Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Статистическая физика классического кулонова газа приводит к изучению определенной ниже большой статистической суммы $\Xi_{\text {кулон. }}$ Рассмотрим $d$-мерную решетку $Z^{d}(\delta, \Lambda)$ в конечном объеме $\Lambda$ с фиксированным шагом $\delta$. Мы используем решетку для того, чтобы избежать особенностей кулонова потенциала в нуле. Мы выбираем этот потенциал равным $C(i, j)=-\Delta^{-1}(i, j)$, где $\Delta$ обозначает решеточный лапласиан на решетке $Z^{d}(\delta, \Lambda)$. Зададим $n$-частичное каноническое распределение конфигураций зарядов $q_{k}=$ $= \pm e$, находящихся в вершинах $i_{k}$, формулой Теперь определим где для удобства будем считать, что $i \in \Lambda$ обозначает $i \in Z^{d}(\delta, \Lambda) \cap$ $\cap \Lambda$. В случае размерности $d=3$ имеем $C(i, j) \sim(4 \pi|i-j|)^{-1}$ при $|i-j| \rightarrow \infty$, что соответствует обычному кулонову потенциалу. Предположим, что на границе $\partial \Lambda$ заданы четные граничные условия (например, условия Дирихле). В силу симметрии $q_{k} \rightarrow-q_{k}$, среднее $\left\langle q_{i}\right\rangle$ равно 0 . Казалось бы, корреляция $\left\langle q_{i} q_{j}\right\rangle$ асимптотически убывает как потенциал $C(i, j)=$ $=O\left(|i-j|^{-d+2}\right)$. В случае $|z| \ll 1, \beta e^{2} \ll 1$ (т. е. для «высокотемпературной разреженной плазмы») известно, что эта корреляция ведет себя по-другому. А именно, где $\xi$ конечно. Нижняя грань $\xi_{D}$ всех допустимых значений $\xi$ в экспоненциальной оценке (20.6.3b) называется дебаевской длиной. Механизм дебаевского экранирования состоит в том, что пробный заряд $q_{i}$ в равновесном распределении окружен облаком зарядов с противоположным знаком. Это приводит к нейтрализации заряда $q_{i}$ и препятствует его взаимодействию с другим пробным зарядом $q_{j}$. Эффект экранирования сводится к тому, что дальнодействующий кулонов потенциал $C(i, j)$ как бы заменяется экспоненциально убывающим (т. е. короткодействующим) потенциалом вида $\exp \left(-|i-j| / \xi_{D}\right)$. Первоначальное объяснение этой картины было связано с приближением среднего поля, формально примененным к корреляции $\left\langle q_{i}, q_{j}\right\rangle$. Недавно Бриджес и Федербуш, используя аппарат конструктивной квантовой теории поля, в частности кластерные разложения гл. 18, а также низкотемпературные разложения, доказали корректность соответствующих рассуждений для среднего (20.6.3). Их исследования основаны на преобразовании sin-Gordon, к которому мы сейчас перейдем. Рассмотрим каноническую статистическую сумму евклидовой теории поля со взаимодействием $V(\varphi)=\gamma \cos \alpha \varphi$. Классическое уравнение движения (в модели с непрерывным вещественным временем) имеет вид и называется поэтому уравнением sin-Gordon. Пусть $d \varphi$-гауссова мера на решетке $Z^{d}(\delta, \Lambda)$ с нулевым средним и ковариацией $C=-\Delta^{-1}$. При подходящем выборе постоянных $\alpha, \gamma$ каноническая статистическая сумма модели sin-Gordon определена формулой Это статистическая сумма решеточной теории поля. Предложение 20.6.1 [Стратонович, 1957], [Edwards, 1959], [Edwards, Lenard, 1962]. Статистические суммы $\Xi$ и Z, определенные соответственно формулами (20.6.1) $u$ (20.6.5), равны: Доказательство. Обозначим $q_{k}, j_{k}, k=1, \ldots, n$, заряды и координаты $n$ частиц. Пусть По определению гауссовой меры В силу соотношений (20.6.7-8), получаем, что При выходе последнего равенства мы воспользовались тождеством для виковой экспоненты из которого следует, что Подставляя равенство (20.6.9) в определение (20.6.2), получаем наше утверждение. Теперь мы пришли к трудной задаче изучения решеточной модели sin-Gordon. С формальной точки зрения тождество $\Xi_{C}=Z_{\text {sа }}$ и показывает, каким образом возникает дебаевская длина. Предполагая, что косинус в формуле (20.6.5) допускает разложение в ряд по малому параметру $\beta^{1 / 2} e$, главный член этого разложения, а именно квадратичную форму от $\varphi$ : коэффициенты которого $a_{m n}$ вычисляются по теории возмущений. Главный член $m_{\text {ср. п }}^{-1}=\xi_{\text {ср. п }}=\left(2 z \beta e^{2}\right)^{-1 / 2}$ — это дебаевская длина в модели среднего поля. Основной результат работ [Brydges, 1978], [Brydges, Federbush, 1980, 1981] можно сформулировать с помощью наблюдаемых вида $q(f)=\int q(x) f(x) d x$, где $f \in C_{0}^{\infty}$, и их произведений $A=\prod_{i=1}^{N} q\left(f_{i}\right)$ (как для решеточного, так и непрерывного поля). где $d$-расстояние между носителями $A$ и $B$. Здесь $m=$ $=(1-\varepsilon) m_{\mathrm{cp.n}}=(1-\varepsilon)\left(2 z \beta e^{2}\right)^{1 / 2}$.
|
1 |
Оглавление
|