Мы приведем несколько основных определеннй из классической механики (а также классической статистической механики), с тем чтобы сравнить их с соответствующими понятиями квантовой механики. Рассмотрим систему $n$ частиц, массы $m_{j}$ каждая, движущихся в поле с потенциалом $V$, не зависящим от времени. Фазовое пространство этой системы $\mathscr{X}=R^{6 n}$ определяется как сумма конфигурационного пространства $Q=R^{3 n}$ и сопряженного импульсного пространства $P=R^{3 n}$. Классической наблюдаемой называется функция $B(q, p),(q, p) \in(Q, P)=\mathscr{X}$, на фазовом пространстве.

Классическая механика изучает эволюцию точки фазового пространства во времени, а неравновесная классическая статистическая механика — эволюцию распределения вероятностей на фазовом пространстве. В обоих случаях законы движения определяет гамильтониан, или полная энергия системы. В декартовых координатах гамильтониан имеет вид
\[
H(q, p)=\sum_{i=1}^{n} \frac{p_{i}^{2}}{2 m_{i}}+V(q) .
\]

Рассмотрим кривую $(q(t), p(t))$ в фазовом пространстве с некоторыми начальными значениями $\left(q_{0}, p_{0}\right.$ ) в момент времени $t_{0}$. Эта кривая получается интегрированием уравнений Гамильтона (Ньютона)
\[
\begin{array}{l}
d q_{i}(t) / d t=
abla_{p_{i}} H=p_{i} / m_{i}, \\
d p_{i}(t) / d t=-
abla_{q_{i}} H=-
abla_{q_{i}} V=F_{i}(q)
\end{array}
\]

с начальными условиями $q\left(t_{0}\right)=q_{0}, p\left(t_{0}\right)=p_{0}$. В общем случае можно рассматривать эволюцию произвольной наблюдаемой $B$ : $B_{t}(q, p)=B(q(t), p(t))$ с начальными условиями $B_{t_{0}}(q, p)=$ $=B(q, p)$. Из (1.2.2) следует, что
\[
\partial B_{t}(q, p) / \partial t=D_{H} B_{t}(q, p),
\]

где $D_{H}$ — векторное поле на фазовом пространстве $\mathscr{X}$, имеющее вид
\[
D_{H}=\sum_{i=1}^{n}\left\{\frac{1}{m_{i}} p_{i} \cdot
abla_{q_{i}}+F_{i}(q) \cdot
abla_{p_{i}}\right\} .
\]

Предполагая, что уравнение (1.2.3) интегрируемо, получим, что
\[
B_{t}(q, p)=\left(e^{\left(t-t_{0}\right) D_{H}} B\right)(q, p)=B(q(t), p(t)) .
\]
Гл. 1. Квантоьая теория
Предложение 1.2 .1 (теорема Лиувилля). Пусть $d \mu=\prod_{i=1}^{n} d p_{i} d q_{i}-$ мера Лиувилля в $\mathscr{X}$, a
\[
D_{H}=\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{\partial H}{\partial p_{i}} \frac{\partial}{\partial q_{i}}-\frac{\partial H}{\partial q_{i}} \frac{\partial}{\partial p_{i}}\right) .
\]

Тогда оператор $D_{H}$ формально кососимметричен в пространстве $L_{2}(\mathscr{X}, d \mu)$, а оператор е tD $^{\text {tD }}$ формально унитарен.
Замечание. Мы говорим, что оператор формально кососимметричен, если для любых функций $F, G \in C_{0}^{\infty}(\mathscr{X})$
\[
\left\langle D_{H} F, G\right\rangle_{L_{2}(d \mu)}=-\left\langle F, D_{H} G\right\rangle_{L_{2}(d \mu)} .
\]

Таким образом, на множестве $C_{0}^{\infty}(\mathscr{X}) \subset L_{2}(\mathscr{X}, d \mu)$ сопряженный оператор $D_{H}^{*}=-D_{H}$. Для того чтобы усилить этот результат, т. е. установить унитарность $e^{t D_{H}}$, следует решить технический вопрос об интегрируемости уравнения (1.2.3) и о существовании и единственности экспоненциального решения $e^{t D_{H}}$. Этому вопросу посвящена обширная литература, и мы его здесь обсуждать не будем. Заметим только, что унитарность $e^{t D_{H}}$ имеет место при некоторых ограничениях на функцию $V(q)$.
Доказательство. Для пронзвольных функций $F, G \in C_{0}^{\infty}$ интегрирование по частям дает
\[
\int \vec{F}\left(D_{H}^{G}\right) d \mu=-\int \overline{D_{H} F} G d \mu-\sum_{i}(\vec{F} G)\left(\frac{\partial^{2} H}{\partial q_{i} \partial p_{i}}-\frac{\partial^{2} H}{\partial p_{i} \partial q_{i}}\right),
\]

и, так как выражение в скобках обращается в нуль, $D^{*}=-D$ на пространстве $C_{0}^{\infty}$.

Другая формулировка теоремы Лиувилля состоит в том, что мера Лиувилля $d \mu$ инвариантна относительно классической динамики, определенной гамильтонианом $H$. С помощью якобиана преобразования $(q, p) \rightarrow(q(t), p(t))$ это формулируется так:
Предложение 1.2.2. Пусть для каждого начального условия существует единственное решение уравнений Гамильтона; тогда
\[
\partial(q(t), p(t)) / \partial(q, p) \equiv 1
\]

и, таким образом, объем произвольной области фазового пространства инвариантен относительно потока, порожденного этими решениями. Точнее, если $\mathscr{X}_{0} \subset \mathscr{X}$, а $\mathscr{X}_{t}=e^{t D_{H} \mathscr{X}_{0}}$, то
\[
\mu\left(\mathscr{X}_{0}\right)=\int_{\mathscr{E}_{0}} d \mu=\int_{\mathscr{X}_{t}} d \mu=\mu\left(\mathscr{X}_{t}\right) .
\]
Эквивалентную формулировку динамики наблюдаемых можно дать, используя скоб́ки Пуассона набъюдаемых $B$ и $C$ :
\[
\{B, C\}=\sum_{i=1}^{n}\left(
abla_{q_{i}} B \cdot
abla_{p_{i}} C-
abla_{p_{i}} B \cdot
abla_{q_{i}} C\right) .
\]

Скобки $\{\cdot, \cdot\}$ задают иа алгебре наблюдаемых структуру алгебры Ли. Заметим, что канонические скобки Пуассона равны
\[
\left\{p_{i}, p_{i}\right\}=0=\left\{q_{i}, q_{j}\right\}, \quad\left\{q_{i}, p_{j}\right\}=\delta_{i j} I .
\]

Поскольку эти скобки равны константам, они в силу уравнений (1.2.3) не меняются со временем. Далее, $\{H, B\}=-D_{H} B$, и, следовательно, уравнение (1.2.3) может быть записано в виде
\[
\partial B_{t} / \partial t=-\{H, B\} .
\]

Предполагая, что ряд сходится, получим
\[
B_{t}=e^{\left(t-t_{0}\right) D_{H}} B=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\left(t-t_{0}\right)^{n}}{n !}\{H,\{H, \ldots\{H, B\} \ldots\}\} .
\]

В квантовом случае автоморфизм алгебры наблюдаемых $B \rightarrow B_{t}$ лежит в основе так называемой гейзенберговой картины квантовой механики (динамики Гейзенберга), а предел этой динамики при $\hbar \rightarrow 0$ приводит к формуле (1.2.9).

Помимо наблюдаемых другими важнейшими объектами изучения являются состояния. Состоянием классической системы служит любая точка $(a, b)$ фазового пространства, причем значение наблюдаемой $B$ в этом состоянии в момент времени $t_{0}$ равно $B_{t_{0}}(a, b)$. В классической статистической механике обычно рассматривают более широкий класс состояний, каждое из которых определяется плотностью распределения вероятностей $d \rho(q, p)$ на фазовом пространстве, так что
\[
\int d \rho(q, p)=1, \quad d \rho(q, p) \geqslant 0 .
\]

Қлассические — точечные — состояния, которые можно рассматривать как распределения вероятностей, сосредоточенные в одной точке, называются чистыми состояниями. Они имеют вид
\[
d \rho(q, p)=\delta(q-a) \delta(p-b) d q d p .
\]

При заданном состоянии $\rho$ каждой наблюдаемой $B$ сопоставляется неко’торое число $\rho(B)$ — ее среднее значение:
\[
\rho(B)=\int B(q, p) d \rho(q, p) .
\]

Для упомянутых выше классических состояний $\rho(B)=B(a, b)$.
Таким образом, дннамику можно рассматрнвать не тольк кан изменение наблюдаемых, но и как изменение состояний. Пусть в момент времени $t_{0}$ имеет место состояние $\rho$. Определим состояние $\rho_{t}$ так, чтобы для любой наблюдаемой $B$ выполиялось равенство
\[
\rho_{t}(B)=\rho\left(B_{t}\right) .
\]

Поскольку оператор $D_{H}$ формально кососимметричен, то
\[
d \rho_{t}(q, p)=\left(e^{-\left(t-t_{0}\right) D_{H}} d \rho\right)(q, p)=d \rho(q(-t), p(-t)) .
\]

Такая точка зрения на динамику в квантовой механике носит на. звание шредингеровой картины. Переход к пределу при $\hbar \rightarrow 0$ в уравнении Шредингера приводит к формуле (1.2.13).