Термодинамические функции, такие, как свободная энергия, давление и т. д., являются, вообще говоря, кусочно-аналитическими функциями. Границами областей аналитичности служат поверхности фазовых переходов. Вдоль этих поверхностей сами термодинамические функции или их производные испытывают разрывы. В некоторых случаях можно доказать отсутствие фазовых переходов при ненулевом магнитном поле $h$ (т. е. при ненулевом линейном взаимодействии в гамильтониане). Одним из результатов такого типа является теорема Ли — Янга, в которой утверждается аналитичность по $h$ при $\operatorname{Re} h
eq 0$, или, в терминах активности $z=e^{h}$, при $|z|
eq 1$.

Рассмотрим систему с гамильтонианом $H$, у которой распределение отдельного спина имеет вид $d \mu_{i}(\xi)=e^{-P_{i}{ }^{(\xi)}} d \xi$, где
\[
P_{i}\left(\xi_{j}\right)=a_{j} \xi_{j}^{4}+b_{i} \xi_{j}^{2}, \quad H(\xi)=-\sum_{i, j} J_{i j} \xi_{i} \xi_{j}-\sum_{i} h_{i} \xi_{i} .
\]

Здесь $a_{l}>0, J_{i j} \geqslant 0, \quad b_{j}$ — вещественные числа. Теорема ЛиЯнга показывает, что при $\operatorname{Re} h_{i}
eq 0$ в этой системе нет фазовых переходов.
Свободная энергия $f$ определяется соотношением
\[
f=f_{\Lambda}=(1 /|\Lambda|) \ln Z_{\Lambda},
\]

где $Z_{\Lambda}$ — статистическая сумма
\[
Z_{\Lambda}\left(\left\{h_{i}\right\}\right)=\int e^{-H(\xi)} d \mu(\xi)=\int e^{-H(\xi)} \prod_{i \in \Lambda} e^{-P_{i}\left(\xi_{i}\right)} d \xi_{i} .
\]

В конечном объеме $\Lambda$ функция $Z_{\Lambda}$, с очевидностью, аналитична по переменным $h_{i}$. Поэтому $f_{\Lambda}$ — аналитическая функция от $h_{i}$ в любой области, не содержащей нулей функции $Z_{\Lambda}$.
Теорема 4.5.1. Пусть имеется система (4.5.1) с ферромагнитным парным взаимодействием
\[
J_{i j} \geqslant 0 \text {, }
\]

и пусть $h_{i} \equiv h$. Тогда если $\operatorname{Re} h
eq 0$, то $Z_{\Lambda}
eq 0$.
Замечание. Доказательство этой теоремы, приведенное в работе [Simon, Griffits, 1973], довольно запутано; сначала доказывается теорема Ли — Янга для модели Изинга, а затем распределение $e^{-P(\xi)} d \xi$ приближается с помощью суперпозиций моделей Изинга. Мы приведем более простое доказательство, принадлежащее Данлопу [Dunlop, 1977]. Отсутствие нулей у $Z_{\Lambda}$ доказывается при этом в меньшей области $\left|\operatorname{Im} h_{i}\right| \leqslant \operatorname{Re} h_{i}$, однако в ходе доказательства удается получить оценку снизу для $\left|Z_{\Lambda}\right|$.
Теорема 4.5.1′. Рассмотрим систему (4.5.1) с ферромагнитным парным взаимодействием (4.5.4). Пусть $\left|\operatorname{Im} h_{i}\right| \leqslant \operatorname{Re} h_{i}$ при всех $i \in \Lambda$. Тогда
\[
0<Z_{\Lambda}\left(h_{i}=0\right) \leqslant Z_{\Lambda}\left(\operatorname{Re} h_{i}-\left|\operatorname{Im} h_{i}\right|\right) \leqslant\left|Z_{\Lambda}\left(h_{i}\right)\right| .
\]

Замечание 1. В силу равенства $Z_{\Lambda}(h)=Z_{\Lambda}$ (-h), в отраженном секторе $\left|\operatorname{Im} h_{i}\right| \leqslant-\operatorname{Re} h_{i}, i \in \Lambda$, выполняются неравенства
\[
Z_{\Lambda}\left(h_{i}=0\right) \leqslant Z_{\Lambda}\left(-\operatorname{Re} h_{i}-\left|\operatorname{Im} h_{i}\right|\right) \leqslant\left|Z_{\Lambda}\left(h_{i}\right)\right| .
\]

Замечание 2. Для большинства приложений достаточно рассматривать случай $h_{i} \equiv h$ (т. е. пространственно-однородное магнитное поле).

Для доказательства теоремы нам понадобится понятие положительно определенной функции $f(\theta), \theta \in[0,2 \pi]^{N}$; пусть $f(\theta)$ разлагается в ряд Фурье
\[
f(\theta)=(2 \pi)^{-N / 2} \sum_{n=-\infty}^{\infty} f_{n} e^{i n \theta}, \quad n \theta \equiv \sum_{j=1}^{N} n_{j} \theta_{j} .
\]

Определение 4.5.2. Функция $f$ называется положительно определенной, если все ее коэффициенты Фурье неотрицательны, $f_{n} \geqslant 0$. Обозначим через $\mathscr{P}$ множество положительно определенных функций $f . \mathscr{P}$ определяет естественный порядок: $f \leqslant g$, если $g-f \in \mathscr{P}$, т. е. $f_{n} \leqslant g_{n}$ при всех $n$.

Предложение 4.5.3. Множество $\mathscr{P}$ замкнуто относительно операций сложения и умножения функций, а также комплексного сопряжения, умножения на положительную константу и взятия экспоненты. Иными словами, Р्Р есть мультипликативный выпуклый конус. Перечисленные операции сохраняют порядок, определяемый $\mathscr{P}$.
Доказательство. Сложение и комплексное сопряжение, очевидно, не выводят из $\mathscr{P}$. Умножение задается сверткой коэффициентов Фурье и, следовательно, сохраняет их положительность. Разложив экспоненту в ряд, убеждаемся, что взятие экспоненты также не выводит из $\mathscr{P}$.
Доказательство теоремы 4.5.1′. Мы будем использовать представление $Z(h)$ через удвоенный набор переменных $\xi, \chi$. Введем также переменные $t, q$ и соответствующие им полярные координаты $\rho, \theta$ :
\[
t_{j}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\xi_{j}+\chi_{j}\right)=\rho_{j} \cos \theta_{j}, \quad q_{j}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\xi_{j}-\chi_{j}\right)=\rho_{j} \sin \theta_{j} .
\]

План доказательства состоит в том, чтобы показать, что интеграл
\[
|Z(h)|^{2}=\int e^{-[H(\xi)+\overline{H(x)]}} \prod_{i \in \Lambda} e^{-\left[P_{i}\left(\xi_{i}\right)+P_{i}\left(x_{i}\right)\right]} d \xi_{i} d x_{i},
\]

выраженный в полярных координатах, является интегралом от произведения положительно определенных функций. Коэффициенты Фурье этих функций монотонно зависят от $\operatorname{Re} h \pm \operatorname{Im} h$. Вначале перепишем в полярных координатах
\[
\exp \left[-P_{i}\left(\xi_{i}\right)-P_{i}\left(\chi_{i}\right)\right] d \xi_{i} d \chi_{i}=v_{i}\left(\rho_{i}, \theta_{i}\right) d \rho_{i} d \theta_{i}
\]

н покажем, что $v_{l}(\rho, \theta)$ — положительно определенная функция от $\theta$. Так как $\prod_{i} v_{i}\left(\rho_{i}, \theta_{i}\right) d \rho_{i} d \theta_{i}$ есть произведение положительно определенных мер, то и сама эта мера является положительно определенной по переменным $\left(\theta_{1}, \ldots, \theta_{N}\right)$. Проверим теперь положительную определенность $v_{i}$. Заметим, что $d \xi d \chi=$ $=\rho d \rho d \theta$, поэтому
\[
\begin{aligned}
v_{i}(\rho, \theta) & =\rho \exp \left[-P_{i}(\xi)-P_{i}(\chi)\right]= \\
& =\rho \exp \left[-a_{i}\left(\xi^{4}+\chi^{4}\right)-b_{i}\left(\xi^{2}+\chi^{2}\right)\right] .
\end{aligned}
\]

Замена переменных (4.5.8) ортогональна, следовательно,
\[
\begin{array}{c}
\xi^{2}+\chi^{2}=t^{2}+q^{2}=\rho^{2}, \\
\xi^{2}-\chi^{2}=\frac{1}{2}\left[(t+q)^{2}-(t-q)^{2}\right]=2 t q=\rho^{2} \sin 2 \theta .
\end{array}
\]

Таким образом,
\[
\begin{array}{c}
\xi^{4}+\chi^{4}=\frac{1}{2}\left[\left(\xi^{2}+\chi^{2}\right)^{2}+\left(\xi^{2}-\chi^{2}\right)^{2}\right]=\frac{1}{2} \rho^{4}\left(1+\sin ^{2} 2 \theta\right)= \\
=\frac{1}{4} \rho^{4}[3-\cos 4 \theta], \\
v_{i}(\rho, \theta)=\rho \exp \left[-\frac{3}{4} a_{i} \rho^{4}-b_{i} \rho^{2}\right] \exp \left[\frac{1}{4} a_{i} \rho^{4} \cos 4 \theta\right] .
\end{array}
\]

Так как $a_{i}>0$, а $\cos 4 \theta$ есть положительно определенная функция, то из предложения 4.5 .3 следует, что функция $v_{i}$ положительно определена.

В качестве второго шага доказательства перепишем выражение $-[H(\xi)+\overline{H(\chi)}]$ в полярных координатах и проверим, что оно представляется в виде суммы двух положительно определенных функций. Действительно,
\[
\xi_{i} \xi_{j}+\chi_{i} \chi_{j}=t_{i} t_{j}+q_{i} q_{j}=\rho_{i} \rho_{j} \cos \left(\theta_{i}-\theta_{j}\right)
\]

поэтому сумма
\[
\sum_{i, j} J_{i j}\left(\xi_{i} \xi_{j}+\chi_{i} \chi_{j}\right)=\frac{1}{2} \sum_{i, j} J_{i j} \rho_{i} \rho_{j}\left[e^{i\left(\theta_{i}-\theta_{j}\right)}+e^{-i\left(\theta_{i}-\theta_{j}\right)}\right]
\]

положительно определена. Кроме того, функция
\[
\begin{aligned}
h_{j} \xi_{j}+\bar{h}_{j} \chi_{j} & =\left(\operatorname{Re} h_{j}\right)\left(\xi_{j}+\chi_{j}\right)+i\left(\operatorname{Im} h_{j}\right)\left(\xi_{j}-\chi_{j}\right)= \\
& =\sqrt{2}\left(\operatorname{Re} h_{j}\right) t_{j}+i \sqrt{2}\left(\operatorname{Im} h_{j}\right) q_{j}= \\
& =\frac{1}{\sqrt{2}} \rho_{j}\left(\operatorname{Re} h_{j}+\operatorname{Im} h_{j}\right) e^{i \theta}+\frac{1}{\sqrt{2}} \rho_{j}\left(\operatorname{Re} h_{j}-\operatorname{Im} h_{j}\right) e^{-i \theta_{j}}
\end{aligned}
\]

положительно определена при $0 \leqslant \operatorname{Re} h_{i} \pm \operatorname{Im} h_{j}$, т. е. $\left|\operatorname{Im} h_{j}\right| \leqslant \operatorname{Re} h_{j}$. Так как $[-H(\xi)-\overparen{H(\chi)}]$ есть положительно определенная функция (4.5.15) плюс сумма по $j$ положительно определенных функций (4.5.16), то из предложения 4.5.3 следует, что
\[
\exp [-H(\xi)-\overline{H(\chi)}]=\exp \left[\sum_{i, j} J_{i j}\left(\xi_{i} \xi_{j}+\chi_{i} \chi_{j}\right)\right] \exp \left[\sum_{j}\left(h_{j} \xi_{j}+\vec{h}_{j} \chi_{j}\right)\right]
\]

єсть произведение двух положительно определенных функций. Более того, в силу (4.5.16), $|Z(h)|^{2}$, заданное выражением (4.5.9), является монотонной функцией

or $\operatorname{Re} h_{i}+\operatorname{Im} h_{l}$ и $\operatorname{Re} h_{j}-\operatorname{Im} h_{j}$. Отсюда следует неравенство (4.5.5), так как
\[
0 \leqslant \operatorname{Re} h_{j}-\left|\operatorname{Im} h_{j}\right|=\min _{ \pm}\left(\operatorname{Re} h_{j} \pm \operatorname{Im} h_{j}\right) .
\]