В этом параграфе мы определим волновой оператор в случае квантового поля. Как и в $\S 13.1$, пусть $\mathscr{H}_{m_{1}}, \mathscr{H}_{m_{2}}, \ldots$ – собственные подпространства массового оператора $M$, отвечающие собственным значениям $m_{1}, m_{2}, \ldots$. В каждом пространстве $\mathscr{H}_{m_{i}}$ действует представление группы Лоренца. Пусть $\mathscr{F}_{i}$ – пространство Фока свободного поля с одночастичным подпространством $\mathscr{H}_{m_{i}}$, и пусть $\mathscr{F}=\bigotimes_{i} \mathscr{F}_{i}$. Тогда $\mathscr{F}$ можно интерпретировать как пространство, элементами которого помечены асимптотическне состояния.

Волновой оператор, который мы собираемся построить, можно рассматривать как отображение пространства $\mathscr{F}$ меток асимптотических состояний в пространство $\mathscr{C}$. Определяемая при помощи волнового оператора $S$-матрица действует в пространстве $\mathscr{C}$ (в частности, отображает $\mathscr{H}_{\text {out }}$ на $\mathscr{H}_{\text {in }}$ ). В конце наших построений мы отождествим пространства $\mathscr{F}$ и $\mathscr{H}_{\text {in/out }}$, так что $S$-матрица тоже окажется определенной на пространстве меток $\mathscr{F}$.

Конструкцио волнового оператора мы начнем с грубой аппроксимации $U: \mathscr{F} \rightarrow \mathscr{H}$ (см. $\$ 13.2$ ). Обозначим $H_{0}$ оператор энергии свободного поля на $\mathscr{F}$ и определим
\[
W(t)=e^{i t H} U e^{-i t H_{0}} .
\]

Ниже мы займемся изучением отображения $U$ и условий, при которых существует предел
\[
W^{ \pm}=\lim _{t \rightarrow \pm \infty} W(t)
\]

При этом окажется, что оператор $W^{ \pm}$переплетает $H_{0}$ и $H$ (т. е. $H W^{ \pm}=W^{ \pm} H_{0}$ ), а отображение
\[
S=W^{+}\left(W^{-}\right)^{*}
\]

является унитарным преобразованием пространства $\mathscr{H}_{\text {in/out }}=$ $=\operatorname{Im} W^{+}=\operatorname{Im} W^{-}$.

Оператор $U$ называется решением одночастичной задачи. Точнее, мы укажем такой полином $\psi_{m}$ от (физического) поля $\varphi$, что $0
eq \psi_{m} \Omega \in \mathscr{H}_{m}$. Для простоты предположим, что в пространстве $\mathscr{H}_{m}$ действует неприводимое представление группы Лоренца с нулевым спином. (Более общий случай см. в работе [Нерр, 1965а].) Пусть
\[
\psi_{m}(\mathbf{x})=e^{i \mathbf{x} \cdot \mathbf{P}} \psi_{m} e^{-i \mathbf{x} \cdot \mathbf{P}} .
\]

Обозначим $\varphi_{m_{i}}$ свободное поле в пространстве $\mathscr{F}_{i}$, а \# $_{m_{i}}-$ поле $\varphi_{m_{i}}$ или производная по времени от $\varphi_{m_{i}}$. Отображение $U$ задается действием на векторы, полученные применением полиномов от Ф $_{m_{i}}$ к вектору $\Omega$. В частности,
\[
U^{\#} \varphi_{m_{1}}\left(0, \mathbf{x}_{1}\right) \ldots{ }^{\#} \varphi_{m_{n}}\left(0, \mathbf{x}_{n}\right) \Omega={ }^{\#} \Psi_{m_{1}}\left(0, \mathbf{x}_{1}\right) \ldots{ }^{\#} \Psi_{m_{n}}\left(0, \mathbf{x}_{n}\right) \Omega .
\]

Здесь $\Omega$ в левой части обозначает фоков вакуум, а справа $\Omega$ физический вакуумный вектор в пространстве $\mathscr{H}$.

Решение одночастичной задачи получается в несколько шагов. Гиперболоиды $M=\mu_{i}$ для частицы или связанного состояния
чаще всего бывают изолированными. В случае некоторой симметрии (например, $\varphi \rightarrow-\varphi$ для четных теорий) или наличия правила суперотбора гиперболоиды $M=\mu_{i}$ могут быть изолированными только относительно спектров в пространстве той же симметрии или значений суперотбора. Физической основой этой идеи служит тот факт, что иначе частицы были бы энергетически неустойчивы относительно распада на составные части. Такие неустойчивые объекты действительно встречаются в физике. Это резонансы, а соответствующие спектры лежат вне физической области и не могут быть собственными значениями оператора $M$. В самом худшем случае в теории появляются безмассовые частицы или, более общо, спектр, целиком заполняющий передний конус. В этом случае теория рассеяния становится намного сложнее и фактически понята не до конца. Во избежание технических трудностей мы с самого начала исключаем такую возможность. (Однако необходимо понять рассеяние в присутствии фотонов и нейтрино, которые считаются безмассовыми частицами.)

Можно доказать, что в сверхперенормируемых теориях вдали от критических точек (при малых константах связи, т. е. в области, аппроксимируемой гауссовой моделью) собственные значения $m_{i}$ частиц и связанных состояний изолированы (в указанном выше смысле).

Поскольку векторы $P(\varphi) \Omega$, где $P$-произвольный полином от поля $\varphi$, плотны в пространстве $\mathscr{H}$, можно выбрать свободный полином $\psi_{m}^{\text {св }}$, такой, что вектор $\psi_{m}^{\text {св }} \Omega$ не ортогонален подпространству $\mathscr{H}_{m}$. Рассмотрим свертку $\psi_{m}^{\text {св }}$ с функцией $h_{m}$, преобразование Фурье которой имеет вид $\widetilde{h}_{m}=\overline{\tilde{h}}_{m}=f\left(p^{2}\right)$. Предположим далее, что supp $\tilde{h}_{m}$ пересекается со спектром $\sigma(M)$ оператора массы $M=\left(H^{2}-P^{2}\right)^{1 / 2}$ по точке $m$ :
\[
\operatorname{supp} \tilde{h}_{m} \cap \sigma(M)=\{M=m\} .
\]

Тем самым мы определим полином
\[
\psi_{m}=h_{m} * \psi_{m}^{\mathrm{cB}} .
\]

Ради простоты будем считать, что $\psi_{m}=\psi_{m}^{*}$ (нейтральные частицы). Существование функции $h_{m}$ со свойством (13.3.6) следует из предположения, что $m$ – изолированная точка спектра оператора $M$. Построенные полиномы $\psi_{m}$ дают решение одночастичной проблемы. Функция $h_{m}$ содержит произвольный множитель, который надо выбрать так, чтобы асимптотические поля (in/out (определенные ниже) совпадали с канонически перенормированным свободным полем, а не просто были ему пропорциональны.
Предложение 13.3.1. Предположим, что $\psi_{m}^{\text {св }}(t, \mathbf{x})$ есть обобщенная функция умеренного роста по переменным $t$, х. Пусть, кроме того, $\psi_{m}^{\text {св }}(t, \mathbf{x})$ – неограниченный оператор в пространстве $\mathscr{G}$, определенный на лоренц-инвариантном и $\psi_{m}^{\mathrm{cB}}$-инвариантном подмножестве. Тогда на этом же подмножестве определен оператор $\psi_{m}(t, \mathbf{x})$, также являющийс обобщенной функцией умеренного роста по х и принадлежащий классу $C^{\infty}$ по $t$. $B$ частности, средние при совпадающих моментах времени существуют, не зависят or t u
\[
\left\langle\Omega, \psi_{m_{1}}(t, \mathbf{x}) \ldots \psi_{m_{n}}(t, \mathbf{x}) \Omega\right\rangle \in \mathscr{P}^{\prime}\left(R^{n(d-1)}\right) .
\]

Доказательство. Пусть $f \in \mathscr{P}\left(R^{d-1}\right)$ – основная функция для $\psi_{m} ;$ тогда $\tilde{f}(\mathbf{p}) \tilde{h}_{m}(p) e^{i p_{0} t} \in \mathscr{P}\left(R^{d}\right)$ является основной функцией для $\psi_{i n}^{\text {св }}$. Вакуумное среднее от произведения функций $\downarrow_{m}$ при совпадающих моментах времени существует, и то же самое верно длл производных ұ $_{m}$ по времени.
Замечание. В типичном случае полагают $\psi_{m}^{\text {св }}=\varphi$, где $\varphi$-поле Вайтмана. Для простоты мы предположим ниже, что это условие выполнено. Тогда утверждения предложения 13.3 .1 содержатся в аксиомах Вайтмана, а условия нормировки функции $h$ превращаются в условия нормировки поля $\varphi$. Это есть обычная перенормировка величины поля, при которой вместо $\varphi$ рассматривается $\varphi_{\text {перен }}=Z^{-1 / 2} \varphi$.

Полезно представить $e^{-i t H_{0}}$ в виде интегрального оператора. В следующем параграфе этот оператор будет изучен более подробно. Пусть $H_{0, m_{i}}$ – оператор энергии в пространстве $\mathscr{F}_{i}$; тогда $H_{0}=\sum_{i} H_{0, m_{i}}$. Обозначим $\dot{\varphi}_{m}$ производную $\varphi_{m}$. Для упрощения обозначений положим
\[
u_{m}(t, \mathbf{x})=\left(\begin{array}{c}
\varphi_{m}(t, \mathbf{x}) \\
\dot{\varphi}_{m}(t, \mathbf{x})
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}
\varphi_{m}(t, \mathbf{x}) \\
\partial_{t} \varphi_{m}(t, \mathbf{x})
\end{array}\right) .
\]

Аналогично, пусть $v_{m}(t, \mathbf{x})$ обозначает вектор с компонентами $\psi_{m}$ и $\dot{\psi}_{m}$, а $G_{m}(t)$-матрицу размера $2 \times 2$, дающую решение задачи Коши
\[
u_{m}(t, \mathbf{x})=G_{m}(t) u_{m}(0, \mathbf{x})=e^{i t H_{0}} u_{m}(0, \mathbf{x}) e^{-i t H_{0}} .
\]

Поэтому для тензорного произведения имеем
$W(t) u_{m_{1}}\left(0, \mathbf{x}_{1}\right) \ldots u_{m_{n}}\left(0, \mathbf{x}_{n}\right) \Omega=$
\[
\begin{array}{l}
=e^{i t H} U G_{m_{1}}(-t) u_{m_{1}}\left(0, \mathbf{x}_{1}\right) \ldots G_{m_{n}}(-t) u_{m_{n}}\left(0, \mathbf{x}_{n}\right) \Omega= \\
=e^{i t H} G_{m_{1}}(-t) v_{m_{1}}\left(0, \mathbf{x}_{1}\right) \ldots G_{m_{n}}(-t) v_{m_{n}}\left(0, \mathbf{x}_{n}\right) \Omega= \\
=G_{m_{1}}(-t) v_{m_{1}}\left(t, \mathbf{x}_{1}\right) \ldots G_{m_{n}}(-t) v_{m_{n}}\left(t, \mathbf{x}_{n}\right) \Omega .
\end{array}
\]

В следующих параграфах будет доказана

Теорема 13.3.2. Рассмотрим подчиняющуюся аксиомам Вайтмана теорию поля с изолированным одночастичным спектром и $\psi_{m}^{\text {св }}=\varphi$. Усредним выражение (13.3.10) с основными функциям $f_{i}(\mathbf{x})$, $f_{i}(\mathbf{x}) \in \mathscr{I}\left(R^{d-1}\right)$, носители которых в пространстве скоростей не пересекаются. Тогда усредненное выражение (13.3.10) силно сходится со скоростью $O\left(t^{-N}\right)$ при $t \rightarrow \infty$, где $N$ произвольно. Предельные операторы $W^{ \pm}$являются изометриями.
Замечание. В силу предложений 13.3.1 и 13.4.1, оператор $W(t)$ определен, как и в формуле (13.3.10), на векторах $u$… $u \Omega$. Пространство скоростей и носители $f$ в этом пространстве определяются в $\$ 13.4$.
Следствие 13.3.3. Пределы полей на $\pm \infty$ :
\[
\varphi_{m, \text { in/out }}(t, \mathrm{x})=W^{ \pm \pm} \varphi_{m}(t, \mathbf{x})\left(W^{ \pm}\right)^{*}
\]

представляют собой свободные поля.
Следствие 13.3.4. Справедливо равенство $H W \pm=W^{ \pm} H_{0}$, где $H_{0}$ гамильтониан свободной динамики поля $\varphi_{m}$, in/out.
Следствие 13.3.5. S-матрица, определенная формулой (13.3.3), является унитарным оператором на пространстве $\mathscr{H}_{\text {in }}=\mathscr{H}_{\text {out }}=$ $=\operatorname{Im} W^{ \pm}$.
Доказательство. Важным следствием аксиом Вайтмана является тождество $T C P=I$, где $T$ – оператор обращения времени, $P$ – оператор отражения в пространстве, а $C$-оператор зарядового сопряжения [Streater, Wightman, 1964], [Jost, 1965]. В силу равенств $C_{\mathscr{H}}=\mathscr{G}_{m}=P \mathscr{G}_{m}$, оператор $T$ тоже оставляет пространство $\mathscr{H}_{m}$ инвариантным. Аналогично этому, поскольку операторы $C$ и $P$ отображают многочастичные in/out-состояния $\operatorname{Im} W \pm$ на себя, то же самое делает и оператор $T$. Однако по определению $T$ меняет местами $\operatorname{Im} W^{+}$и $\operatorname{Im} W-$, следовательно, эти пространства совпадают. Ограничение $S$-матрицы на пространство $\mathscr{H}_{\mathrm{In}}=\mathscr{\mathscr { C }}_{\text {out }}=\operatorname{lm} W^{ \pm}$определено формулой (13.3.3) как произведение двух унитарных операторов, и поэтому само является унитарным опсратором.