Мы покажем, что спектр гамильтониана четной модели $\varphi^{4}$ в однофазной области, т. е. при $\sigma>\sigma_{c}$, ограниченного на подпространство $\mathscr{H}_{\text {чет, }}$ не пересекается с интервалом $(0,2 m)$. Здесь $\mathscr{H}_{\text {чет есть }}$ подпространство в $\mathscr{H}$, инвариантное относительно преобразования $\varphi \rightarrow-\varphi$. Таким образом, двухчастичных связанных состояний, которые мы предполагаем четными, не существует. Отметим, что $\mathscr{H}_{\text {чет }}$ порождено проекциями – в $\mathscr{H}$ евклидовых векторов $\Omega$, $\varphi\left(f_{1}\right) \ldots \varphi\left(f_{n}\right) \Omega, \quad n=2,4, \ldots$, у которых supp $f_{i}$ содержится в области $t>0$. Для $A=\left\{x_{1}, \ldots, x_{r}\right\}$ положим $\varphi_{A} \equiv \varphi\left(x_{1}\right) \ldots$ .. $\varphi\left(x_{r}\right)$.
Теорема 17.2.1. Рассмотрим поле $\varphi^{4}$ или модель Изинга с менулевым внешним полем и $\sigma>\sigma_{c}$, и пусть $A$ и содержат четное число элементов. Тогда
\[
\left\langle\varphi_{A} \varphi_{B}\right\rangle-\left\langle\varphi_{A}\right\rangle\left\langle\varphi_{B}\right\rangle \leqslant \sum_{\substack{A_{1} \subset A, A_{1}, A_{1} \text { нечетно } \\ B_{1} \subseteq B_{1} \text { нечетно }}}\left\langle\varphi_{A_{1}} \varphi_{B_{1}}\right\rangle\left\langle\varphi_{A \backslash A_{1}} \varphi_{B \backslash B_{1}}\right\rangle .
\]

Доказательство. Воспользуемся неравенством из следствия 4.3.3. Оно сохраняется при снятии решеточного обрезяния и при предельном переходе к бесконечному объему. Поскольку $A, B$ четны, а $A_{1}, B_{1}$ нечетны, $A \backslash A_{1}, B \backslash B_{1}$ нечетны.
Следствие 17.2.2. В предположениях теоремы 17.2.1 не существует четных связанных состояний с энергией ниже двухчастичного nорога.
Доказательство. Пусть $\Omega$ – вакуум в $\mathscr{H}$, единственный в силу предположения $\sigma>\sigma_{c}$. Запишем $x=\left(x_{1}, \ldots, x_{d}\right)$ как $x=(\mathbf{x}, t)$, где $\mathbf{x} \in R^{d-1}$. Если $\theta(\mathbf{x}, t)=$ $=(\mathrm{x},-t)$ и
\[
A+s=\{(\mathrm{x}, t+s):(\mathrm{x}, t) \in A\},
\]

то в случае, когда множество $A$ по времени предшествует $B$, имеем
\[
\left\langle\hat{\varphi}_{\theta A}, e^{-s H} \hat{\varphi}_{B}\right\rangle_{\mathscr{H}}=\left\langle\varphi_{A} \varphi_{B+s}\right\rangle .
\]

В частности, если мы выберем $A$ так, что все его точки имеют отрицательные временные координаты, $t \leqslant 0$, то $B$, выбранное в виде $B=\left\{\left(\mathbf{x}_{1}-t\right):(\mathbf{x}, t) \in\right.$ $\in A\}$ лежит в области положительного времени. Пусть $A$ и $B$ выбраны указанным способом, а $P_{\Omega}$ – проектор на вакуумное состояние в $\mathscr{H}$. Тогда очевидно, что
\[
\left\langle\varphi_{A-s} \varphi_{B+s}\right\rangle-\left\langle\varphi_{A-s}\right\rangle\left\langle\varphi_{B+s}\right\rangle=\left\|e^{-s H}\left(I-P_{\Omega}\right) \hat{\varphi}_{A} \Omega\right\|^{2},
\]

так что теорема 17.2 .1 дает оценку скорости убывания $e^{-s H}$ на подпространстве $\left(I-P_{\Omega}\right) \mathscr{H}$ (при $s \rightarrow \infty$ ). Для нечетных $A_{1}$ вектор $\hat{\varphi}_{A_{1}} \Omega$ ортогонален вакууму $\left(\left\langle\Omega, \hat{\varphi}_{A_{1}} \Omega\right\rangle=\left\langle\varphi_{A_{1}}\right\rangle=0\right)$, и поэтому по определению массы показатель экспоненциального убывания $\left\langle\varphi_{A_{1}-s} \varphi_{B_{1}+s}\right\rangle$ не меньше $m$. Таким образом,
\[
\left\langle\varphi_{A_{1}-s} \varphi_{B_{1}+s}\right\rangle \leqslant C_{A_{1}, B_{1}} e^{-2 m s}
\]

для некоторой константы $C_{A_{1}, B_{1}}$, зависящей от $A_{1}$ и $B_{1}$. Такая же оценка имеет место для $\left\langle\varphi_{\left(A \backslash A_{1}\right)-s} \varphi_{\left(B \backslash B_{1}\right)+s}\right\rangle$, и, следовательно, по теореме 17.2.1
\[
\left\|e^{-s H}\left(I-P_{\Omega}\right) \hat{\varphi}_{A} \Omega\right\|^{2} \leqslant \text { const } e^{-4 m s} .
\]

Итак, не существует четных состояний, кроме $\Omega$, с энергией $<2 m$; в частности, не существует четных связанных состояний в этой энергетической области.