Главная > МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ КВАНТОВОЙ ФИЗИКИ (Дж.Глимм, А.Джаффе)
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

При изучении кластерного разложения в гл. 18 нам понадобятся граничные условия Дирихле на множестве Г, являющемся объединением гиперплоскостей, образующих решетку. При исследовании предельного перехода к бесконечному объему в гл. 11,18 в качестве Г будет выбираться поверхность двух кубов, вложенных один в другой и отделенных друг от друга. Для того чтобы изучать именно такие ковариационные операторы, удобно иметь соответствующее представление для оператора $C_{\Gamma}$, которое мы здесь и получим. Вообще говоря, не существует разложения $C_{\Gamma}$ в элементарный ряд (типа (7.5.1)), однако утверждения следствия 7.5.2 остаются справедливыми.

Формула для оператора $C_{\Gamma}$, которую мы хотим получить, использует винеровское интегральное представление. Метод, применяемый при ее выводе, идейно прост, но технически сложен. Поэтому мы ограничимся лишь схемой доказательства. Пусть $d W_{x y}^{t}$ обозначает условную меру Винера на множестве непрерывных траекторий $\omega(\tau)$ из точки $x$ в точку $y$, таких, что $\omega(0)=x, \omega(t)=y$. Обозначим $\chi_{\Gamma}$ характеристическую функцию множества тех траекторий, которые не пересекают Г. Иначе говоря,
\[
\chi_{\Gamma}(\omega)=\left\{\begin{array}{ll}
0, & \text { если } \omega(\tau) \in \Gamma \text { для некоторого } \tau, 0 \leqslant \tau \leqslant t, \\
1 & \text { в остальных случаях. }
\end{array}\right.
\]

Покажем, что ядро оператора $e^{t \Delta} \Gamma$ можно получить, рассматривая только те траектории, которые не пересекают $\Gamma$, а именно
\[
e^{t \Delta} \Gamma(x, y)=\int \chi_{\Gamma}(\omega) d W_{x y}^{i}(\omega) .
\]

В частности, если $\Gamma=\varnothing$, то соотношение (7.8.2) преврацается в известную уже формулу (3.1.14) для свободных граничных условий, Взяв преобразование Лапласа от (7.8.2), получим ядро оператора
\[
\begin{aligned}
C_{\Gamma}(x, y) & =\int_{0}^{\infty} d t e^{-t\left(m^{\prime}-\Delta_{\Gamma}\right)}(x, y)= \\
& =\int_{0}^{\infty} d t e^{-t m^{2}} \int \chi_{\Gamma}(\omega) d W_{x y}^{t}(\omega) .
\end{aligned}
\]

Более подробное изложение винеровского интсгрального представления для граничных условий Дирихле (и Неймана) см. в работе [Ginibre, 1971].

Наше доказательство формулы (7.8.3) опирается на другое определение граничных условий Дирихле. Введем граничные условия Дирихле на границе $\Gamma=\partial \Lambda$ области $\Lambda$, рассматривая потенциал, равный константе на $R^{d} \backslash \Lambda$, и устремляя затем эту константу к бесконечности. Тем самым в пределе мы получим $\Delta_{\Lambda}$ оператор Лапласа в пространстве $L_{2}(\Lambda)$ с граничными условиями Дирихле на $\partial \Lambda$. Аналогично построим $\Delta_{R d \prod_{\Lambda}}$. После этого оператор $\Delta$ г есть не что иное, как сумма двух коммутирующих операторов $\Delta_{\Lambda}$ и $\Delta_{R^{d} \Lambda_{\Lambda}}$ в пространстве $L_{2}\left(R^{d}\right)$. В случае когда контур $\Gamma$ не охватывает никакой области $\Lambda$, мы построим $\Delta_{\Gamma}$, «раздувая» $\Gamma$ так, чтобы получилась небольшая область, а затем устремим «раздутие» к нулю.
Предложение 7.8.1. Пусть $\Lambda$-область в $R^{d}$ с границей $\partial \Lambda, a$ $\chi_{\Lambda}(x)$-характеристическая функция $\Lambda$. Тогда
\[
\begin{aligned}
& \chi_{\Lambda}\left(-\Delta_{\partial \Lambda}+m^{2}\right)^{-1} \chi_{\Lambda}=\lim _{\lambda \rightarrow \infty}\left(-\Delta+m^{2}+\lambda \chi_{\Lambda^{\prime}}\right)^{-1}, \\
\text { где } \Lambda^{\prime}= & R^{d} \backslash \Lambda .
\end{aligned}
\]

Следствие 7.8.2. Для области $\Lambda$ с гранией $\Gamma=\partial \Lambda$ справедливо соотношение
\[
\begin{aligned}
C_{\Gamma} & =\lim _{\lambda \rightarrow \infty}\left(-\Delta+m^{2}+\lambda \chi_{\Lambda}\right)^{-1}+\lim _{\lambda \rightarrow \infty}\left(-\Delta+m^{2}+\lambda \chi_{\Lambda^{\prime}}\right)^{-1}= \\
& =\left(-\Delta_{\Gamma}+m^{2}\right)^{-1} .
\end{aligned}
\]

Лемма 7.8.3. Оператор $C(\lambda) \equiv\left(-\Delta+m^{2}+\lambda \chi_{\Lambda^{\prime}}\right)^{-1}$ монотонно убывает по $\lambda$ и сходится при $\lambda \rightarrow \infty \kappa$ сильному пределу С. Ядро $C(\lambda, x, y)$ при $\lambda \rightarrow \infty$ убывает и сходится при $x
eq y \kappa я д р у ~ C(x, y)$. Кроме того, оператор С самосопряжен.
Замечание. Далее в тексте оператор $C$ отождествляется с левой частью формулы (7.8.4).
Доказательство. Монотонность следует из тождества
\[
d C(\lambda) / d \lambda=-C(\lambda) \chi_{\Lambda^{\prime}} C(\lambda) \leqslant 0 .
\]

Поскольку $C(\lambda)$ – положительный оператор, для любой функции $f \in L_{2}$ существует $\lim \langle f, C(\lambda) f\rangle$, а оператор $C=\mathrm{w} \cdot \lim C(\lambda)$ ограничен и самосопряжен. Положим $B(\lambda)=C(\lambda)-C \geqslant 0$. Тогда $\| B(\lambda)^{1 / 2} f \rightarrow 0$ для произвольной функции $f$, поэтому s. $\lim B(\lambda)^{1 / 2}=0$ и s. lim $B(\lambda)=0$. Значит, оператор $C(\lambda)$ сильно сходится к $C$, что и утверждалось.

Қак и в $\S 7.5$, оператор $C(\lambda)$ имеет строго положительное ядро, а тождество (7.8.6) гарантирует поточечное монотонное убыванне ядра $C(\lambda, x, y)$. Следовательно, $\lim C(\lambda, x, y) \equiv C(x, y) \geqslant 0$ существует для всех точек $x
eq y$.

Следующий результат являстся частным случаем сходимости графиков операторов. Общее обсуждение см. в работах [Glimm, Jaffe, 1969, 71 b].
Лемма 7.8.4. Oператор $C=\mathrm{s} \cdot \lim C(\lambda)$ отображает пространство $L_{2}(\Lambda)$ в себя. Более того, оператор $C=\chi_{\Lambda} C_{\chi_{\Lambda}}$ имеет самосопряженный обратный в $L_{2}(\Lambda)$.
Доказательство. Чтобы определить оператор, обратный к $C$, покажем, что $\operatorname{Ker} C=L_{2}\left(R^{d} \backslash \Lambda\right)=(\operatorname{Im} C) \perp$. Из этих двух равенств следует, что оператор $C$ имеет обратный $C^{-1}$, который определен на глотном множестве и действует в пространстве $L_{2}(\Lambda)$. Так как $C$ самосопряжен (и ограничен), то $\operatorname{Im} C^{-1}=$ область определения $C=L_{2}(\Lambda)$ и оператор $C^{-1}$ также самосопряжен.

Сначала докажем, что $L_{2}\left(R^{d} \backslash \Lambda\right) \subset \operatorname{Ker} C$. Так как оператор $C$ ограничен, множество Кег $C$ замкнуто. Поэтому достаточно проверить, содержится ли в $\operatorname{Ker} C$ плотное подмножество $L_{2}\left(R^{d} \backslash \Lambda\right)$. В качестве такого подмножества выберем функции класса $C^{2}$ с компактными носителями в $R^{d} \backslash \Lambda$. Для таких функций $f \in C_{0}^{2}\left(R^{a} \backslash \Lambda\right)$ положим
\[
f(\lambda)=\lambda^{-1} C(\lambda)^{-1} f=\lambda^{-1}\left(-\Delta+m^{2}\right) f+f .
\]

Тогда $\|f(\lambda)-f\|=\lambda^{-l}\left\|\left(-\Delta+m^{2}\right) f\right\|=O\left(\lambda^{-1}\right)$ при $\lambda \rightarrow \infty$. Из тождества $C(\lambda) f(\lambda)=\lambda^{-1} f$ следует, что
$\|C(\lambda) f\|=\|C(\lambda)\{f-f(\lambda)\}+C(\lambda) f(\lambda)\| \leqslant$
\[
\leqslant\|C(\lambda)\|\|f-f(\lambda)\|+\lambda^{-1}\|f\| \leqslant O\left(\lambda^{-1}\right) \text { при } \quad \lambda \rightarrow \infty .
\]

Так как оператор $C(\lambda)$ сильно сходится к оператору $C$, то $C f=0$.
Теперь покажем, что $\operatorname{Ker} C \subset L_{2}\left(R^{d} \backslash \Lambda\right)$. Пусть $f \in \operatorname{Ker} C$, a $g \in C_{0}^{2}(\Lambda)$ тогда
\[
\begin{aligned}
0=\langle(-\Delta & \left.\left.+m^{2}\right) g, C f\right\rangle=\left\langle\left(-\Delta+m^{2}+\lambda \chi_{\Lambda^{\prime}}\right) g, C f\right\rangle= \\
& =\left\langle C(\lambda)^{-1} g, C f\right\rangle=\lim _{\lambda \rightarrow \infty}\left\langle C(\lambda)^{-1} g, C(\lambda) f\right\rangle=\langle g, f\rangle .
\end{aligned}
\]

Поскольку векторы $g$ плотны в пространстве $L_{2}(\Lambda)$, это означает, что $f \in L_{2}(\Lambda) \perp=L_{2}\left(R^{d} \backslash \Lambda\right)$ и $К$ Кег $C=L_{2}\left(R_{d} \backslash \Lambda\right)$.

Так как оператор $C$ самосопряжен, $\operatorname{Ker} C=(\operatorname{Im} C) \perp$. В самом деле, для векторов $g \in \operatorname{Ker} C$ и $f \in L_{2}\left(R^{d}\right)$
\[
\langle g, C f\rangle=\lim _{\lambda \rightarrow \infty}\langle g, C(\lambda) f\rangle=\lim _{\lambda \rightarrow \infty}\langle C(\lambda) g, f\rangle=\langle C g, f\rangle=0
\]

и, значит, $g \in(\operatorname{Im} C) \perp$ и $\operatorname{Ker} C \subset(\operatorname{Im} C) \perp$. Аналогично доказывается обратное включение.
Доказательство предложения 7.8.1. Осталось только отождествить операторы $C^{-1}$ и $-\Delta_{\Lambda}+m^{2}$. Для этого заметим, что оператор Лапласа с граничными условиями Дирихле является расширением по Фридрихсу оператора $\Delta$, рассматриваемого как билинейная форма на $C_{0}^{2}(\Lambda) \times C_{0}^{2}(\Lambda)$. Для $g \in C_{0}^{2}(\Lambda)$ п $f \in L_{2}\left(R^{d}\right)$ справедливо равенство
\[
\left(-\Delta+m^{2}\right) g=\left(-\Delta+m^{2}+\lambda \chi_{\Lambda^{\prime}}\right) g=C(\lambda)^{-1} g
\]

а, далее,
\[
\begin{aligned}
\left\langle\left(-\Delta+m^{2}\right) g, C f\right\rangle & =\lim _{\lambda \rightarrow \infty}\left\langle C(\lambda)^{-1} g, C(\lambda) f\right\rangle=\langle g, f\rangle= \\
& =\lim _{\lambda \rightarrow \infty}\left\langle C(\lambda)\left(-\Delta+m^{2}\right) g, f\right\rangle=\left\langle C\left(-\Delta+m^{2}\right) g, f\right\rangle .
\end{aligned}
\]

Отсюда $g=C\left(-\Delta+m^{2}\right) g \in \operatorname{Im} C=\mathscr{D}\left(C^{-1}\right)$ и $C^{-1} \supset-\Lambda+\left.m^{2}\right|_{C_{0}^{2}(\Lambda)}$. Так как оператор $C^{-1}$ самосопряжен и положителен, он замкнут одновременно и как оператор, и как билинейная форма. Поэтому $C^{-1}$ есть расширение замыкания билинейной формы $-\Delta_{\Lambda}+m^{2}$, рассматрнваемой первоначально на области $C_{0}^{2}(\Lambda)$.

Область определения билинейной формы положительного самосопряженного оператора совпадает с операторной областью определения корня квадратного из него (см. [Kato, 1966]). Поэтому мы закончим доказательство, установив следующее включение для областей определения операторов:
\[
\mathscr{D}\left(C^{-1 / 2}\right) \subset \mathscr{D}\left(\left(-\Delta+m^{2}\right)^{1 / 2}\right) .
\]

В силу неравенства $-\Delta \leqslant C(\lambda)^{-1}$, получим $\left\|
abla C(\lambda)^{1 / 2} f\right\|_{L_{2}} \leqslant\|f\|_{L_{2}}$, поэтому последоватсльность $\left\{C(\lambda)^{1 / 2}\right\}$ ограничена по $\lambda$ в градиентной норме. Для функции $h \in \mathscr{D}(\Delta)$ имеет место сходимость $\left\langle
abla h, \quad
abla C(\lambda)^{1 / 2} f\right\rangle \rightarrow\left\langle-\Delta h, C^{1 / 2} f\right\rangle$. Поэтому последовательность $C(\lambda)^{1 / 2} j$ для всюду плотного множества $f$ слабо сходится в градиентной норме и равномерно ограничена (относительно этой нормы). Следовательно, в гильбертовом пространстве с градиентной нормой она слабо сходится к пределу $C^{1 / 2} f$. Кроме того, справедливы неравенства
\[
\left\|
abla C^{1 / 2} f\right\|_{L_{2}} \leqslant \overline{\lim }_{\lambda}\left\|
abla C(\lambda)^{1 / 2} f\right\|_{L_{2}} \leqslant\|f\|_{L_{2}}
\]

Поэтому
\[
\mathscr{D}\left(C^{-1 / 2}\right)=\operatorname{Im} C^{1 / 2} \subset \mathscr{D}\left(-\Delta^{1 / 2}\right) .
\]

Другими словами, функция $C^{1 / 2} f$ имеет конечную норму Дирихле для функций $f$ таких, что $
abla f \in L_{2}\left(R^{d}\right)$. Из леммы 7.8 .4 следует, что $C^{1 / 2} f=0$ на множестве $\Delta^{\prime}$. Теперь мы оценим $L_{2}\left(R^{d-1}\right)$-норму $\|\mid \cdot\|_{\varepsilon}$ функции $C^{1 / 2} f$ в плоскости, параллельной $\partial \Lambda$ и отстоящей от пее на $\varepsilon$. Пусть $n$-координата, нормальная к $\partial \Lambda$, а $p$-набор координат в плоскости, параллельной $\partial \Lambda$ (тангенциальые координаты). В этих обозначениях положим $\|f\|_{n}^{2}=\int|f(n, p)|^{2} d p$; тогда
\[
\left\|\mid C^{1 / 2} f\right\| \|_{\varepsilon}=\int_{0}^{\varepsilon}\left(\frac{d}{d n}\left\|\mid C^{1 / 2} f\right\| \|_{n}\right) d n .
\]

Из неравенства треугольника для нормы в пространстве $L_{2}\left(R^{d-1}\right)$ получим, что $\left|\frac{d}{d n}\right||| C^{1 / 2} f\left|\left\|_{n}\left|\leqslant\left\|\left|\frac{d}{d n} C^{1 / 2} f\right|\right\|_{n}\right.\right.\right.$. Подставляя эту оценку в предыдущее равенство и применяя к интегралу по $n$ неравенство Шварца, найдем, что
\[
\left\|C^{1 / 2} f\right\|_{\varepsilon} \leqslant \varepsilon^{1 / 2}\left\|
abla C^{1 / 2} f\right\|_{L_{2}} \leqslant e^{1 / 2}\|f\|_{L_{2}}
\]

Стандартным способом применяя операцию свертки, легко показать, что $C^{1 / 2} f$ аппроксимируется в градиентной норме гладкими функциями. Слегка видоизменяя свертку вблизи граннцы $\Lambda$, можно апироксимировать $C^{1 / 2 f}$ (в той же градиентной норме) и функциями класса $C_{0}^{2}(\Lambda)$. Отсюда следует, что
\[
\mathscr{D}\left(-\Delta^{1 / 2}\right) \cap L_{2}(\Lambda) \subset \mathscr{D}\left(\left(-\Delta_{\Lambda}+m^{2}\right)^{1 / 2}\right),
\]

а это и доказывает включение (7.8.13a).
Замечание 1. Из неравенства (7.8.13b) вытекает, что функции из $\mathscr{D}\left(-\Delta^{1 / 2}\right) \cap L_{2}(\Lambda)$, рассматриваемые как $L_{2}$-функции по тангенциальным переменным, удовлетворяют условию Гёльдера по переэтих функций на границе $\partial \Lambda$ существуют и обращаются в нуль. См. подробности в книге [Agmon, 1965].
Замечание 2. Пусть $\Gamma=\partial \Lambda$. По формуле Фейнмана – Қаца из гл. 3 получим
\[
\begin{aligned}
e^{-t C(\lambda)^{-1}}(x, y)= & e^{-t\left(-\Delta+m^{2}+\lambda x_{\Lambda^{\prime}}\right)}(x, y)= \\
& =e^{-t m^{2}} \int \exp \left[-\lambda \int_{0}^{t} \chi_{\Lambda^{\prime}}(\omega(\tau)) d \tau\right] d W_{x y}^{t}(\omega) .
\end{aligned}
\]

При $\lambda \rightarrow \infty$ правая часть по теореме Лебега о мажорированной сходимости стремится к $e^{-t m^{2}} \int \chi_{\Lambda}(\omega) d W_{x y}^{t}(\omega)$. Левая же часть, согласно доказанному предложению, стремится к ядру оператора $\chi_{\Lambda} \exp \left[t\left(\Delta_{\partial_{\Lambda}}-m^{2}\right)\right] \chi_{\Lambda}$. Складывая это выражение с соответствующей формулой для области $R^{2} \backslash \Lambda$, получим равенство (7.8.3) как тождество ядер операторов в $L_{2}$.
Замечание 3. Граничные условия Дирихле можно определить последовательно на контурах $\Gamma_{1}, \Gamma_{2}$, охватывающих области $\Lambda_{1}, \Lambda_{2}$, при помощи следующей формулы, которая доказывается аналогично предложению 7.8.1:
\[
\begin{array}{l}
\left(-\Delta_{\Gamma_{1} \cup \Gamma_{2}}+m^{2}\right)^{-1}= \\
=\lim _{\lambda \rightarrow \infty}\left[\left(-\Delta_{\Gamma_{2}}+m^{2}+\lambda \chi_{\Lambda_{2}^{\prime}}\right)^{-1}+\left(-\Delta_{\Gamma_{1}}+m^{2}+\lambda \chi_{\Lambda_{1}^{\prime}}\right)^{-1}\right] .
\end{array}
\]

Замечание 4. Можно задать граничные условия Дирихле на «ребре» $b$, не охватывающем никакой области. Используя изложенный выше метод, определим граничные условия Дирихле на контуре $\partial b_{\varepsilon}$, где $b_{\varepsilon}$ – некоторая $\varepsilon$-окрестность $b$. Монотонность соответствующего көвариационного оператора по $\varepsilon$ следует из тождества (7.8.6) (ср. с замечанием 3). Тогда
\[
\left(-\Delta_{\Gamma \cup b}+m^{2}\right)^{-1}(x, y)=\sup _{\varepsilon}\left(-\Delta_{\Gamma \cup \partial b_{\varepsilon}}+m^{2}\right)^{-1}(x, y) .
\]

Как и выше, можно показать, что векторы $\left(\left(-\Delta_{\text {гUb }}+m^{2}\right)^{-1} f\right)(x)$ из образа оператора с ядром (7.8.16) при $x \rightarrow b$ стремятся к нулю по нормальной переменной.
Замечание 5. Из предыдущих рассуждений, обобщая предложение 7.6.1, можно вывести, что ядро ковариационного оператора Дирихле $C_{\Gamma}$ монотонно убывает при расширении множества Г. Положим
\[
\delta c_{\Gamma}(x)=\lim _{y \rightarrow x}\left[C_{\varnothing}(x, y)-C_{\Gamma}(x, y)\right] .
\]

Предложение 7.8.5. Если $\Gamma_{1} \subset \Gamma$, то
\[
\begin{array}{c}
0 \leqslant C_{\Gamma}(x, y) \leqslant C_{\Gamma_{1}}(x, y) \leqslant C(x, y), \\
0 \leqslant \delta c_{\Gamma_{1}}(x) \leqslant \delta c_{\Gamma}(x) \leqslant\left\{\begin{array}{l}
\operatorname{const}\left(1+\operatorname{dist}(x, \Gamma)^{-d+2}\right) \text { npu } d \geqslant 3, \\
\text { const }(1+|\ln \operatorname{dist}(x, \Gamma)|) \text { npu } d=2 .
\end{array}\right.
\end{array}
\]

Доказательство. Нужно установить только верхнюю оценку в неравенстве (7.8.19). Пусть точка $x$ лежит в ячейче $\Delta$ решетки, а $b \subset \partial \Delta$-гиперплоскость (ребро), ближайшая к $x$. Если $b \subset \Gamma$, то верхняя оценка следует из неравенства (7.6.2), гак как $\delta C \Gamma \leqslant \delta c_{D}$. Теперь предположим, что ребро $b$ не содержится в множестве $\Gamma$, а $\Lambda=\Delta \cup \Delta^{\prime}$ – параллелепипед, образованный двумя смежными ячейками решетки, так что $b \subset \partial \Delta U \partial \Delta^{\prime}$. Сдвиги параллелепипеда $\Lambda$ покрывают все пространство $R^{d}$; ковариационный оператор с граничными условиями Дирихле на $\partial \Lambda$ обозначим $C_{\partial \Lambda}=C_{D}$. (При подходящем выборе решетки этот оператор $C_{D}$ совпадает с оператором $C_{D}$ из $\S 7.5$.) Таким образом, если $x, y \in \Lambda$, то, в силу (7.8.18), $C_{\partial \Lambda}(x, y) \leqslant C_{\Gamma}(x, y)$ и $\delta c_{\Gamma}(x) \leqslant \delta c_{\partial \Lambda}(x)$ при $x \in \Lambda$.

Пусть $b^{\prime}$-«ребро», ближайшее к точке $x$. Если $b^{\prime} \cap \Gamma
eq \varnothing$, то верхняя оценка, как и выше, следует из неравенства (7.6.2). Если же $b^{\prime} \cap \Gamma \Rightarrow \varnothing$, то мы построим новый параллелепипед $\Lambda \cup \Lambda^{\prime}$ и повторим предыдущие рассуждения. В случае, когда точка $x$ лежит внутри $\Lambda$, мы закончим доказательство самое большее после $d$ шагов. В случае, когда $x$ лежит вне $\Lambda$, оно с помощью монотонности по-прежнему сводится к оценке (7.6.2).

Дополним оценку (7.8.19) оценкой убывания величины $\delta c_{\Gamma}(x)$ на больших расстояниях.
Предложение 7.8.6. Пусть величина $\delta c_{\mathrm{r}}$ определена формулой (7.8.17), а расстояние $\operatorname{dist}(x, \Gamma)$ отделено от нуля. Тогда
\[
0 \leqslant \delta c_{\Gamma}(x) \leqslant O(1) e^{-2 m \text { dist }(x, \Gamma) / \sqrt{d}} .
\]

Доказательство. Если dist $(x, \Gamma)=r$, то точку_ $x$ можно выбрать в качестве центра $d$-мерного куба $B$ со стороной $l=2 r / \sqrt{d}$, такого, что $B \cap \Gamma=\varnothing$. Пусть граница этого куба $\partial B$ и ее сдвиги порождают некоторую решетку $\Gamma_{1}$. По предложению 7.8 .5 для $x \in B$ имеем $0 \leqslant \delta c_{\Gamma}(x) \leqslant \delta c_{\Gamma_{1}}(x)$. Но $\delta c_{\Gamma_{1}}$ выражается формулой (7.6.3) при $x-x_{i} \geqslant l$. Следовательно,

Предложение 7.8.7. Пусть $d=2$. Для любого $1 \leqslant q \leqslant \infty$ существует такая постоянная $K=K(q)$, не зависящая от $m \geqslant 1$ и от оператора $C \in \mathscr{C}_{m}$ (множество ковариационных операторов $\mathscr{C}_{m}$ определено ниже в § 7.9), что для любой ячейки $\Delta$ решетки
\[
\left\|\delta c_{\Gamma}(x)\right\|_{L_{q}(\Delta)} \leqslant K m^{-1 / q} .
\]

Доказательство. Изменяя, если нужно, масштаб, можем считать, что $m=1$. Тогда утверждение вытекает из предложений 7.8.5, 7.8.6 и формулы (7.2.2).

Categories

1
Оглавление
email@scask.ru