Статистическая физика классического кулонова газа приводит к изучению определенной ниже большой статистической суммы $\Xi_{\text {кулон. }}$ Рассмотрим $d$-мерную решетку $Z^{d}(\delta, \Lambda)$ в конечном объеме $\Lambda$ с фиксированным шагом $\delta$. Мы используем решетку для того, чтобы избежать особенностей кулонова потенциала в нуле. Мы выбираем этот потенциал равным $C(i, j)=-\Delta^{-1}(i, j)$, где $\Delta$ обозначает решеточный лапласиан на решетке $Z^{d}(\delta, \Lambda)$. Зададим $n$-частичное каноническое распределение конфигураций зарядов $q_{k}=$ $= \pm e$, находящихся в вершинах $i_{k}$, формулой
\[
\mu_{\text {кан, } n} \equiv(n !)^{-1} \exp \left[-\frac{\beta}{2} \sum_{\substack{k
eq l \\ 1 \leqslant k, l \leqslant n}} q_{k} C\left(i_{k}, i_{l}\right) q_{l}\right] .
\]

Теперь определим
\[
\Xi_{\text {Кулон }}=\sum_{n=0}^{\infty} z^{n} \delta^{n d} \sum_{\substack{i_{k} \in \Lambda \\ q_{k}= \pm \pm e \\ k=1,2, \ldots, n}} \mu_{\text {кан, } n,},
\]

где для удобства будем считать, что $i \in \Lambda$ обозначает $i \in Z^{d}(\delta, \Lambda) \cap$ $\cap \Lambda$. В случае размерности $d=3$ имеем $C(i, j) \sim(4 \pi|i-j|)^{-1}$ при $|i-j| \rightarrow \infty$, что соответствует обычному кулонову потенциалу. Предположим, что на границе $\partial \Lambda$ заданы четные граничные условия (например, условия Дирихле).
Задача состоит в том, чтобы выяснить поведение корреляции между двумя пробными зарядами, расположенными в узлах $i$ и $i$, при $|i-j| \rightarrow \infty$. Эта корреляция определяется как
\[
\left\langle q_{i} q_{j}\right\rangle=\lim _{\Lambda \uparrow z^{d}} \Xi^{-1} \sum_{n, i_{k}, q_{k}} \delta^{n d} q_{i} q_{j} z^{n} \mu_{\text {кан, }} .
\]

В силу симметрии $q_{k} \rightarrow-q_{k}$, среднее $\left\langle q_{i}\right\rangle$ равно 0 . Казалось бы, корреляция $\left\langle q_{i} q_{j}\right\rangle$ асимптотически убывает как потенциал $C(i, j)=$ $=O\left(|i-j|^{-d+2}\right)$. В случае $|z| \ll 1, \beta e^{2} \ll 1$ (т. е. для «высокотемпературной разреженной плазмы») известно, что эта корреляция ведет себя по-другому. А именно,
\[
\left|\left\langle q_{i} q_{j}\right\rangle\right| \leqslant O(\exp (-|i-j| / \xi)), \quad|i-j| \rightarrow \infty,
\]

где $\xi$ конечно. Нижняя грань $\xi_{D}$ всех допустимых значений $\xi$ в экспоненциальной оценке (20.6.3b) называется дебаевской длиной.

Механизм дебаевского экранирования состоит в том, что пробный заряд $q_{i}$ в равновесном распределении окружен облаком зарядов с противоположным знаком. Это приводит к нейтрализации заряда $q_{i}$ и препятствует его взаимодействию с другим пробным зарядом $q_{j}$. Эффект экранирования сводится к тому, что дальнодействующий кулонов потенциал $C(i, j)$ как бы заменяется экспоненциально убывающим (т. е. короткодействующим) потенциалом вида $\exp \left(-|i-j| / \xi_{D}\right)$. Первоначальное объяснение этой картины было связано с приближением среднего поля, формально примененным к корреляции $\left\langle q_{i}, q_{j}\right\rangle$.

Недавно Бриджес и Федербуш, используя аппарат конструктивной квантовой теории поля, в частности кластерные разложения гл. 18, а также низкотемпературные разложения, доказали корректность соответствующих рассуждений для среднего (20.6.3). Их исследования основаны на преобразовании sin-Gordon, к которому мы сейчас перейдем.

Рассмотрим каноническую статистическую сумму евклидовой теории поля со взаимодействием $V(\varphi)=\gamma \cos \alpha \varphi$. Классическое уравнение движения (в модели с непрерывным вещественным временем) имеет вид
\[
-\square \varphi=\alpha \gamma \sin \alpha \varphi
\]

и называется поэтому уравнением sin-Gordon. Пусть $d \varphi$-гауссова мера на решетке $Z^{d}(\delta, \Lambda)$ с нулевым средним и ковариацией $C=-\Delta^{-1}$. При подходящем выборе постоянных $\alpha, \gamma$ каноническая статистическая сумма модели sin-Gordon определена формулой
\[
Z_{\text {sin-Gordon }}=\int \exp \left[2 z \sum_{j \in \Lambda} \delta^{d}: \cos \beta^{1 / 2} e \varphi_{j}:\right] d \varphi .
\]

Это статистическая сумма решеточной теории поля.

Предложение 20.6.1 [Стратонович, 1957], [Edwards, 1959], [Edwards, Lenard, 1962]. Статистические суммы $\Xi$ и Z, определенные соответственно формулами (20.6.1) $u$ (20.6.5), равны:
\[
\Xi_{\text {Кулон }}=Z_{\text {sin-Gordon. }}
\]

Доказательство. Обозначим $q_{k}, j_{k}, k=1, \ldots, n$, заряды и координаты $n$ частиц. Пусть
\[
\varphi(f)=\delta^{d} \sum_{i} \varphi_{i} f_{i}, \quad f_{i}^{(n)}=\beta^{1 / 2} \sum_{k=1}^{n} q_{k} \delta_{i, l_{k}} .
\]

По определению гауссовой меры
\[
\begin{aligned}
\int e^{i \varphi\left(f^{(n))} d \varphi\right.} & =\exp \left[-\frac{1}{2} \sum_{i, j} \delta^{2 d} f_{i}^{(n)} C(i, i) f_{j}^{(n)}\right]= \\
& =\exp \left[-\frac{1}{2} n \beta e^{2} \delta^{2 d} C(0,0)\right] \mu_{\text {кан, } n}
\end{aligned}
\]
(см. (9.1.18)). Далее воспользуемся тождеством
\[
\sum_{\substack{q_{k}= \pm e \\ k=1, \ldots, n \\ n=1, \ldots, n \\ k=1, \ldots, n}} \sum^{n d} e^{l \varphi\left(f^{(n)}\right)}=\left[\delta^{d} \sum_{j \in \Lambda} 2 \cos \left(\beta^{t / 2} e \varphi_{j}\right)\right]^{n} .
\]

В силу соотношений (20.6.7-8), получаем, что
\[
\begin{aligned}
\sum_{\substack{f_{k} \in \Lambda \\
q_{k}= \pm e \\
k=1,2, \ldots, n}} \mu_{\text {кан, } n} & =\exp \left(\frac{1}{2} n \beta e^{2} \delta^{2 d}\right)\left[\delta^{d} \sum_{j} 2 \cos \left(\beta^{1 / 2} e \varphi_{j}\right)\right]^{n}= \\
& =:\left[\delta^{d} \sum_{j} 2 \cos \left(\beta^{1 / 2} e \varphi_{j}\right)\right]^{n}: .
\end{aligned}
\]

При выходе последнего равенства мы воспользовались тождеством для виковой экспоненты
\[
e^{ \pm i \alpha \varphi_{I}}=e^{-(1 / 2) \alpha^{2} n C(0,0)}: e^{ \pm i \alpha \varphi_{I}},
\]

из которого следует, что
\[
\left[\cos \left(\alpha \varphi_{j}\right)\right]^{n}=e^{-(1 / 2) \alpha^{2} n C(0,0)}:\left[\cos \left(\alpha \varphi_{j}\right)\right]^{n}:
\]

Подставляя равенство (20.6.9) в определение (20.6.2), получаем наше утверждение.

Теперь мы пришли к трудной задаче изучения решеточной модели sin-Gordon. С формальной точки зрения тождество $\Xi_{C}=Z_{\text {sа }}$ и показывает, каким образом возникает дебаевская длина. Предполагая, что косинус в формуле (20.6.5) допускает разложение в ряд по малому параметру $\beta^{1 / 2} e$, главный член этого разложения, а именно квадратичную форму от $\varphi$ :
\[
-2 z e^{2} \beta\left(\frac{1}{2} \delta^{d} \sum_{j} \varphi_{j}^{2}\right),
\]
можно рассматривать в соответствии с соотношением (9.1.25) как введение массового члена в меру $d \varphi$. Остальные члены разложения косинуса дают поправки к этой массе. Поэтому можно предполагать, что величина $\xi_{D}^{-1}$, обратная к дебаевской длине, имеет асимптотическое разложение
\[
m_{D}=\xi_{D}^{-1} \sim\left(2 z \beta e^{2}\right)^{1 / 2}\left[1+\sum_{n+m>1} a_{n m} z^{n}\left(\beta e^{2}\right)^{m}\right],
\]

коэффициенты которого $a_{m n}$ вычисляются по теории возмущений. Главный член $m_{\text {ср. п }}^{-1}=\xi_{\text {ср. п }}=\left(2 z \beta e^{2}\right)^{-1 / 2}$ – это дебаевская длина в модели среднего поля. Основной результат работ [Brydges, 1978], [Brydges, Federbush, 1980, 1981] можно сформулировать с помощью наблюдаемых вида $q(f)=\int q(x) f(x) d x$, где $f \in C_{0}^{\infty}$, и их произведений $A=\prod_{i=1}^{N} q\left(f_{i}\right)$ (как для решеточного, так и непрерывного поля).
Теорема 20.6.2. При достаточно малых значениях $\beta$ и состояние для системь в бесконечном объеме $\langle A\rangle=\lim _{\Lambda \rightarrow \infty}\langle A\rangle$ существует и обладает экспоненциальным кластерным свойством. Для любого $\varepsilon>0$ при достаточно малых значениях $\beta$ и (зависящих от $\varepsilon$ ) имеет место оценка
\[
|\langle A B\rangle-\langle A\rangle\langle B\rangle| \leqslant C_{A} C_{B} e^{-m d},
\]

где $d$-расстояние между носителями $A$ и $B$. Здесь $m=$ $=(1-\varepsilon) m_{\mathrm{cp.n}}=(1-\varepsilon)\left(2 z \beta e^{2}\right)^{1 / 2}$.