кег $C=L_{2}\left(R_{d} \backslash \Lambda\right)$. Так как оператор $C$ самосопряжен, $\operatorname{Ker} C=(\operatorname{Im} C) \perp$. В самом деле, для векторов $g \in \operatorname{Ker} C$ и $f \in L_{2}\left(R^{d}\right)$ и, значит, $g \in(\operatorname{Im} C) \perp$ и $\operatorname{Ker} C \subset(\operatorname{Im} C) \perp$. Аналогично доказывается обратное включение. а, далее, Отсюда $g=C\left(-\Delta+m^{2}\right) g \in \operatorname{Im} C=\mathscr{D}\left(C^{-1}\right)$ и $C^{-1} \supset-\Lambda+\left.m^{2}\right|_{C_{0}^{2}(\Lambda)}$. Так как оператор $C^{-1}$ самосопряжен и положителен, он замкнут одновременно и как оператор, и как билинейная форма. Поэтому $C^{-1}$ есть расширение замыкания билинейной формы $-\Delta_{\Lambda}+m^{2}$, рассматрнваемой первоначально на области $C_{0}^{2}(\Lambda)$. Область определения билинейной формы положительного самосопряженного оператора совпадает с операторной областью определения корня квадратного из него (см. [Kato, 1966]). Поэтому мы закончим доказательство, установив следующее включение для областей определения операторов: В силу неравенства $-\Delta \leqslant C(\lambda)^{-1}$, получим $\left\| Поэтому Другими словами, функция $C^{1 / 2} f$ имеет конечную норму Дирихле для функций $f$ таких, что $ Из неравенства треугольника для нормы в пространстве $L_{2}\left(R^{d-1}\right)$ получим, что $\left|\frac{d}{d n}\right||| C^{1 / 2} f\left|\left\|_{n}\left|\leqslant\left\|\left|\frac{d}{d n} C^{1 / 2} f\right|\right\|_{n}\right.\right.\right.$. Подставляя эту оценку в предыдущее равенство и применяя к интегралу по $n$ неравенство Шварца, найдем, что Стандартным способом применяя операцию свертки, легко показать, что $C^{1 / 2} f$ аппроксимируется в градиентной норме гладкими функциями. Слегка видоизменяя свертку вблизи граннцы $\Lambda$, можно апироксимировать $C^{1 / 2 f}$ (в той же градиентной норме) и функциями класса $C_{0}^{2}(\Lambda)$. Отсюда следует, что а это и доказывает включение (7.8.13a). При $\lambda \rightarrow \infty$ правая часть по теореме Лебега о мажорированной сходимости стремится к $e^{-t m^{2}} \int \chi_{\Lambda}(\omega) d W_{x y}^{t}(\omega)$. Левая же часть, согласно доказанному предложению, стремится к ядру оператора $\chi_{\Lambda} \exp \left[t\left(\Delta_{\partial_{\Lambda}}-m^{2}\right)\right] \chi_{\Lambda}$. Складывая это выражение с соответствующей формулой для области $R^{2} \backslash \Lambda$, получим равенство (7.8.3) как тождество ядер операторов в $L_{2}$. Замечание 4. Можно задать граничные условия Дирихле на «ребре» $b$, не охватывающем никакой области. Используя изложенный выше метод, определим граничные условия Дирихле на контуре $\partial b_{\varepsilon}$, где $b_{\varepsilon}$ – некоторая $\varepsilon$-окрестность $b$. Монотонность соответствующего көвариационного оператора по $\varepsilon$ следует из тождества (7.8.6) (ср. с замечанием 3). Тогда Как и выше, можно показать, что векторы $\left(\left(-\Delta_{\text {гUb }}+m^{2}\right)^{-1} f\right)(x)$ из образа оператора с ядром (7.8.16) при $x \rightarrow b$ стремятся к нулю по нормальной переменной. Предложение 7.8.5. Если $\Gamma_{1} \subset \Gamma$, то Доказательство. Нужно установить только верхнюю оценку в неравенстве (7.8.19). Пусть точка $x$ лежит в ячейче $\Delta$ решетки, а $b \subset \partial \Delta$-гиперплоскость (ребро), ближайшая к $x$. Если $b \subset \Gamma$, то верхняя оценка следует из неравенства (7.6.2), гак как $\delta C \Gamma \leqslant \delta c_{D}$. Теперь предположим, что ребро $b$ не содержится в множестве $\Gamma$, а $\Lambda=\Delta \cup \Delta^{\prime}$ – параллелепипед, образованный двумя смежными ячейками решетки, так что $b \subset \partial \Delta U \partial \Delta^{\prime}$. Сдвиги параллелепипеда $\Lambda$ покрывают все пространство $R^{d}$; ковариационный оператор с граничными условиями Дирихле на $\partial \Lambda$ обозначим $C_{\partial \Lambda}=C_{D}$. (При подходящем выборе решетки этот оператор $C_{D}$ совпадает с оператором $C_{D}$ из $\S 7.5$.) Таким образом, если $x, y \in \Lambda$, то, в силу (7.8.18), $C_{\partial \Lambda}(x, y) \leqslant C_{\Gamma}(x, y)$ и $\delta c_{\Gamma}(x) \leqslant \delta c_{\partial \Lambda}(x)$ при $x \in \Lambda$. Пусть $b^{\prime}$-«ребро», ближайшее к точке $x$. Если $b^{\prime} \cap \Gamma Дополним оценку (7.8.19) оценкой убывания величины $\delta c_{\Gamma}(x)$ на больших расстояниях. Доказательство. Если dist $(x, \Gamma)=r$, то точку_ $x$ можно выбрать в качестве центра $d$-мерного куба $B$ со стороной $l=2 r / \sqrt{d}$, такого, что $B \cap \Gamma=\varnothing$. Пусть граница этого куба $\partial B$ и ее сдвиги порождают некоторую решетку $\Gamma_{1}$. По предложению 7.8 .5 для $x \in B$ имеем $0 \leqslant \delta c_{\Gamma}(x) \leqslant \delta c_{\Gamma_{1}}(x)$. Но $\delta c_{\Gamma_{1}}$ выражается формулой (7.6.3) при $x-x_{i} \geqslant l$. Следовательно, Предложение 7.8.7. Пусть $d=2$. Для любого $1 \leqslant q \leqslant \infty$ существует такая постоянная $K=K(q)$, не зависящая от $m \geqslant 1$ и от оператора $C \in \mathscr{C}_{m}$ (множество ковариационных операторов $\mathscr{C}_{m}$ определено ниже в § 7.9), что для любой ячейки $\Delta$ решетки Доказательство. Изменяя, если нужно, масштаб, можем считать, что $m=1$. Тогда утверждение вытекает из предложений 7.8.5, 7.8.6 и формулы (7.2.2).
|
1 |
Оглавление
|