В этом параграфе мы выведем кластерное свойство и аналитичность — основные результаты настоящей главы — из предположения о сходимости кластерного разложения (18.2.15). Пусть $T(x, \Lambda, X, \Gamma)$ обозначает слагаемое в (18.2.15), отвечающее $X, \Gamma$, так что
\[
S_{\Lambda}(x)=\sum_{X, \Gamma} T(x, \Lambda, X, \Gamma) .
\]

Для любой основной функции $ш \in \mathscr{P}\left(R^{2 n}\right)$ ряд
\[
\int S_{\Lambda}(x) w(x) d x=\sum_{X, \Gamma}\langle w, T\rangle
\]

абсолютно сходится. Скорость сходимости определяется площадью $|X|$ множества $X$. Докажем, что при $K>0$
\[
\sum_{\{X, \Gamma:|X| \geqslant D\}}|\langle w, T\rangle| \leqslant|w| e^{-K(D-n)},
\]

где $|w|$ — некоторая (зависящая от $n$ ) норма $w$ в $\mathscr{P}$.
Теорема 18.3.1. Фиксируем произвольное $K>0$. Пусть $m_{0}$ велико, в мало (эти величины выбираются в зависимости от K), а $\lambda$ принадлежит замыканию множества (18.1.6). Существует такая норма $\mid$ ш| в пространстве $\mathscr{S}$, что неравенство (18.3.3) выполнено равномерно по $\lambda, m_{0}$ и $D \geqslant 1$, причем норма |w| инвариантна относитвльно сдвигов любого из аргументов функции ш.

Как видно из доказательства этой теоремы, она верна и в случае, когда в (18.2.15) в качестве подынтегральной функции рассматривается выражение $A$ вида (18.1.8). Таким образом, теорема 18.1.2 и следствие 18.1.3 вытекают из (18.3.3) при $K=1$, $D=1$.

Теорема 18.1.1 также следует из сходимости кластерного разложения. Ее доказательство для случая двухточечной функции при четном взаимодействии хотя и не использует всех идей, хороно иллюстрирует основную из них, поэтому мы рассмотрим этот случай первым.
Доказательство теоремы 18.1.1 для $n=2$ и четного $P$ в предположении, что верна теорема 18.3.1. Поскольку полином $P$, определяющий взаимодействие в $(18.1 .2)$, четный, теория обладает симметрией $\varphi(x) \rightarrow-\varphi(x)$. Для гауссовых ннтегралов, определенных с помощью факторизующейся меры $e^{-\lambda V} d \Phi_{C(s \text { (г)) (ср. }}$ (с) предложение 18.2.3), верно даже большее: преобразование
\[
\varphi(x) \rightarrow \sigma(x) \varphi(x)
\]

также является симметрией, если $\sigma(x)= \pm 1$ и $\sigma(x)=$ const на каждом $X_{i}$. Ввиду симметрии $\varphi \rightarrow-\varphi$ имеем $S_{\Lambda}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=0$ для нечетных $n$. Аналогично,
\[
\int \prod \varphi\left(x_{i}\right) e^{-\lambda V(\Lambda \cap X)} d \varphi_{C(s(\Gamma))}=0,
\]

кроме тех случаев, когда каждая связная компонента $X_{1}, \ldots, X_{r}$ содержит четное число точек $x_{i}$. Поскольку $\partial^{\Gamma} 0=0$, верно также равенство $T(x, \Lambda, X, \Gamma)=$ $=0$, если хотя бы одно из множеств $X_{j}$ содержит нечетное число точек $x_{i}$. Ввиду условия (i) $\$ 18.2$ каждое множество $X_{i}$ должно содержать по крайней мере сдну, а значит, по крайней мере две точки $x_{l}$. Следовательно, при $n=2$ есть лишь одно множество $X_{j}$. Другими словами, $X \backslash \Gamma^{c}$ связно. Пусть $d$ определено как в теореме 18.1.1 и $w=w_{1} \otimes w_{2}$. Поскольку $X$ связно и supp $w_{i} \cap$ $\cap X
eq \varnothing$, то $d \leqslant|X|+1$. Значит, согласно (18.3.3),
\[
\left|\int S_{\Lambda}\left(x_{1}, x_{2}\right) w_{1}\left(x_{1}\right) w_{2}\left(x_{2}\right) d x\right| \leqslant|w| e^{-K(D-2)} \leqslant M_{w} e^{-K d} .
\]

Эта оценка завершает доказательство теоремы 18.1.1 при $n=2$, поскольку одноточечная функция $S_{\Lambda}\left(x_{1}\right)$ обращается в нуль для четных $P$.
Доказательство теоремы 18.1.1 (общий случай) в предположении, что верна теорема 18.3.1. Как и прежде, идея состоит в том, чтобы свести кластерное разложение к сумме членов, содержащих лишь одну связную компоненту $X_{1}=X$. Слагаемые, отвечающие двум и более связным компонентам, должны обратиться в нуль в силу некоторой симметрии. Поскольку в общем случае (когда $P$ не обязательно четный) такая симметрия отсутствует, мы, следуя работе [Ginibre, $1971]$, вводим новую теорию, обладающую искусственно созданной симметрией.

Пусть $d \varphi_{C^{*}}^{*}$ есть копия меры $d \Psi_{C}\left(C^{*} \cong C\right)$, определенная на пространстве $\mathscr{S}^{\prime *}$, изоморфном $\mathscr{P}^{\prime}$. Новая теория определяется свободной мерой $d \varphi_{C} \times d \varphi_{C}^{*}{ }^{*}$; ковариацией $C \otimes I+I \otimes C^{*}=\widetilde{C}$, нормированной физической мерой
\[
\tilde{Z}^{-1} e^{-V(\Lambda)} e^{-V(\Lambda)^{*}} d \varphi_{C} \times d \varphi_{C^{*}}^{*}=d \tilde{\mu}
\]

и полем $\tilde{\varphi}=\varphi \otimes I+I \otimes \varphi^{*}$. Эта теория инвариантна (четна) относительно симметрии $\varphi \leftrightarrow \varphi^{*}$, которая меняет местами сомножители.

Применим кластерное разложение к выражению $\tilde{z} \int\left(A-A^{*}\right)\left(B-B^{*}\right) d \tilde{\mu}$. Қовариационные операторы, появляющиеся в этом разложении, имеют вид $\widetilde{C(\hat{s})}=C(s) \otimes I+1 \otimes C(s)^{*}$, поэтому симметрия $\varphi \leftrightarrow \varphi^{*}$ сохраняет гауссову
меру на каждом из сомножителей. (Однако само разложение изменяется: в качестве $\mathscr{B}$ выступает $\left(Z^{2}\right)^{*} \backslash \Gamma$, где $\Gamma$ — набор ребер решетки, объединяющий ребра двух связных множеств, одно из которых содержит $\operatorname{supp} A=\operatorname{supp}(A-$ — $A^{*}$ ), а другое supp $B$. Таким образом, для каждой компоненты $X_{i}$ либо $X_{i} \supset$ $\supset \operatorname{supp} A$, либо $X_{i} \cap \operatorname{supp} A=\varnothing$, и то же самое верно для supp $B$. Вследствие этого ограничения имеется не более двух компонент. Поскольку $n$ в (18.3.3) ограничивает сверху число компонент, то, как легко проверить, $n=2$ в (18.3.5).) Рассмотрим теперь слагаемое в (18.2.15), содержащее компоненты $X_{1}$, $\dot{X}_{2}, \ldots$, удовлетворяющие условиям
\[
\operatorname{supp} A \subset X_{i}, \quad \operatorname{supp} B \subset X_{i}, \quad i
eq j .
\]

В таком слагаемом симметрия $\varphi \longleftrightarrow \varphi^{*}$ может быть применена отдельно к каждой компоненте $X_{i}$. Однако $A-A^{*}$ нечетно по отношению к симметрии на $\dot{X}_{i}$, поэтому члены, удовлетворяющие (18.3.5), должны обратиться в нуль. Ненулевые члены, для которых условие (18.3.5) нарушается, содержат компоненту $X_{1}=X$, причем $d \leqslant O(|X|)$, так что при $d \geqslant 4$
\[
\left|\int\left(A-A^{*}\right)\left(B-B^{*}\right) d \tilde{\mu}\right| \leqslant M_{A, B} e^{-m d} .
\]

Раскрывая скобки в левой части, мы получим сумму четырех интегралов, каждый из которых допускает факторизацию. В итоге левая часть неравенства принимает вид
\[
2\left|\int A B d \mu_{\Lambda, c}-\int A d \mu_{\Lambda, c} \int B d \mu_{\Lambda, c}\right|,
\]
откуда следует теорема 18.1.1.