В этом параграфе мы докажем четыре технических утверждения, относящихся к коммутаторам и самосопряженности операторов. Пусть $0 \leqslant H=H^{*}$ – положительный самосопряженный оператор, а $\mathscr{D} \subset \bigcap_{n} \mathscr{D}\left(H^{n}\right)$ – его существенная область, состоящая из $C^{\infty}$-векторов. Обозначим $R(\lambda)=(H+(\lambda+1) I)^{-1}$, так что $R \equiv R(0)=$ $=(H+I)^{-1}$. Пусть $A$ – билинейная форма, определенная на области $\mathscr{D} \times \mathscr{D}$, а $\delta(A)=[i H, A]$ будєм тоже рассматривать как билинейную форму на той же области определения.
Теорема 19.4.1. Пусть форма $R^{1 / 2} \delta(A) R^{1 / 2}$ ограничена. Тогда для любого положительного целого п билинейная форма $R^{n / 2} A R^{n / 2}$ ограничена в том и только в том случае, когда ограничена $A R^{n}$. Кроме того,
\[
\left\|R^{n / 2} A R^{n / 2}-A R^{n}\right\| \leqslant n\left\|R^{1 / 2} \delta(A) R^{1 / 2}\right\| .
\]

Доказательство. Достаточно рассмотреть разность
\[
A R^{n}-R^{n / 2} A R^{n / 2}=\left[A, R^{n / 2}\right] R^{n / 2}=\sum_{j=0}^{n-1} R^{j / 2}\left[A, R^{1 / 2}\right] R^{(2 n-j-1) / 2} .
\]

Сомножители $R^{/ / 2}$ и $R^{(2 n-l-1) / 2}$ ограничены сверху тождественным оператором 1 , а коммутатор можно оценить с помощью интегральной формулы Коши (см. [Kato, 1966, p. 282]) $R^{1 / 2}=\pi^{-1} \int_{0}^{\infty} \lambda^{-1 / 2} R(\lambda) d \lambda$. Поэтому
\[
\left[A, R^{1 / 2}\right]=-i \pi^{-1} \int_{0}^{\infty} R(\lambda) \delta(A) R(\lambda) \lambda^{-1 / 2} d \lambda
\]

что, в силу тождества $\pi^{-1} \int_{0}^{\infty}(\lambda+1)^{-1} \lambda^{-1 / 2} d \lambda=1$, ограничено по норме величиной $\left\|R^{1 / 2} \delta(A) R^{1 / 2}\right\|$.
Теорема 19.4.2. Если формы $R^{1 / 2} \delta(A) R^{1 / 2}$ и $R^{n / 2} A R^{n / 2}$ ограничены, то билинейная форма $A$ однозначно определяет оператор (также обозначаемый $A$ ) на области $\mathscr{D}$. При этом, если форма $A$ вещественна, то оператор А симметричен.
Доказательство. Этот результат следует из теоремы 19.4.1 и теоремы Рисса о представлении.
Теорема 19.4.3. Пусть $A$-симметрический оператор, заданный на области $\mathscr{D}$. Если при этом $R^{1 / 2} \delta(A) R^{1 / 2}$ и $A R^{n}$ ограничены при некотором $n \geqslant 1$, то оператор А существенно-самосопряжен на любой существенной области оператора $\mathrm{H}^{n}$.
Доказательство. Так как оператор $A R^{n}$ ограничен, то $\mathscr{D}(\bar{A}) \supset \mathscr{D}\left(H^{n}\right)$, и существенную самосопряженность достаточно доказать на области $\mathscr{D}\left(H^{n}\right)$. Пусть $\theta \in$ $\in \mathscr{D}\left(A^{*}\right), \chi \in \mathscr{D}\left(H^{n}\right)$; тогда $R(\lambda)^{n} \theta \in \mathscr{D}\left(H^{n}\right) \subset \mathscr{D}(A)$ и справедлива цепочка равенств
\[
\begin{aligned}
\left\langle\chi, A \lambda^{n} R(\lambda)^{n} \theta\right\rangle= & \lambda^{n}\left\langle R(\lambda)^{n} A \chi, \theta\right\rangle= \\
& =\left\langle A \lambda^{n} R(\lambda)^{n} \chi, \theta\right\rangle+\left\langle\left[\lambda^{n} R(\lambda)^{n}, A\right] \chi, \theta\right\rangle= \\
& =\left\langle\chi, \lambda^{n} R(\lambda)^{n} A^{*} \theta\right\rangle+\left\langle\left[\lambda^{n} R(\lambda)^{n}, A\right] \chi, \theta\right\rangle .
\end{aligned}
\]

В последнем выражении перейдем к пределу при $\lambda \rightarrow \infty$. Поскольку $\lambda^{n} R(\lambda)^{n} \rightarrow I$ в сильном смысле, можно вычислить предел первого слагаемого, воспользовавшись тем, что $\lambda^{n} R(\lambda)^{n} A^{*} \theta \rightarrow A * \theta$. Коммутатор во втором слагаемом равномерно ограничен при $\lambda \rightarrow \infty$, поскольку
\[
\begin{aligned}
\left\|\left[A, \lambda^{n} R(\lambda)^{n}\right]\right\| & \leqslant \sum_{r=0}^{n-1} \lambda^{n}\left\|R(\lambda)^{r}[A, R(\lambda)] R(\lambda)^{n-r-1}\right\| \leqslant \\
& \leqslant \sum_{r=0}^{n-1} \lambda^{n}\left\|R(\lambda)^{r+1} \delta(A) R(\lambda)^{n-r}\right\| \leqslant O(1) .
\end{aligned}
\]

Следовательно, в силу соотношений (19.4.1),
\[
\lim _{\lambda \rightarrow \infty} A \lambda^{n} R(\lambda) \theta=A^{*} \theta+\lim _{\lambda \rightarrow \infty}\left[\lambda^{n} R(\lambda)^{n}, A\right]^{*} \theta .
\]

Доказательство будет завершено, если мы покажем, что второе слагаемое в сумме (19.4.2) равно нулю. Отсюда будет следовать, что $\theta \in \mathscr{D}(\bar{A})$, а также самосопряженность оператора ‘ $A$.
В силу приведенной выше равномерной оценки для нормы, достаточно показать, что коммутатор $\left[A, \lambda^{n} R(\lambda)^{n}\right.$ ] сходится к нулю на плотном множестве $\mathscr{D}\left(H^{n}\right)$. Пусть $\psi \in \mathscr{D}\left(H^{n}\right)$. Тогда
\[
\left[\lambda^{n} R(\lambda)^{n}, A\right]^{*} \psi=A \lambda^{n} R(\lambda)^{n} \psi-\lambda^{n} R(\lambda)^{n} A \psi .
\]

Второй член в правой части сходится к писать в виде $A R^{n} \lambda^{n} R(\lambda)^{n}(H+I)^{n} \psi$, к $A \psi$.
Теорема 19.4.4. Пусть операторы $A, B, \delta(A)$ и $\delta(B)$ подчиняются условиям теоремь 19.4 .3 при $n=1$, а операторы $A B$ и $B A$ определены на области $\mathscr{D}$ и $[A, B] \mathscr{D}=0$. Тогда $\bar{A}$ и $\bar{B}$ коммутируют.
Доказательство. Дополнительно мы предположим, что операторы $R^{1 / 2} \delta(X) R^{1 / 2}$ и $X R$ ограничены при $X=A, B, \delta(A)$ и $\delta(B)$. В качестве аппроксимации оператора $A_{\text {возьмем }} A_{\lambda}=\lambda R(\lambda)^{1 / 2} A R(\lambda)^{1 / 2}$. Утверждается, что в сильном смысле $A_{\lambda} \rightarrow A$ на области $\mathscr{D}$. Так как $\mathscr{D} \subset \bigcap_{n} \mathscr{D}\left(H^{n}\right)$, то любой вектор $\theta \in \mathscr{D}$ имеет вид $\theta=R \psi$. Поэтому
\[
A_{\lambda} \theta=A_{\lambda} R \psi=A R \lambda R(\lambda) \psi+\lambda\left[R(\lambda)^{1 / 2}, A\right] R R(\lambda) \psi .
\]

Поскольку оператор $A R$ ограничен, а $\lambda R(\lambda) \rightarrow I$ в сильном смысле, то первый член сходится к $A R \psi=A \theta$. Второй исследуется так же, как в доказательстве теоремы 19.4.1, а именно
\[
\lambda^{1 / 2}\left[R(\lambda)^{1 / 2}, A\right]=\lambda^{1 / 2} i \pi^{-1} \int_{0}^{\infty} R(\mu) \delta(A) R(\mu) \mu^{-1 / 2} d \mu .
\]

Итак,
\[
\begin{aligned}
\left\|\lambda^{1 / 2}\left[R(\lambda)^{1 / 2}, A\right] R^{1 / 2}\right\| & \leqslant \lambda^{1 / 2} \pi^{-1} \int_{0}^{\infty} \mu^{-1 / 2}(\lambda+\mu+1)^{-1 / 2} d \mu \\
& \longrightarrow 0 \text { при } \lambda \longrightarrow \infty,
\end{aligned}
\]

что и утверждалось.
Согласно теореме 19.4.3, $\mathscr{D}$ является существенной областью определения оператора $A$, поэтому $e^{i A_{\lambda}} \rightarrow e^{i \bar{A}}$ в сильном смысле. Теперь покажем, что $\left[e^{i A_{\lambda}}, e^{i B} \lambda\right] \rightarrow 0$. Для этого сначала установим тождество
\[
\left[A_{\lambda}, B_{\lambda}\right]=-i \lambda^{2} R(\lambda)^{3 / 2}[\delta(A) R(\lambda) B-\delta(B) R(\lambda) A] R(\lambda)^{1 / 2} .
\]

Bсе выкладки, которые необходимо провести для доказательства этого тождества, справедливы для векторов, принадлежащих множеству $R(\lambda)^{-1 / 2} \mathscr{D}$. Это множество плотно, потому что $\mathscr{D}$ является существенной областью оператора $R(\lambda)^{-1 / 2}$ (например, в силу теоремы 19.4 .3 с $A=R(\lambda)^{-1 / 2}$ и $n=1$ ). В этой области верно тождество $R(\lambda)^{3 / 2}[A, B] R(\lambda)^{1 / 2}=0$, которое получается с помощью тех же выкладок, что и соотношение (19.4.3). Из (19.4.3) и ограниченности операторов $R^{1 / 2} \delta(A) R^{1 / 2}, A R$ и т. д. вытекает, что
\[
\left\|R\left[A_{\lambda}, B_{\lambda}\right] R\right\| \leqslant O\left(\lambda^{-1 / 2}\right) .
\]

Далее, мы утверждаем, что верна оценка
\[
\left\|(H+I) e^{i t A_{\lambda}} R\right\| \leqslant e^{K|t|},
\]

где $K$ – постоянная, не зависящая от $\lambda$. Для того чтобы доказать (19.4.5), проинтегрируем неравенство
\[
d F(t, \mu) / d t \leqslant K F(t, \mu) .
\]

Здесь $F(t, \mu) \equiv \mu^{2} R e^{-i t \lambda_{\lambda}} R(\mu)(H+I)^{2} R(\mu) e^{i t A_{\lambda}} R$. Для доказательста неравенства (19.4.6) рассмотрим производную
\[
\frac{d F(t, \mu)}{d t}=\mu^{2} R e^{-i t A_{\lambda}}\left[R(\mu)(H+I)^{2} R(\mu), i A_{\lambda}\right] e^{i t A_{\lambda}} R .
\]

При этом
\[
\begin{array}{c}
{\left[R(\mu)(H+I)^{2} R(\mu), i A_{\lambda}\right]=R(\mu)^{2}(H+I) \delta\left(A_{\lambda}\right) R+} \\
+R(\mu)^{2}(H+I)\left(-i \delta\left(A_{\lambda}\right)\right) R(\mu)+\text { эрмитово-сопряженное выражение }= \\
=R(\mu)^{2}(H+I) \delta\left(A_{\lambda}\right) R(H+\mu+I)(H+I) R(\mu)+ \\
\quad+R(\mu)(H+I)\left\{R(\mu)\left(-i \delta\left(A_{\lambda}\right)\right) R\right\}(H+I) R(\mu)+
\end{array}
\]
+ эрмитово-сопряженное выражение.
Далее, прокоммутируем $\delta\left(A_{\lambda}\right)$ с множителем $(H+\mu+I)$; получится второй коммутатор. Для первого из написанных выше членов это приведет к выражению
\[
R(\mu)(H+I)\left\{\delta\left(A_{\lambda}\right) R+R(\mu) i \delta^{2}\left(A_{\lambda}\right) R R(\mu)\right\}(H+I) R(\mu) .
\]

Поскольку, в силу условий доказываемой теоремы,
\[
\left\|\delta\left(A_{\lambda}\right) R\right\|+\left\|R^{1 / 2} \delta^{2}\left(A_{\lambda}\right) R^{1 / 2}\right\| \leqslant \text { const },
\]

то неравенство (19.4.6) можно считать доказанным. Заметим, .что постоянная $K$ не зависит от $\lambda, \mu$ и $t$. Теперь, ннтегрируя (19.4.6), получим, что
\[
F(t, \mu) \leqslant e^{K|t|} \mu^{2} R(\mu)^{2} \leqslant e^{K|t|} .
\]

Так как $\mu R(\mu)$ монотонно возрастает, функция $F(t, \mu)$ тоже монотонно возрастает по переменной $\mu$, и существует предел $F(t, \mu) \uparrow F(t)$ (см. [Kato, 1966, p. 459]). Поэтому образ оператора $e^{i t A_{\lambda_{R}}}$ принадлежит области определения оператора $H+I$, откуда и вытекает неравенство (19.4.5). Все приведенные оценки останутся справедливыми, если $A$ заменить на $B$.
Наконец, рассмотрим тождество для ограниченных операторов
$-R\left[e^{i A_{\lambda}}, e^{i B} \lambda\right] R=\int_{0}^{1} d s \int_{0}^{1} d t R Q(-s,-t)^{*}\left[A_{\lambda}, B_{\lambda}\right] Q(1-s, 1-t) R$,
где $Q(s, t) \equiv e^{i t A_{\lambda}} e^{i s B_{\lambda}}-$ унитарный оператор. Из оценок (19.4.4-5) следует, что $\left\|R\left[e^{i A_{\lambda}}, e^{i B}\right]_{R}\right\| \leqslant O\left(\lambda^{-1 / 2}\right)$. Левая часть тождества (19.4.8) сходится в сильном смысле при $\lambda \rightarrow \infty$ к $R\left[e^{i \bar{A}}, e^{i \bar{B}}\right] R$, в то время как его норма стремится к нулю. Значит, операторы $\bar{A}$ и $\bar{B}$ коммутируют.

Заметим, что тождество (19.4.8) вытекает из следующего тождества для ограниченных операторов $C$ и $D$ :
\[
\left[e^{C}, e^{D}\right]=\int_{0}^{1} d s\left(\frac{d}{d s} e^{s C} e^{D} e^{(1-s) C}\right)=\int_{0}^{1} d s e^{s C}\left[C, e^{D}\right] e^{(1-s) C},
\]

откуда
\[
\left[e^{C}, e^{D}\right]=\int_{0}^{1} d s \int_{0}^{1} d t e^{s C} e^{t_{D}}[C, D] e^{(1-t) D} e^{(1-s) C}
\]