При изучении кластерного разложения в гл. 18 нам понадобятся граничные условия Дирихле на множестве Г, являющемся объединением гиперплоскостей, образующих решетку. При исследовании предельного перехода к бесконечному объему в гл. 11,18 в качестве Г будет выбираться поверхность двух кубов, вложенных один в другой и отделенных друг от друга. Для того чтобы изучать именно такие ковариационные операторы, удобно иметь соответствующее представление для оператора $C_{\Gamma}$, которое мы здесь и получим. Вообще говоря, не существует разложения $C_{\Gamma}$ в элементарный ряд (типа (7.5.1)), однако утверждения следствия 7.5.2 остаются справедливыми.

Формула для оператора $C_{\Gamma}$, которую мы хотим получить, использует винеровское интегральное представление. Метод, применяемый при ее выводе, идейно прост, но технически сложен. Поэтому мы ограничимся лишь схемой доказательства. Пусть $d W_{x y}^{t}$ обозначает условную меру Винера на множестве непрерывных траекторий $\omega(\tau)$ из точки $x$ в точку $y$, таких, что $\omega(0)=x, \omega(t)=y$. Обозначим $\chi_{\Gamma}$ характеристическую функцию множества тех траекторий, которые не пересекают Г. Иначе говоря,
\[
\chi_{\Gamma}(\omega)=\left\{\begin{array}{ll}
0, & \text { если } \omega(\tau) \in \Gamma \text { для некоторого } \tau, 0 \leqslant \tau \leqslant t, \\
1 & \text { в остальных случаях. }
\end{array}\right.
\]

Покажем, что ядро оператора $e^{t \Delta} \Gamma$ можно получить, рассматривая только те траектории, которые не пересекают $\Gamma$, а именно
\[
e^{t \Delta} \Gamma(x, y)=\int \chi_{\Gamma}(\omega) d W_{x y}^{i}(\omega) .
\]

В частности, если $\Gamma=\varnothing$, то соотношение (7.8.2) преврацается в известную уже формулу (3.1.14) для свободных граничных условий, Взяв преобразование Лапласа от (7.8.2), получим ядро оператора
\[
\begin{aligned}
C_{\Gamma}(x, y) & =\int_{0}^{\infty} d t e^{-t\left(m^{\prime}-\Delta_{\Gamma}\right)}(x, y)= \\
& =\int_{0}^{\infty} d t e^{-t m^{2}} \int \chi_{\Gamma}(\omega) d W_{x y}^{t}(\omega) .
\end{aligned}
\]

Более подробное изложение винеровского интсгрального представления для граничных условий Дирихле (и Неймана) см. в работе [Ginibre, 1971].

Наше доказательство формулы (7.8.3) опирается на другое определение граничных условий Дирихле. Введем граничные условия Дирихле на границе $\Gamma=\partial \Lambda$ области $\Lambda$, рассматривая потенциал, равный константе на $R^{d} \backslash \Lambda$, и устремляя затем эту константу к бесконечности. Тем самым в пределе мы получим $\Delta_{\Lambda}$ оператор Лапласа в пространстве $L_{2}(\Lambda)$ с граничными условиями Дирихле на $\partial \Lambda$. Аналогично построим $\Delta_{R d \prod_{\Lambda}}$. После этого оператор $\Delta$ г есть не что иное, как сумма двух коммутирующих операторов $\Delta_{\Lambda}$ и $\Delta_{R^{d} \Lambda_{\Lambda}}$ в пространстве $L_{2}\left(R^{d}\right)$. В случае когда контур $\Gamma$ не охватывает никакой области $\Lambda$, мы построим $\Delta_{\Gamma}$, «раздувая» $\Gamma$ так, чтобы получилась небольшая область, а затем устремим «раздутие» к нулю.
Предложение 7.8.1. Пусть $\Lambda$-область в $R^{d}$ с границей $\partial \Lambda, a$ $\chi_{\Lambda}(x)$-характеристическая функция $\Lambda$. Тогда
\[
\begin{aligned}
& \chi_{\Lambda}\left(-\Delta_{\partial \Lambda}+m^{2}\right)^{-1} \chi_{\Lambda}=\lim _{\lambda \rightarrow \infty}\left(-\Delta+m^{2}+\lambda \chi_{\Lambda^{\prime}}\right)^{-1}, \\
\text { где } \Lambda^{\prime}= & R^{d} \backslash \Lambda .
\end{aligned}
\]

Следствие 7.8.2. Для области $\Lambda$ с гранией $\Gamma=\partial \Lambda$ справедливо соотношение
\[
\begin{aligned}
C_{\Gamma} & =\lim _{\lambda \rightarrow \infty}\left(-\Delta+m^{2}+\lambda \chi_{\Lambda}\right)^{-1}+\lim _{\lambda \rightarrow \infty}\left(-\Delta+m^{2}+\lambda \chi_{\Lambda^{\prime}}\right)^{-1}= \\
& =\left(-\Delta_{\Gamma}+m^{2}\right)^{-1} .
\end{aligned}
\]

Лемма 7.8.3. Оператор $C(\lambda) \equiv\left(-\Delta+m^{2}+\lambda \chi_{\Lambda^{\prime}}\right)^{-1}$ монотонно убывает по $\lambda$ и сходится при $\lambda \rightarrow \infty \kappa$ сильному пределу С. Ядро $C(\lambda, x, y)$ при $\lambda \rightarrow \infty$ убывает и сходится при $x
eq y \kappa я д р у ~ C(x, y)$. Кроме того, оператор С самосопряжен.
Замечание. Далее в тексте оператор $C$ отождествляется с левой частью формулы (7.8.4).
Доказательство. Монотонность следует из тождества
\[
d C(\lambda) / d \lambda=-C(\lambda) \chi_{\Lambda^{\prime}} C(\lambda) \leqslant 0 .
\]

Поскольку $C(\lambda)$ — положительный оператор, для любой функции $f \in L_{2}$ существует $\lim \langle f, C(\lambda) f\rangle$, а оператор $C=\mathrm{w} \cdot \lim C(\lambda)$ ограничен и самосопряжен. Положим $B(\lambda)=C(\lambda)-C \geqslant 0$. Тогда $\| B(\lambda)^{1 / 2} f \rightarrow 0$ для произвольной функции $f$, поэтому s. $\lim B(\lambda)^{1 / 2}=0$ и s. lim $B(\lambda)=0$. Значит, оператор $C(\lambda)$ сильно сходится к $C$, что и утверждалось.

Қак и в $\S 7.5$, оператор $C(\lambda)$ имеет строго положительное ядро, а тождество (7.8.6) гарантирует поточечное монотонное убыванне ядра $C(\lambda, x, y)$. Следовательно, $\lim C(\lambda, x, y) \equiv C(x, y) \geqslant 0$ существует для всех точек $x
eq y$.

Следующий результат являстся частным случаем сходимости графиков операторов. Общее обсуждение см. в работах [Glimm, Jaffe, 1969, 71 b].
Лемма 7.8.4. Oператор $C=\mathrm{s} \cdot \lim C(\lambda)$ отображает пространство $L_{2}(\Lambda)$ в себя. Более того, оператор $C=\chi_{\Lambda} C_{\chi_{\Lambda}}$ имеет самосопряженный обратный в $L_{2}(\Lambda)$.
Доказательство. Чтобы определить оператор, обратный к $C$, покажем, что $\operatorname{Ker} C=L_{2}\left(R^{d} \backslash \Lambda\right)=(\operatorname{Im} C) \perp$. Из этих двух равенств следует, что оператор $C$ имеет обратный $C^{-1}$, который определен на глотном множестве и действует в пространстве $L_{2}(\Lambda)$. Так как $C$ самосопряжен (и ограничен), то $\operatorname{Im} C^{-1}=$ область определения $C=L_{2}(\Lambda)$ и оператор $C^{-1}$ также самосопряжен.

Сначала докажем, что $L_{2}\left(R^{d} \backslash \Lambda\right) \subset \operatorname{Ker} C$. Так как оператор $C$ ограничен, множество Кег $C$ замкнуто. Поэтому достаточно проверить, содержится ли в $\operatorname{Ker} C$ плотное подмножество $L_{2}\left(R^{d} \backslash \Lambda\right)$. В качестве такого подмножества выберем функции класса $C^{2}$ с компактными носителями в $R^{d} \backslash \Lambda$. Для таких функций $f \in C_{0}^{2}\left(R^{a} \backslash \Lambda\right)$ положим
\[
f(\lambda)=\lambda^{-1} C(\lambda)^{-1} f=\lambda^{-1}\left(-\Delta+m^{2}\right) f+f .
\]

Тогда $\|f(\lambda)-f\|=\lambda^{-l}\left\|\left(-\Delta+m^{2}\right) f\right\|=O\left(\lambda^{-1}\right)$ при $\lambda \rightarrow \infty$. Из тождества $C(\lambda) f(\lambda)=\lambda^{-1} f$ следует, что
$\|C(\lambda) f\|=\|C(\lambda)\{f-f(\lambda)\}+C(\lambda) f(\lambda)\| \leqslant$
\[
\leqslant\|C(\lambda)\|\|f-f(\lambda)\|+\lambda^{-1}\|f\| \leqslant O\left(\lambda^{-1}\right) \text { при } \quad \lambda \rightarrow \infty .
\]

Так как оператор $C(\lambda)$ сильно сходится к оператору $C$, то $C f=0$.
Теперь покажем, что $\operatorname{Ker} C \subset L_{2}\left(R^{d} \backslash \Lambda\right)$. Пусть $f \in \operatorname{Ker} C$, a $g \in C_{0}^{2}(\Lambda)$ тогда
\[
\begin{aligned}
0=\langle(-\Delta & \left.\left.+m^{2}\right) g, C f\right\rangle=\left\langle\left(-\Delta+m^{2}+\lambda \chi_{\Lambda^{\prime}}\right) g, C f\right\rangle= \\
& =\left\langle C(\lambda)^{-1} g, C f\right\rangle=\lim _{\lambda \rightarrow \infty}\left\langle C(\lambda)^{-1} g, C(\lambda) f\right\rangle=\langle g, f\rangle .
\end{aligned}
\]

Поскольку векторы $g$ плотны в пространстве $L_{2}(\Lambda)$, это означает, что $f \in L_{2}(\Lambda) \perp=L_{2}\left(R^{d} \backslash \Lambda\right)$ и $К$ Кег $C=L_{2}\left(R_{d} \backslash \Lambda\right)$.

Так как оператор $C$ самосопряжен, $\operatorname{Ker} C=(\operatorname{Im} C) \perp$. В самом деле, для векторов $g \in \operatorname{Ker} C$ и $f \in L_{2}\left(R^{d}\right)$
\[
\langle g, C f\rangle=\lim _{\lambda \rightarrow \infty}\langle g, C(\lambda) f\rangle=\lim _{\lambda \rightarrow \infty}\langle C(\lambda) g, f\rangle=\langle C g, f\rangle=0
\]

и, значит, $g \in(\operatorname{Im} C) \perp$ и $\operatorname{Ker} C \subset(\operatorname{Im} C) \perp$. Аналогично доказывается обратное включение.
Доказательство предложения 7.8.1. Осталось только отождествить операторы $C^{-1}$ и $-\Delta_{\Lambda}+m^{2}$. Для этого заметим, что оператор Лапласа с граничными условиями Дирихле является расширением по Фридрихсу оператора $\Delta$, рассматриваемого как билинейная форма на $C_{0}^{2}(\Lambda) \times C_{0}^{2}(\Lambda)$. Для $g \in C_{0}^{2}(\Lambda)$ п $f \in L_{2}\left(R^{d}\right)$ справедливо равенство
\[
\left(-\Delta+m^{2}\right) g=\left(-\Delta+m^{2}+\lambda \chi_{\Lambda^{\prime}}\right) g=C(\lambda)^{-1} g
\]

а, далее,
\[
\begin{aligned}
\left\langle\left(-\Delta+m^{2}\right) g, C f\right\rangle & =\lim _{\lambda \rightarrow \infty}\left\langle C(\lambda)^{-1} g, C(\lambda) f\right\rangle=\langle g, f\rangle= \\
& =\lim _{\lambda \rightarrow \infty}\left\langle C(\lambda)\left(-\Delta+m^{2}\right) g, f\right\rangle=\left\langle C\left(-\Delta+m^{2}\right) g, f\right\rangle .
\end{aligned}
\]

Отсюда $g=C\left(-\Delta+m^{2}\right) g \in \operatorname{Im} C=\mathscr{D}\left(C^{-1}\right)$ и $C^{-1} \supset-\Lambda+\left.m^{2}\right|_{C_{0}^{2}(\Lambda)}$. Так как оператор $C^{-1}$ самосопряжен и положителен, он замкнут одновременно и как оператор, и как билинейная форма. Поэтому $C^{-1}$ есть расширение замыкания билинейной формы $-\Delta_{\Lambda}+m^{2}$, рассматрнваемой первоначально на области $C_{0}^{2}(\Lambda)$.

Область определения билинейной формы положительного самосопряженного оператора совпадает с операторной областью определения корня квадратного из него (см. [Kato, 1966]). Поэтому мы закончим доказательство, установив следующее включение для областей определения операторов:
\[
\mathscr{D}\left(C^{-1 / 2}\right) \subset \mathscr{D}\left(\left(-\Delta+m^{2}\right)^{1 / 2}\right) .
\]

В силу неравенства $-\Delta \leqslant C(\lambda)^{-1}$, получим $\left\|
abla C(\lambda)^{1 / 2} f\right\|_{L_{2}} \leqslant\|f\|_{L_{2}}$, поэтому последоватсльность $\left\{C(\lambda)^{1 / 2}\right\}$ ограничена по $\lambda$ в градиентной норме. Для функции $h \in \mathscr{D}(\Delta)$ имеет место сходимость $\left\langle
abla h, \quad
abla C(\lambda)^{1 / 2} f\right\rangle \rightarrow\left\langle-\Delta h, C^{1 / 2} f\right\rangle$. Поэтому последовательность $C(\lambda)^{1 / 2} j$ для всюду плотного множества $f$ слабо сходится в градиентной норме и равномерно ограничена (относительно этой нормы). Следовательно, в гильбертовом пространстве с градиентной нормой она слабо сходится к пределу $C^{1 / 2} f$. Кроме того, справедливы неравенства
\[
\left\|
abla C^{1 / 2} f\right\|_{L_{2}} \leqslant \overline{\lim }_{\lambda}\left\|
abla C(\lambda)^{1 / 2} f\right\|_{L_{2}} \leqslant\|f\|_{L_{2}}
\]

Поэтому
\[
\mathscr{D}\left(C^{-1 / 2}\right)=\operatorname{Im} C^{1 / 2} \subset \mathscr{D}\left(-\Delta^{1 / 2}\right) .
\]

Другими словами, функция $C^{1 / 2} f$ имеет конечную норму Дирихле для функций $f$ таких, что $
abla f \in L_{2}\left(R^{d}\right)$. Из леммы 7.8 .4 следует, что $C^{1 / 2} f=0$ на множестве $\Delta^{\prime}$. Теперь мы оценим $L_{2}\left(R^{d-1}\right)$-норму $\|\mid \cdot\|_{\varepsilon}$ функции $C^{1 / 2} f$ в плоскости, параллельной $\partial \Lambda$ и отстоящей от пее на $\varepsilon$. Пусть $n$-координата, нормальная к $\partial \Lambda$, а $p$-набор координат в плоскости, параллельной $\partial \Lambda$ (тангенциальые координаты). В этих обозначениях положим $\|f\|_{n}^{2}=\int|f(n, p)|^{2} d p$; тогда
\[
\left\|\mid C^{1 / 2} f\right\| \|_{\varepsilon}=\int_{0}^{\varepsilon}\left(\frac{d}{d n}\left\|\mid C^{1 / 2} f\right\| \|_{n}\right) d n .
\]

Из неравенства треугольника для нормы в пространстве $L_{2}\left(R^{d-1}\right)$ получим, что $\left|\frac{d}{d n}\right||| C^{1 / 2} f\left|\left\|_{n}\left|\leqslant\left\|\left|\frac{d}{d n} C^{1 / 2} f\right|\right\|_{n}\right.\right.\right.$. Подставляя эту оценку в предыдущее равенство и применяя к интегралу по $n$ неравенство Шварца, найдем, что
\[
\left\|C^{1 / 2} f\right\|_{\varepsilon} \leqslant \varepsilon^{1 / 2}\left\|
abla C^{1 / 2} f\right\|_{L_{2}} \leqslant e^{1 / 2}\|f\|_{L_{2}}
\]

Стандартным способом применяя операцию свертки, легко показать, что $C^{1 / 2} f$ аппроксимируется в градиентной норме гладкими функциями. Слегка видоизменяя свертку вблизи граннцы $\Lambda$, можно апироксимировать $C^{1 / 2 f}$ (в той же градиентной норме) и функциями класса $C_{0}^{2}(\Lambda)$. Отсюда следует, что
\[
\mathscr{D}\left(-\Delta^{1 / 2}\right) \cap L_{2}(\Lambda) \subset \mathscr{D}\left(\left(-\Delta_{\Lambda}+m^{2}\right)^{1 / 2}\right),
\]

а это и доказывает включение (7.8.13a).
Замечание 1. Из неравенства (7.8.13b) вытекает, что функции из $\mathscr{D}\left(-\Delta^{1 / 2}\right) \cap L_{2}(\Lambda)$, рассматриваемые как $L_{2}$-функции по тангенциальным переменным, удовлетворяют условию Гёльдера по переэтих функций на границе $\partial \Lambda$ существуют и обращаются в нуль. См. подробности в книге [Agmon, 1965].
Замечание 2. Пусть $\Gamma=\partial \Lambda$. По формуле Фейнмана — Қаца из гл. 3 получим
\[
\begin{aligned}
e^{-t C(\lambda)^{-1}}(x, y)= & e^{-t\left(-\Delta+m^{2}+\lambda x_{\Lambda^{\prime}}\right)}(x, y)= \\
& =e^{-t m^{2}} \int \exp \left[-\lambda \int_{0}^{t} \chi_{\Lambda^{\prime}}(\omega(\tau)) d \tau\right] d W_{x y}^{t}(\omega) .
\end{aligned}
\]

При $\lambda \rightarrow \infty$ правая часть по теореме Лебега о мажорированной сходимости стремится к $e^{-t m^{2}} \int \chi_{\Lambda}(\omega) d W_{x y}^{t}(\omega)$. Левая же часть, согласно доказанному предложению, стремится к ядру оператора $\chi_{\Lambda} \exp \left[t\left(\Delta_{\partial_{\Lambda}}-m^{2}\right)\right] \chi_{\Lambda}$. Складывая это выражение с соответствующей формулой для области $R^{2} \backslash \Lambda$, получим равенство (7.8.3) как тождество ядер операторов в $L_{2}$.
Замечание 3. Граничные условия Дирихле можно определить последовательно на контурах $\Gamma_{1}, \Gamma_{2}$, охватывающих области $\Lambda_{1}, \Lambda_{2}$, при помощи следующей формулы, которая доказывается аналогично предложению 7.8.1:
\[
\begin{array}{l}
\left(-\Delta_{\Gamma_{1} \cup \Gamma_{2}}+m^{2}\right)^{-1}= \\
=\lim _{\lambda \rightarrow \infty}\left[\left(-\Delta_{\Gamma_{2}}+m^{2}+\lambda \chi_{\Lambda_{2}^{\prime}}\right)^{-1}+\left(-\Delta_{\Gamma_{1}}+m^{2}+\lambda \chi_{\Lambda_{1}^{\prime}}\right)^{-1}\right] .
\end{array}
\]

Замечание 4. Можно задать граничные условия Дирихле на «ребре» $b$, не охватывающем никакой области. Используя изложенный выше метод, определим граничные условия Дирихле на контуре $\partial b_{\varepsilon}$, где $b_{\varepsilon}$ — некоторая $\varepsilon$-окрестность $b$. Монотонность соответствующего көвариационного оператора по $\varepsilon$ следует из тождества (7.8.6) (ср. с замечанием 3). Тогда
\[
\left(-\Delta_{\Gamma \cup b}+m^{2}\right)^{-1}(x, y)=\sup _{\varepsilon}\left(-\Delta_{\Gamma \cup \partial b_{\varepsilon}}+m^{2}\right)^{-1}(x, y) .
\]

Как и выше, можно показать, что векторы $\left(\left(-\Delta_{\text {гUb }}+m^{2}\right)^{-1} f\right)(x)$ из образа оператора с ядром (7.8.16) при $x \rightarrow b$ стремятся к нулю по нормальной переменной.
Замечание 5. Из предыдущих рассуждений, обобщая предложение 7.6.1, можно вывести, что ядро ковариационного оператора Дирихле $C_{\Gamma}$ монотонно убывает при расширении множества Г. Положим
\[
\delta c_{\Gamma}(x)=\lim _{y \rightarrow x}\left[C_{\varnothing}(x, y)-C_{\Gamma}(x, y)\right] .
\]

Предложение 7.8.5. Если $\Gamma_{1} \subset \Gamma$, то
\[
\begin{array}{c}
0 \leqslant C_{\Gamma}(x, y) \leqslant C_{\Gamma_{1}}(x, y) \leqslant C(x, y), \\
0 \leqslant \delta c_{\Gamma_{1}}(x) \leqslant \delta c_{\Gamma}(x) \leqslant\left\{\begin{array}{l}
\operatorname{const}\left(1+\operatorname{dist}(x, \Gamma)^{-d+2}\right) \text { npu } d \geqslant 3, \\
\text { const }(1+|\ln \operatorname{dist}(x, \Gamma)|) \text { npu } d=2 .
\end{array}\right.
\end{array}
\]

Доказательство. Нужно установить только верхнюю оценку в неравенстве (7.8.19). Пусть точка $x$ лежит в ячейче $\Delta$ решетки, а $b \subset \partial \Delta$-гиперплоскость (ребро), ближайшая к $x$. Если $b \subset \Gamma$, то верхняя оценка следует из неравенства (7.6.2), гак как $\delta C \Gamma \leqslant \delta c_{D}$. Теперь предположим, что ребро $b$ не содержится в множестве $\Gamma$, а $\Lambda=\Delta \cup \Delta^{\prime}$ — параллелепипед, образованный двумя смежными ячейками решетки, так что $b \subset \partial \Delta U \partial \Delta^{\prime}$. Сдвиги параллелепипеда $\Lambda$ покрывают все пространство $R^{d}$; ковариационный оператор с граничными условиями Дирихле на $\partial \Lambda$ обозначим $C_{\partial \Lambda}=C_{D}$. (При подходящем выборе решетки этот оператор $C_{D}$ совпадает с оператором $C_{D}$ из $\S 7.5$.) Таким образом, если $x, y \in \Lambda$, то, в силу (7.8.18), $C_{\partial \Lambda}(x, y) \leqslant C_{\Gamma}(x, y)$ и $\delta c_{\Gamma}(x) \leqslant \delta c_{\partial \Lambda}(x)$ при $x \in \Lambda$.

Пусть $b^{\prime}$-«ребро», ближайшее к точке $x$. Если $b^{\prime} \cap \Gamma
eq \varnothing$, то верхняя оценка, как и выше, следует из неравенства (7.6.2). Если же $b^{\prime} \cap \Gamma \Rightarrow \varnothing$, то мы построим новый параллелепипед $\Lambda \cup \Lambda^{\prime}$ и повторим предыдущие рассуждения. В случае, когда точка $x$ лежит внутри $\Lambda$, мы закончим доказательство самое большее после $d$ шагов. В случае, когда $x$ лежит вне $\Lambda$, оно с помощью монотонности по-прежнему сводится к оценке (7.6.2).

Дополним оценку (7.8.19) оценкой убывания величины $\delta c_{\Gamma}(x)$ на больших расстояниях.
Предложение 7.8.6. Пусть величина $\delta c_{\mathrm{r}}$ определена формулой (7.8.17), а расстояние $\operatorname{dist}(x, \Gamma)$ отделено от нуля. Тогда
\[
0 \leqslant \delta c_{\Gamma}(x) \leqslant O(1) e^{-2 m \text { dist }(x, \Gamma) / \sqrt{d}} .
\]

Доказательство. Если dist $(x, \Gamma)=r$, то точку_ $x$ можно выбрать в качестве центра $d$-мерного куба $B$ со стороной $l=2 r / \sqrt{d}$, такого, что $B \cap \Gamma=\varnothing$. Пусть граница этого куба $\partial B$ и ее сдвиги порождают некоторую решетку $\Gamma_{1}$. По предложению 7.8 .5 для $x \in B$ имеем $0 \leqslant \delta c_{\Gamma}(x) \leqslant \delta c_{\Gamma_{1}}(x)$. Но $\delta c_{\Gamma_{1}}$ выражается формулой (7.6.3) при $x-x_{i} \geqslant l$. Следовательно,

Предложение 7.8.7. Пусть $d=2$. Для любого $1 \leqslant q \leqslant \infty$ существует такая постоянная $K=K(q)$, не зависящая от $m \geqslant 1$ и от оператора $C \in \mathscr{C}_{m}$ (множество ковариационных операторов $\mathscr{C}_{m}$ определено ниже в § 7.9), что для любой ячейки $\Delta$ решетки
\[
\left\|\delta c_{\Gamma}(x)\right\|_{L_{q}(\Delta)} \leqslant K m^{-1 / q} .
\]

Доказательство. Изменяя, если нужно, масштаб, можем считать, что $m=1$. Тогда утверждение вытекает из предложений 7.8.5, 7.8.6 и формулы (7.2.2).