Простейший атом — это атом водорода, состоящий из электрона и протона. Шредингеров гамильтониан $H$, который описывает атом водорода, имеет вид
$$H=-\frac{{\hslash }^2}{2m_e}{\mathrm{\Delta }}_{x_1}-\frac{{\hslash }^2}{2m_p}{\mathrm{\Delta }}_{x_2}-\frac{e^2}{|x_1-x_2|}.$$

Здесь $m_e,m_p$ — массы электрона и протона, $x_1,x_2$ — их координаты, а — $е$ и соответственно электрический заряд. В вычислениях заряд часто встречается в безразмерной комбинации, которая называется постоянной тонкой структуры
$$\alpha =e^2/\hslash c=(137,035963\pm 0,000015{)}^{-1}.$$

Массе покоя $m_e$ электрона соответствует энергия покоя, равная
$${\mu }_e=m_e{c}^2=0,5110034\pm 0,0000014{\mathrm{M}}_i\mathrm{B},$$

где $1{\mathrm{M}}_i\mathrm{B}={10}^6$ э ; аналогично у приведенной массы $m_r=$ $=m_e{m}_p/(m_e+m_p)$ энергия покоя равна
$${\mu }_r={(1+m_e/m_p)}^{-1}{\mu }_e=0,999449819{\mu }_e.$$

После выделения из (1.7.1) энергии движения центра масс (более общее рассуждение см. в § 13.2) останется гамильтониан, отвечающий относительному движению электрона и протона. Это гамнльтониан одной частицы массы $m_r$, движущейся в поле потенцнала $-e^2/|x|:$
$$H=-\left({\hslash }^2/2m_r\right)\mathrm{\Delta }-e^2/|x|.$$

Гамильтониан $H$ имеет собственные значения $E_n$ кратности $n^2$, равные
$$E_n=\mu {\alpha }^2/2n^2,n\in Z_{+}.$$

При $n=1$ энергия основного состояния равна
$$E_1=-13,5983{}_{\circ }\mathrm{B}.$$

Это есть взятая со знаком «-» энергия ионизации атома водорода. Другими словами, энергии 13,6 эВ достаточно, чтобы отщепить электрон от протона.

Қак объяснялось в $\mathrm{\S }1.4$, разность энергий $E_n-E_m=hv$ определяет частоту $v$ испускаемого света, поэтому спектроскопические измерения иногда выражают в волновых числах, т. е. величинах, обратных длине волны:
$${\lambda }^{-1}=v/c=(E_n-E_m)/hc.$$

Так как $hc=12,39852\cdot {10}^{-5}$ эВ $\cdot$ см, то в этих единицах приведенное выше значение $E_1$ равно
$$-E_1/hc=109677{\mathrm{cm}}^{-1}\text{. }$$

На самом деле благодаря точности спектроскопических измерений $E_1$ может быть вычислено с огромнейшей точностью, например с точностью до ${10}^{-8}$.

Наблюдаемые спектральные линии атома водорода расклассифицированы различными методами. Переход от $n>1$ к уровню $n=1$ называется серией (рядом) Лаймана, от $n>2$ к $n=2$ серией Бальмера и т. д., см. рис. 1.2

Рис. 1.2. Наблюдаемые переходы в атоме водорода с указанием некоторых волновых чисел в см ${}^{-1}$. Частоты получаются умножением на $c=2,99792458\times$ $\times {10}^{10}$ см. ${\mathrm{c}}^{-1}$.

Утверждение о том, что собственные значения $E_n$ имеют кратность $n^2$, следует из анализа неприводимых унитарных представлений группы вращений $SO(3)$ трехмерного пространства, которые действуют в пространстве $L_2\left(R^3\right)$ и оставляют инвариантным гамильтониан $H$. Такие представления ${\mathcal{D}}^{(j)}$ имеют размерность $2j+1$, где $j$ — неотрицательное целое число, $j=0,1,2,\dots$ (квантовые числа углового момента). При фнксированном $n$ собственное подпространство ${\mathcal{H}}_n$, отвечающее собственному значению $E_n$, можно разложить на неприводимые относительно действия группы $SO(3)$ компоненты. Это разложение имеет вид
$${\mathcal{H}}_n\cong \underset{j=0}{\overset{n-1}{⨁}}{\mathcal{D}}^{(j)}.$$

Поэтому $\dim {\mathcal{H}}_n=\sum _{j=0}^{n-1}(2j+1)=n^2$.
Интерпретация числа $j$ как углового момента является следствием постулата Р3 из § 1.3. В самом деле, классический угловой момент $\mathbf{J}$ одной частицы — это не что иное, как векторное произведение ее координаты на импульс: $\mathbf{J}=\mathbf{x}\times \mathbf{p}$. Используя шредингерово представление $p=-$ iл $abl{a}_x$, мы обнаружим, что компоненты вектора $\mathbf{J}$ удовлетворяют тем же коммутационным соотношениям, что и образующие алгебры Jи группы $SO(3)$, т. е. $[J_i,J_j]=i\hslash J_k$, где $(i,j,k)$-циклическая перестановка чисел $(1,2,3)$. Переходя к экспонентам, мы получим представление группы вращений $SO(3)$ в гильбертовом пространстве $\mathcal{C}=L_2\left(R^3\right)$. Таким образом,
$$V(\mathbf{n},\theta )=\exp (i\mathbf{J}\cdot \mathbf{n}\theta /\hslash )$$

есть не что иное, как элемент группы, представляющий вращение на угол $\theta$ вокруг оси, идущей в направлении единичного трехмерного вектора n. С этим представлением коммутирует оператор Казимира
$$J^2\equiv J_1^2+J_2^2+J_3^2$$

который имеет собственные значения ${\hslash }^{2}j(j+1),j=0,1,\dots$, каждое с кратностью 1. Собственное подпространство, отвечающее фиксированному $j,(2j+1)$-мерно, и ограничение $V$ на это подпространство является представлением ${\mathcal{D}}^{(j)}$ с угловым моментом $j$. Поскольку группа $SO(3)$ компактна, любое ее унитарное представление может быть разложено в сумму конечномерных представлений ${\mathcal{D}}^{(i)}$. В пространстве ${\mathcal{D}}^{(j)}$ можно выделить естественный базис, состоящий из сферических гармоник $P_n^f$, что и приводит к появлению функций $P_n^I$ в формуле (1.6.7).
В случае нескольких частиц полный угловой момент
$${\mathbf{J}}_{\mathrm{tot}}=\sum _{i=1}^N{\mathbf{x}}_i\times {\mathbf{p}}_i$$

обладает теми же свойствами, что и $\mathbf{J}$, и определяет представление группы вращений в пространстве $L_2\left(R^{3N}\right)$. Қак и выше, ${\mathcal{D}}^{(j)}$ являются неприводимыми представлениями. В задаче с центральносимметричными силами, подобной (1.7.1), операторы $H$ и ${\mathbf{J}}_{\text{tot }}$ коммутируют. Поэтому любое собственное подпространство оператора $H$ может быть представлено в виде суммы пространств ${\mathcal{D}}^{(j)}$.
Точные спектроскопические измерения в атомной физике и точные вычисления по теории возмущений дали возможность тщательно проверить квантовую теорию. В процессе этой проверки были обнаружены физические эффекты, отклоняющиеся от теории, изложенной в § 1.6 и 1.7. Эти эффекты — следствия теорни относительности и наличия спина. Более того, в ядерной физике появляются новые законы взаимодействия между частицами. Спин, однако, легко включить в рассмотренную здесь модель нерелятивистской квантовой механики (см. также $\mathrm{\S }1.3$ и представление (1.3.10)).

Первая же попытка создать релятивистскую теорию электрона приводит к уравнению Дирака (см. § 15.3). Рассмотрение спина и уравнения Дирака значительно улучшает согласие теорин с экспериментом в атомной спектроскопии. Еще более важный сплав специальной теории относительности и квантовой механики дает квантовая теория поля. Она позволяет сделать дальнейшие поправки в атомной спектроскопии, в частности объяснить знаменитый лэмбов сдвиг и аномальный магнитный момент электрона. В пределах нынешней точности измерений и вычислений те дополнительные эффекты, которые появляются в квантовой физике благодаря теории поля, позволяют достичь полного согласия между теорией и экспериментом в атомной спектроскопии. Обсуждению этих вопросов посвящена гл. 15.

Ядерная физика или физика элементарных частиц изучают явления, происходящие на малых расстояниях и при больших энергиях, для которых поэтому велико значение релятивистских эффектов. Особенно возрастает роль теоретико-полевых эффектов в связи с тем, что при таких взаимодействиях частицы могут рождаться и исчезать. Добавим к тому же, что радиус протона и расстояния между частицами — величины сравнимые, и, следовательно, представление о протоне и нейтроне как о точечных объектах некорректно. Поэтому ядро и элементарные частицы по своей природе относятся к теории поля, и в противоположность атомной физике их приближенное описание как квантовой системы $N$ частиц не приводит к последовательному описанию основных явлений. Подводя итог сказанному, отметим, что квантовая теория поля нужна для
1) создания на основе комбинации квантовой механики и специальной теории относительности стройной и последовательной картины явлений;
2) получения малых, но точно определенных поправок к атомной спектроскопии;
3) описания основных явлений в физике элементарных частиц и создания языка, на котором могут быть сформулированы фундаментальные законы ядерной физики.