Простейший атом – это атом водорода, состоящий из электрона и протона. Шредингеров гамильтониан $H$, который описывает атом водорода, имеет вид
\[
H=-\frac{\hbar^{2}}{2 m_{e}} \Delta_{x_{1}}-\frac{\hbar^{2}}{2 m_{p}} \Delta_{x_{2}}-\frac{e^{2}}{\left|x_{1}-x_{2}\right|} .
\]

Здесь $m_{e}, m_{p}$ – массы электрона и протона, $x_{1}, x_{2}$ – их координаты, а – $е$ и соответственно электрический заряд. В вычислениях заряд часто встречается в безразмерной комбинации, которая называется постоянной тонкой структуры
\[
\alpha=e^{2} / \hbar c=(137,035963 \pm 0,000015)^{-1} .
\]

Массе покоя $m_{e}$ электрона соответствует энергия покоя, равная
\[
\mu_{e}=m_{e} c^{2}=0,5110034 \pm 0,0000014 \mathrm{M}_{
i} \mathrm{B},
\]

где $1 \mathrm{M}_{
i} \mathrm{B}=10^{6}$ э ; аналогично у приведенной массы $m_{r}=$ $=m_{e} m_{p} /\left(m_{e}+m_{p}\right)$ энергия покоя равна
\[
\mu_{r}=\left(1+m_{e} / m_{p}\right)^{-1} \mu_{e}=0,999449819 \mu_{e} .
\]

После выделения из (1.7.1) энергии движения центра масс (более общее рассуждение см. в § 13.2) останется гамильтониан, отвечающий относительному движению электрона и протона. Это гамнльтониан одной частицы массы $m_{r}$, движущейся в поле потенцнала $-e^{2} /|x|:$
\[
H=-\left(\hbar^{2} / 2 m_{r}\right) \Delta-e^{2} /|x| .
\]

Гамильтониан $H$ имеет собственные значения $E_{n}$ кратности $n^{2}$, равные
\[
E_{n}=\mu \alpha^{2} / 2 n^{2}, \quad n \in Z_{+} .
\]

При $n=1$ энергия основного состояния равна
\[
E_{1}=-13,5983{ }_{\circ} \mathrm{B} .
\]

Это есть взятая со знаком «-» энергия ионизации атома водорода. Другими словами, энергии 13,6 эВ достаточно, чтобы отщепить электрон от протона.

Қак объяснялось в $\S 1.4$, разность энергий $E_{n}-E_{m}=h v$ определяет частоту $v$ испускаемого света, поэтому спектроскопические измерения иногда выражают в волновых числах, т. е. величинах, обратных длине волны:
\[
\lambda^{-1}=v / c=\left(E_{n}-E_{m}\right) / h c .
\]

Так как $h c=12,39852 \cdot 10^{-5}$ эВ $\cdot$ см, то в этих единицах приведенное выше значение $E_{1}$ равно
\[
-E_{1} / h c=109677 \mathrm{~cm}^{-1} \text {. }
\]

На самом деле благодаря точности спектроскопических измерений $E_{1}$ может быть вычислено с огромнейшей точностью, например с точностью до $10^{-8}$.

Наблюдаемые спектральные линии атома водорода расклассифицированы различными методами. Переход от $n>1$ к уровню $n=1$ называется серией (рядом) Лаймана, от $n>2$ к $n=2$ серией Бальмера и т. д., см. рис. 1.2

Рис. 1.2. Наблюдаемые переходы в атоме водорода с указанием некоторых волновых чисел в см $^{-1}$. Частоты получаются умножением на $c=2,99792458 \times$ $\times 10^{10}$ см. $\mathrm{c}^{-1}$.

Утверждение о том, что собственные значения $E_{n}$ имеют кратность $n^{2}$, следует из анализа неприводимых унитарных представлений группы вращений $S O(3)$ трехмерного пространства, которые действуют в пространстве $L_{2}\left(R^{3}\right)$ и оставляют инвариантным гамильтониан $H$. Такие представления $\mathscr{D}^{(j)}$ имеют размерность $2 j+1$, где $j$ – неотрицательное целое число, $j=0,1,2, \ldots$ (квантовые числа углового момента). При фнксированном $n$ собственное подпространство $\mathscr{H}_{n}$, отвечающее собственному значению $E_{n}$, можно разложить на неприводимые относительно действия группы $S O(3)$ компоненты. Это разложение имеет вид
\[
\mathscr{H}_{n} \cong \bigoplus_{j=0}^{n-1} \mathscr{D}^{(j)} .
\]

Поэтому $\operatorname{dim} \mathscr{H}_{n}=\sum_{j=0}^{n-1}(2 j+1)=n^{2}$.
Интерпретация числа $j$ как углового момента является следствием постулата Р3 из § 1.3. В самом деле, классический угловой момент $\mathbf{J}$ одной частицы – это не что иное, как векторное произведение ее координаты на импульс: $\mathbf{J}=\mathbf{x} \times \mathbf{p}$. Используя шредингерово представление $p=-$ iл $
abla_{x}$, мы обнаружим, что компоненты вектора $\mathbf{J}$ удовлетворяют тем же коммутационным соотношениям, что и образующие алгебры Jи группы $S O(3)$, т. е. $\left[J_{i}, J_{j}\right]=i \hbar J_{k}$, где $(i, j, k)$-циклическая перестановка чисел $(1,2,3)$. Переходя к экспонентам, мы получим представление группы вращений $S O(3)$ в гильбертовом пространстве $\mathscr{C}=L_{2}\left(R^{3}\right)$. Таким образом,
\[
V(\mathbf{n}, \theta)=\exp (i \mathbf{J} \cdot \mathbf{n} \theta / \hbar)
\]

есть не что иное, как элемент группы, представляющий вращение на угол $\theta$ вокруг оси, идущей в направлении единичного трехмерного вектора n. С этим представлением коммутирует оператор Казимира
\[
J^{2} \equiv J_{1}^{2}+J_{2}^{2}+J_{3}^{2}
\]

который имеет собственные значения $\hbar^{2} j(j+1), j=0,1, \ldots$, каждое с кратностью 1. Собственное подпространство, отвечающее фиксированному $j,(2 j+1)$-мерно, и ограничение $V$ на это подпространство является представлением $\mathscr{D}^{(j)}$ с угловым моментом $j$. Поскольку группа $S O(3)$ компактна, любое ее унитарное представление может быть разложено в сумму конечномерных представлений $\mathscr{D}^{(i)}$. В пространстве $\mathscr{D}^{(j)}$ можно выделить естественный базис, состоящий из сферических гармоник $P_{n}^{f}$, что и приводит к появлению функций $P_{n}^{I}$ в формуле (1.6.7).
В случае нескольких частиц полный угловой момент
\[
\mathbf{J}_{\mathrm{tot}}=\sum_{i=1}^{N} \mathbf{x}_{i} \times \mathbf{p}_{i}
\]

обладает теми же свойствами, что и $\mathbf{J}$, и определяет представление группы вращений в пространстве $L_{2}\left(R^{3 N}\right)$. Қак и выше, $\mathscr{D}^{(j)}$ являются неприводимыми представлениями. В задаче с центральносимметричными силами, подобной (1.7.1), операторы $H$ и $\mathbf{J}_{\text {tot }}$ коммутируют. Поэтому любое собственное подпространство оператора $H$ может быть представлено в виде суммы пространств $\mathscr{D}^{(j)}$.
Точные спектроскопические измерения в атомной физике и точные вычисления по теории возмущений дали возможность тщательно проверить квантовую теорию. В процессе этой проверки были обнаружены физические эффекты, отклоняющиеся от теории, изложенной в § 1.6 и 1.7. Эти эффекты – следствия теорни относительности и наличия спина. Более того, в ядерной физике появляются новые законы взаимодействия между частицами. Спин, однако, легко включить в рассмотренную здесь модель нерелятивистской квантовой механики (см. также $\S 1.3$ и представление (1.3.10)).

Первая же попытка создать релятивистскую теорию электрона приводит к уравнению Дирака (см. § 15.3). Рассмотрение спина и уравнения Дирака значительно улучшает согласие теорин с экспериментом в атомной спектроскопии. Еще более важный сплав специальной теории относительности и квантовой механики дает квантовая теория поля. Она позволяет сделать дальнейшие поправки в атомной спектроскопии, в частности объяснить знаменитый лэмбов сдвиг и аномальный магнитный момент электрона. В пределах нынешней точности измерений и вычислений те дополнительные эффекты, которые появляются в квантовой физике благодаря теории поля, позволяют достичь полного согласия между теорией и экспериментом в атомной спектроскопии. Обсуждению этих вопросов посвящена гл. 15.

Ядерная физика или физика элементарных частиц изучают явления, происходящие на малых расстояниях и при больших энергиях, для которых поэтому велико значение релятивистских эффектов. Особенно возрастает роль теоретико-полевых эффектов в связи с тем, что при таких взаимодействиях частицы могут рождаться и исчезать. Добавим к тому же, что радиус протона и расстояния между частицами – величины сравнимые, и, следовательно, представление о протоне и нейтроне как о точечных объектах некорректно. Поэтому ядро и элементарные частицы по своей природе относятся к теории поля, и в противоположность атомной физике их приближенное описание как квантовой системы $N$ частиц не приводит к последовательному описанию основных явлений. Подводя итог сказанному, отметим, что квантовая теория поля нужна для
1) создания на основе комбинации квантовой механики и специальной теории относительности стройной и последовательной картины явлений;
2) получения малых, но точно определенных поправок к атомной спектроскопии;
3) описания основных явлений в физике элементарных частиц и создания языка, на котором могут быть сформулированы фундаментальные законы ядерной физики.