В этом параграфе мы рассматриваем решеточные аппроксимации $C_8$ ковариационных операторов $C$, определенных в гл. 7 . Из сходимости $C_{\delta }\to C$ при $\delta \to 0$ в операторной норме вытекает, что решеточная аппроксимация $d\phi c_{\delta }$ гауссовой меры $d{\phi }_c$ сходится к ней при $\delta \to 0$ в смысле сходимости характеристических функционалов (преобразований Фурье). Эта сходимость имеет место при произвольной размерности $d$.

Здесь подробно разбирается только случай граничных условий Дирихле. Однако полученные результаты справедливы и в более общем случае ковариационных операторов $C$ из класса $\mathcal{C}$ с другими граничными условиями, рассмотренными в гл. 7.
Для простоты пусть $\mathrm{\Lambda }$ — единичный куб в $R^d$ :
$$\mathrm{\Lambda }=\{x=(x_1,\dots ,x_d):0⩽x_{\alpha }⩽1,\alpha =1,2,\dots ,d\}.$$

Можно рассмотреть также произвольную прямоугольную область $l_1\times \dots \times l_d$, по-разному изменяя длину ребер куба. Оператор Дапласа с граничными условиями Дирихле диагонализуется с помощью разложения в ряд Фурье по ортонормированному базису
$$e_k(x)=2^{d/2}\prod _{a=1}^d\sin \left(k_{\alpha }{x}_{\alpha }\right),k_{\alpha }\in \pi Z_{+}.$$
(По повторяющимся индексам суммирование не производится.) При этом
$$-{\mathrm{\Delta }}_D{e}_k=k^2{e}_k,$$

где $k^2=\sum _{\alpha }{k}_{\alpha }^2$. Напомним, что $C_D={(-{\mathrm{\Delta }}_D+m^2)}^{-1}$.

Рассмотрим конечную решетку ${\mathrm{\Lambda }}_{\delta }$ с шагом $\delta$. Пусть
$$\begin{array}{c}\delta Z^d=\{\delta z:z\in Z^d\},\\ \text{ Int }{\mathrm{\Lambda }}_{\delta }=\mathrm{Int}\mathrm{\Lambda }\cap \delta Z^d,\partial {\mathrm{\Lambda }}_{\delta }=\partial \mathrm{\Lambda }\cap \delta Z^d,\\ {\mathrm{\Lambda }}_{\delta }=\mathrm{Int}{\mathrm{\Lambda }}_{\delta }\cup \partial {\mathrm{\Lambda }}_{\delta }=\mathrm{\Lambda }\cap \delta Z^d.\end{array}$$

Для того чтобы приближения были между собой согласованы, выберем $\delta =2^{-v},v\in Z_{+}$. Определим гильбертово пространство $l_2$ (Int ${\mathrm{\Lambda }}_{\delta }$ ) со скалярным произведением
$$⟨f,f{⟩}_{\mathrm{Int}{\mathrm{\Lambda }}_{\delta }}=\sum _{x\in \mathrm{Int}{\mathrm{\Lambda }}_{\delta }}{\delta }^d|f(x){|}^2.$$

Пространство $l_2(\mathrm{Int}{\mathrm{\Lambda }}_{\delta }$ ) будем рассматривать как подпространство в $l_2\left({\mathrm{\Lambda }}_8\right)$.

Прямой решеточный градиент на $l_2\left(\delta Z^d\right)$ определяется формулой
$$\left({\partial }_{\delta ,\alpha }f\right)(x)={\delta }^{-1}[f(x+\delta e_{\alpha })-f(x)],$$

где $e_{\alpha }$-единичный вектор $\alpha$-го координатного направления. Обратным градиентом служит сопряженный к ${\partial }_{\delta :\alpha }$ относительно скалярного произведения в $l_2\left(\delta Z^d\right)$ оператор ${\partial }_{\delta \text{, а }}^{\ast }$ и
$$-{\mathrm{\Delta }}_{\delta }={\partial }_{\delta }^{\ast }{\partial }_{\delta }={\partial }_{\delta }{\partial }_{\delta }^{\ast }=\sum _{\alpha }{\partial }_{\delta ,\alpha }^{\ast }{\partial }_{\delta ,\alpha },$$

так что
$$\left({\mathrm{\Delta }}_{\delta }f\right)(x)={\delta }^{-2}[-2df(x)+\sum _{6,\mathrm{c},x}f\left(x^{\prime }\right)].$$

Для упрощения обозначений мы ниже будем писать ${\partial }_{\alpha }$ вместо ${\partial }_{\delta ,\alpha }$. В (9.5.7) суммирование ведется по $2d$ узлам решетки $x^{\prime }-$ ближайшим соседям точки $x$. Обозначим $\prod _{\text{Int }{\mathrm{\Lambda }}_{\delta }}$ ортогональный проектор из $l_2\left(\delta Z^d\right)$ на подпространство $l_2$ (Int ${\mathrm{\Lambda }}_{\delta })$. Разностный оператор Лапласа с граничными условиями Дирихле определяется соотношением
$${\mathrm{\Delta }}_{\delta ,D}={\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{Int}{\mathrm{\Lambda }}_{\delta }}{\mathrm{\Delta }}_{\delta }{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{Int}{\mathrm{\Lambda }}_{\delta }}.$$

В частности, если $x\in \mathrm{Int}{\mathrm{\Lambda }}_{\delta }$ и $f\in l_2\left(\mathrm{Int}{\mathrm{\Lambda }}_{\delta }\right)$, то $\left({\mathrm{\Delta }}_{\delta ,D}\dot{f}\right)(x)$ совпадает с (9.5.7). Суммирование по частям дает
$${⟨f,-{\mathrm{\Delta }}_{\delta }f⟩}_{\delta Z^d}={\delta }^d\sum _{\delta Z^d}{|{\partial }_{\delta }f(x)|}^2.$$

Градиент удобно рассматривать как функцию, определенную на ребрах, связывающих соседние узлы. Пусть $B\left(\delta Z^d\right)$ — множество
ребер решетки $\delta Z^d$, а $B\left({\mathrm{\Lambda }}_{\delta }\right)$ — множество тех из них, которые содержатся в ${\mathrm{\Lambda }}_{\delta }$. Тогда для $f\in l_2\left(\mathrm{Int}{\mathrm{\Lambda }}_8\right)$
$${⟨f,-{\mathrm{\Delta }}_{\delta ,D}f⟩}_{\text{Int }{\mathrm{\Lambda }}_{\delta }}={⟨f,-{\mathrm{\Delta }}_{\delta }f⟩}_{\delta z^d}={\delta }^d\sum _{b\in B\left({\mathrm{\Lambda }}_{\delta }\right)}{|{\partial }_{\delta }f(b)|}^2.$$

Таким образом, разностный оператор Лапласа с граничными условиями Дирихле, как и в непрерывном случае, возникает в результате сужения области определення билинейной формы, соответствующей разностному оператору Лапласа в $l_2\left(\delta Z^d\right)$.
Предложение 9.5.1. Оператор Лапласа с граничными условиями Дирихле $-{\mathrm{\Delta }}_{\delta ,D}$ определяет ферромагнитное взаимодействие. Для этого взаимодействия справедливы корреляционные неравенства, доказанные в гл. 4.
Доказательство. Внедиагональные члены в ${⟨f,-{\mathrm{\Delta }}_{\delta ,D}f⟩}_{\mathrm{\Lambda },\delta }$ появляются из $\sum _{\text{б.с. }}$ в (9.5.7). Эти члены ферромагнитны, так как имеют вид: отрицательное число, умноженное на $f(x)f\left(x^{\prime }\right)$. Диагональные слены этой квадратичной формы (имеющие противоположный знак и не являющхеся ферромагнитными) будем относить не к взаимодействию $H$, а к плотностям $d{\mu }_i\left({\xi }_i\right)$, введенным в $\mathrm{\$}4.1$. Таким образом, взаимодействие является ферромагнитным.

Пусть $C_{\delta ,D}={(-{\mathrm{\Delta }}_{\delta ,D}+m^2)}^{-1}$ есть решеточный ковариационный оператор с граничными условиями Дирихле, а $C_{\delta }=C_{\delta ,\varnothing }=$ $={(-{\mathrm{\Delta }}_{\delta }+m^2)}^{-1}$ — свободный решеточный ковариационный оператор. Рассмотрим $C_{\delta ,D}$ как оператор во всем пространстве $l_2\left(\delta Z^d\right)$. При этом граничные условия Дирихле задаются на всех гиперплоскостях, порокденных сдвигами $\partial {\mathrm{\Lambda }}_{\delta }$. Тогда $C_{\delta ,D}$ и $C_{\delta }$ связаны формулой, аналогичной (7.5.1) (полученной с помощью многократных нечетных отражений).
Предложение 9.5.2. Равномерно по $\delta$ выполняются следующие неравенства (первое в смысле $l_2$-операторов, а второе поточечно):
$$\begin{array}{c}0⩽C_{\delta ,D}⩽m^{-2}I,\\ C_{\delta ,D}(x,y)⩾0,x,y\in \mathrm{Int}{\mathrm{\Lambda }}_{\delta }.\end{array}$$

Доказательство. Поточечная положительность выводится из решеточного принципа максимума [Bers, John, Schechter, 1964], как и при доказательстве следствия 7.5.2. Из (9.5.10) вытекает, что $-{\mathrm{\Delta }}_{\delta ,D}⩾0$, откуда получаются операторные неравенства.

Для подробного анализа $C_{\delta ,D}$ диагонализуем ${\mathrm{\Delta }}_{\delta ,D}$, выбрав в $l_2\left(\mathrm{Int}{\mathrm{\Lambda }}_{\delta }\right)$ базис, состоящий из ${({\delta }^{-1}-1)}^d$ функций вида
$$\{e_k^{\delta }(x)=e_k(x):x\in \mathrm{Int}{\mathrm{\Lambda }}_{\delta },k_{\alpha }=\pi ,2\pi ,\dots ,({\delta }^{-1}-1)\pi \},$$

где $e_k$ определяются формулой (9.5.2). Заметим, что $e_k$ обращаются в нуль на $\partial {\mathrm{\Lambda }}_{\delta }$, поэтому $e_k\in l_2$ (Int ${\mathrm{\Delta }}_{\varphi }$ ).

Предложение 9.5.3. Векторы е являются собственными векторами оператора $-{\mathrm{\Delta }}_{\delta ,D}u$
$$-{\mathrm{\Delta }}_{\delta ,D}{e}_k^{\delta }={\lambda }_k^{\delta }{e}_k^{\delta },{\lambda }_k^{\delta }=4{\delta }^{-2}\sum _{a=1}^d{\sin }^2\left(\delta k_{\alpha }/2\right).$$

Кроме того,
$${⟨e_k^{\delta },e_i^{\hat{0}}⟩}_{\mathrm{Int}{\mathrm{\Lambda }}_{\delta }}={\delta }_{k,l}\text{. }$$

Доказательство. Так как $-{\mathrm{\Delta }}_{\delta ,D}=\sum _{\alpha =1}^d{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{Int}{\mathrm{\Lambda }}_{\delta }}{\partial }_{\alpha }^{\ast }{\partial }_{\alpha }{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{Int}{\mathrm{\Lambda }}_{\delta }}$ и слагаемые суть коммутирующие самосопряженные операторы, мы можем диагонализовать каждое слагаемое ${\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{Int}{\mathrm{\Lambda }}_{\delta }}{\partial }_{\alpha }^{\ast }{\partial }_{\alpha }{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{Int}{\mathrm{\Lambda }}_{\delta }}$ независимо. Проверим, что $\sin \left(k_{\alpha }{x}_{\alpha }\right)$ есть собственная функция ${\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{Int}{\mathrm{\Lambda }}_{\delta }}{\partial }_{\alpha }^{\ast }{\partial }_{\alpha }{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{Int}{\mathrm{\Lambda }}_{\delta }}$. Действительно, ${\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{Int}{\mathrm{\Lambda }}_{\delta }}\sin \left(k_{\alpha }{x}_{\alpha }\right)=$ $=\sin \left(k_a{x}_{\alpha }\right),x\in \mathrm{Int}{\mathrm{\Lambda }}_{\delta }$,
$${\partial }_a^{\ast }{\partial }_{\alpha }\sin \left(k_{\alpha }{x}_{\alpha }\right)=2{\delta }^{-2}\{1-\cos \left(k_{\alpha }\delta \right)\}\sin \left(k_{\alpha }{x}_{\alpha }\right),$$

поэтому имеет место равенство (9.5.12). Кроме того, $\sin (k_a{x}_{\alpha }$ ) есть простая соб. ственная функция оператора ${\partial }_{\alpha }^{\ast }{\partial }_{\alpha }$, следовательно, $⟨e_k^{\delta },e_l^{\delta }⟩=0$ при $keql$.

Для вычисления нормировки $e_b^{\delta }$ заметим, что квадрат нормы разлагается в произведение:
$${\Vert e_k^{\delta }\Vert }_{\text{Int }{\mathrm{\Lambda }}_{\delta }}^2=(2\delta {)}^d\prod _{\alpha =1}^d\sum _{j_{\alpha }=0}^{\delta -1}{\sin }^2\left(k_{\alpha }\delta j_{\alpha }\right),$$

поэтому достаточно найти сумму, отвечающую $\alpha =1$. При $k=\pi l$ и $l=1,2,\dots$ $\dots ,{\delta }^{-1}\mathrm{\_}1$ имеем
$$\begin{array}{rl}2\delta \sum _{j=0}^{1/\delta }{\sin }^2(k\delta j)& =\delta \sum _{j=0}^{(1/\delta )-1}\{1-\mathrm{Re}{e}^{2ik\delta j}\}=\\ & =1-\delta \mathrm{Re}\left[(1-e^{2ik})/(1-e^{2ik\delta })\right]=1,\end{array}$$

так как $2k=2\pi l,e^{2ik}=1$ и $0<2k\delta <2\pi$. Таким образом, равенство доказано.
Следствие 9.5.4. Отображение
$$i_{\delta }:e_k^{\delta }\to e_k$$

определяет изометрическое вложение $l_2(\mathrm{Int}{\mathrm{\Lambda }}_{\delta }$ ) в $L_2(\mathrm{\Lambda })$.
Пусть ${\mathrm{\Pi }}_{\delta }$ есть оператор проектирования, действующий в $L_2(\mathrm{\Lambda })$ и обрезающий ряд Фурье при $k_{\alpha }/\pi ={\delta }^{-1}$, т. е.
$${\mathrm{\Pi }}_{\delta }\sum {\alpha }_k{e}_k=\sum _{1⩽k_{\alpha }/\pi ⩽(1/\delta )-1}{\alpha }_k{e}_k.$$

Тогда $i_6^{\ast }$ вычисляется по формуле
$${\left(i_{\delta }\right)}^{\ast }f={\left({\mathrm{\Pi }}_{\delta }f\right)|}_{{\mathrm{\Lambda }}_{\delta }},$$
т. е. проекция $I_{\delta }f$ ограничивается на точки решетки,
В силу изометричности вложения, установленной в следствии 9.5.4, мы можем рассматривать $C_{\delta ,D}$ как оператор, действующий в $L_2(\mathrm{\Lambda })$. Иначе говоря,
$$C_{\delta ,D}=i_{\delta }{C}_{\delta ,D}{i}_{\delta }^{\ast }$$

где в правой части равенства $C_{\delta ,D}$ действует в $l_2\left(\mathrm{lnt}{\mathrm{\Lambda }}_{\delta }\right)$, а в левой части — в $L_2(\mathrm{\Lambda })$. Қак оператор в $L_2(\mathrm{\Lambda }),C_{\delta ,\text{ и имеет ядро }}$
$$C_{\delta ,D}(x,y)=\sum _{1⩽k_{\alpha }/\pi ⩽(1/\delta )-1}{({\lambda }_k^{\delta }+m^2)}^{-1}{e}_k(x)e_k(y).$$

Ограничение этого ядра на точки решетки $x,y\in \mathrm{Int}{\mathrm{\Lambda }}_{\delta }$ совпадает с матричным представлением $C_{\delta ,D}$ как оператора в $l_2\left(\mathrm{Int}{\mathrm{\Lambda }}_{\delta }\right)$.
Предложение 9.5.5. Операторы $C_{\delta ,D}$ сходятся по норме при $\delta \to 0$ $\kappa C_D$, где $C_D$ — ковариационный оператор в $L_2(\mathrm{\Lambda })$ с граничными условиями Дирихле. Все операторы рассматриваются как действующие в $L_2(\mathrm{\Lambda })$ (следствие 9.5.4). Фактически $\Vert C_{\delta ,D}-C_D\Vert ⩽$ $⩽O\left({\delta }^2\right)$.
Доказательство. Рассмотрим $D_{\delta }\equiv \sum _{1⩽k_{\alpha }/\pi ⩽(1/\delta )-1}{(k^2+m^2)}^{-1}{e}_k(x)e_k(y)$. Мы утверждаем, что $\Vert C_{\delta ,D}-D_{\delta }\Vert ⩽O\left({\delta }^2\right)$. Действительно,
$${({\lambda }_k^{\delta }+m^2)}^{-1}-{(k^2+m^2)}^{-1}=(k^2-{\lambda }_k^{\delta }){({\lambda }_k^{\delta }+m^2)}^{-1}{(k^2+m^2)}^{-1}.$$

При этом
$${\lambda }_k^{\delta }=\sum _{\alpha =1}^d{[2{\delta }^{-1}\sin \frac{k_{\alpha }\delta }{2}]}^2=\sum _{\alpha =1}^d{k}_{\alpha }^2{\left[\frac{\sin {\theta }_{\alpha }^{\delta }}{{\theta }_{\alpha }^{\delta }}\right]}^2,$$

где ${\theta }_{\alpha }^{\delta }\equiv k_{\alpha }\delta /2$. Поскольку $0⩽{\theta }_{\alpha }^{\delta }⩽\pi /2$, имеем
$$4k^2/{\pi }^2⩽{\lambda }_k^{\delta }⩽k^2.$$

Поэтому
$$0⩽k^2-{\lambda }_k^{\delta }=\sum _{\alpha =1}^d{k}_{\alpha }^2(1-{[\sin {\theta }_{\alpha }^{\delta }/{\theta }_{\alpha }^{\delta }]}^2)⩽O(1)\sum _{\alpha =1}^d{k}_{\alpha }^2{\left({\theta }_{\alpha }^{\delta }\right)}^2⩽O(1)|k{|}^4{\delta }^2,$$

так как $0⩽1-x^{-2}(\sin x{)}^2⩽O\left(x^2\right)$. Таким образом, правая часть (9.5.22) не превосходит $O(1){\delta }^2$. Поскольку $e_k(x)e_k(y)$ есть ядро ортогональной проекции на $e_k$, получаем: $\Vert C_{\delta ,D}-D_{\delta }\Vert ⩽O\left({\delta }^2\right)$. Наконец,
$$C_D(x,y)=\sum _{1⩽k}{(k^2/\pi <\mathrm{\infty }{m}^2)}^{-1}{e}_k(x)e_k(y).$$

Следовательно,
$$\Vert D_{\delta }-C_D\Vert ⩽inf\{{(k^2+m^2)}^{-1}:k_{\alpha }/\pi ⩾{\delta }^{-1}\text{ для некоторого }\alpha \}$$

и $C_{\delta ,D}\to C_D$ по норме.
Введем теперь выпуклое множество ${\mathcal{C}}_{m,\mathrm{\Lambda }}$, порожденное всеми операторами $C_{\delta ,D}(m$ и $\mathrm{\Lambda }$ фиксированы) при $\delta =0$ и $\delta =2^{-v}$, $v\in Z_{+}$. Оно пригодится нам при изучении пределов решеточных мер $P(\phi {)}_2$, когда $\delta \to 0$. Каждый оператор $C\in {\mathcal{C}}_{m,\text{ х }}$ диагонализуется в базисе $\left\{e_k\right\}$, поэтому уравнение
$$C{e}_k={({\lambda }_k^{(C)}+m^2)}^{-1}{e}_k$$

определяет числа ${\lambda }_k^{(C)}$. Из (9.5.24) и свойства выпуклости следует, что
$$4k^2/{\pi }^2⩽{\lambda }_k^{(C)}.$$

Заметим также, что ${\mathrm{\Pi }}_{\delta }C=C{\mathrm{\Pi }}_{\delta }={\mathrm{\Pi }}_{\delta }C{\mathrm{\Pi }}_{\delta }$. ную викова упорядочения

Тогда
$$c_{\delta }(x)=\left({\mathrm{\Pi }}_{\delta }C\right)(x,x).$$
$$0⩽c_8(x)⩽\{\begin{array}{lll}\text{ const }\ln {\delta }^{-1}& \text{ npu }& d=2,\\ \text{ const }{\delta }^{-d+2}& \text{ npu }& d⩾3\end{array}$$

и константы не зависят от $C\in {\mathcal{C}}_{m,\mathrm{\Lambda }}$.
Доказательство. Согласно (9.5.2), $|e_k(x)|<2^{d/2}$, поэтому
$$\begin{array}{rl}0& ⩽c_{\delta }(x)=\sum _{1⩽k_{\alpha }/\pi ⩽(1/\delta )-1}{({\lambda }_k^{(C)}+m^2)}^{-1}{e}_k(x{)}^2⩽\\ & ⩽2^d.\sum _{1⩽k_{\alpha }/\pi ⩽(1/\delta )-1}{({\lambda }_k^{(C)}+m^2)}^{-1}.\end{array}$$

Применяя неравенство (9.5.27), получаем оценку
$$c_{\delta }(x)⩽2^d.\sum _{1⩽k_{\alpha }/\pi ⩽(1/\delta )-1}{(4k^2{\pi }^{-2}+m^2)}^{-1},$$

из которой легко следует наше утверждение.
Предложение 9.5.7. Пусть $d=2,p<\mathrm{\infty }$. Тогда для $C\in {\mathcal{C}}_{m,\mathrm{\Lambda }}$
$$C(x,\cdot )\in L_p(\mathrm{\Lambda }),\left({\mathrm{\Pi }}_{0}C\right)(x,\cdot )\in L_p(\mathrm{\Lambda }),$$

и их нормы ограничены равномерно по х и С. Для любого $\epsilon <$ $<min\{2/p,1\}$ при $\delta \to 0$ равномерно по $С$ справедливы оценки
$$\begin{array}{c}\underset{x\in \mathrm{\Lambda }}{sup}{\Vert C(x,\cdot )-\left({\mathrm{\Pi }}_{\delta }C\right)(x,\cdot )\Vert }_{L_p(\mathrm{\Lambda })}⩽O\left({\delta }^{\epsilon }\right),\\ \underset{x\in \mathrm{\Lambda }}{sup}{\Vert C_{\delta ,D}(x,\cdot )-C_D(x,\cdot )\Vert }_{L_p(\mathrm{\Lambda })}⩽O\left({\delta }^{\epsilon }\right).\end{array}$$

Доказательство. Так как $\mathrm{\Lambda }$ — ограниченная область, можно считать, что $2⩽p$. Неравенство Хаусдорфа-Ю Юнга доказывается для разложений по синусам так же, как и в случае обычных рядов Фурье. Нужно лишь отдельно рассмотреть вклад от четных и нечетных $k_a/\pi$. (Периодический сюучай см. в книге [Zygmund, 1959].) Поэтому $\Vert f{\Vert }_{L_0(\mathrm{\Lambda })}⩽\Vert \tilde{f}{\Vert }_{l_{p^{\prime }}\left(\pi Z^d\right)}$, где $p^{\prime }=p/(p-1)\in [1,2]$. Заметим, что
$${\Vert C_{\delta ,D}(x,\cdot )\Vert }_{L_p(\mathrm{\Lambda })}={\Vert \sum _{k/\pi }{({\lambda }_k^{\delta }+m^2)}^{-1}{e}_k(x)e_k(\cdot )\Vert }_{L_p(\mathrm{\Lambda })}.$$

Коэффициенты Фурье для $C_{\delta ,D}(x,\cdot )$ равны ${({\lambda }_k^{\delta }+m^2)}^{-1}{e}_k(x)$. Следовательно, применяя (9.5.24), получаем оценку для $l_p$-нормы ряда Фурье:
$$\begin{array}{rl}{\Vert {({\lambda }_k^{\delta }+m^2)}^{-1}{2}^{d/2}\Vert }_{l_{p^{\prime }}}& ⩽\text{ const }{\Vert {(k^2+1)}^{-1}\Vert }_{l_{p^{\prime }}}=\\ & =\text{ const }{\Vert {(k^2+1)}^{-p^{\prime }}\Vert }_{l_1^{\prime }}^{l{p}^{\prime }}⩽\text{ const },\end{array}$$

так как $p^{\prime }>1$. Рассмотрев вместо $C_{\delta ,D}$ оператор $C_{\delta ,D}-C_D$, найдем его коэффициенты Фурье:
$$[{({\lambda }_k^8+m^2)}^{-1}-{(k^2+m^2)}^{-1}]e_k(x)=\alpha (k).$$

Қак и при оценивании выражения (9.5.22), воспользуемся неравенством $1-{(x^{-1}\sin x)}^2⩽O\left(x^{\epsilon }\right)$ при $0⩽\epsilon ⩽2$ и оценкой (9.5.25); получим
$$|\alpha (k)|⩽\mathrm{const}{\delta }^{\epsilon }{(k^2+1)}^{-1+\epsilon /2}\text{ для любого }0⩽\epsilon ⩽2\text{. }$$

Выберем теперь $\epsilon <2/p$. Тогда
$$(-2+\epsilon )p^{\prime }<(-2+2(1-1/p^{\prime }))p^{\prime }=-2,$$

так что ${(k^2+1)}^{-1+\epsilon /2}\in l_{p^{\prime }}$. Следовательно, $\Vert \alpha (\cdot ){\Vert }_{l_{p^{\prime }}}⩽O\left({\delta }^{\epsilon }\right)$. Доказательства для операторов $C\Leftarrow {\mathcal{C}}_{m,\mathrm{\Lambda }}$ общего внда аналогнчны.

В заключение этого параграфа обсудим соотношение между ковариационными операторами с граничными условиями Дирихле на границах $\partial {\mathrm{\Lambda }}_1$ и $\partial {\mathrm{\Lambda }}_2$ двух областей ${\mathrm{\Lambda }}_1\subset {\mathrm{\Lambda }}_2$. Чтобы указать зависимость от $\mathrm{\Lambda }$ явно, введем обозначение $C_{\delta ,\mathrm{\Lambda }}\equiv C_{\delta ,D}$. Удобно рассматривать $C_{\delta ,{\mathrm{\Lambda }}_1}$ и $C_{\delta ,{\mathrm{\Lambda }}_2}$ как матричиые операторы в пространстве $l_2\left({\mathrm{\Lambda }}_{2,\delta }\right)$, причем $C_{\delta ,{\mathrm{\Lambda }}_1}=0$ на $l_2({\mathrm{\Lambda }}_{2,\delta }\mathrm{\setminus }$ Int ${\mathrm{\Lambda }}_{1,\delta })$.

При расширении области $\mathrm{\Lambda }$ происходит монотонное возрастание $C_{\delta ,\mathrm{\Lambda }}$ и в операторном смысле, и поточечно (в смысле матричных элементов). Это есть решеточный аналог мснотонности, доказанной в $\mathrm{\$}7.8$, причем результаты $\S 7.8$ можно получать из этой решеточной монотонности в пределе при $\delta \to 0$.
Предложение 9.5.8. Решеточные ковариационные операторы $C_{\delta ,\mathrm{\Lambda }}$ монотонны по $\mathrm{\Lambda }$. При ${\mathrm{\Lambda }}_1\subset {\mathrm{\Lambda }}_2$
$$\begin{array}{c}{C}_{\delta ,{\mathrm{\Lambda }}_1}⩽C_{\delta ,{\mathrm{\Lambda }}_2}\\ u0⩽C_{\delta ,{\mathrm{\Lambda }}_1}(x,y)⩽C_{\delta ,{\mathrm{\Lambda }}_2}(x,y),x,y\in {\mathrm{\Lambda }}_{2,\delta }.\end{array}$$

Доказательство. Как и в § 7.8, мы вводим интерполирующее семейство для операторов с граничными условиями на $\partial {\mathrm{\Lambda }}_2$ и $\partial {\mathrm{\Lambda }}_1$ с помощью локального возмущения массы. При этом к $C_{8,\mathrm{\Lambda }}^{-1}$, добавляется член $m(x{)}^2\to \mathrm{\infty }$ при $x\in {\mathrm{\Lambda }}_{2,\delta }$ 〉 Int ${\mathrm{\Lambda }}_{1,8}$. Доказательство соотношения
$$C_{\delta ,{\mathrm{\Lambda }}_1}=\underset{\lambda \to \mathrm{\infty }}{lim}C(\lambda )=\underset{\lambda \to \mathrm{\infty }}{lim}{(C_{\delta ,{\mathrm{\Lambda }}_2}^{-1}+\lambda x_{{\mathrm{\Lambda }}_2\mathrm{\setminus }\mathrm{Int}{\mathrm{\Lambda }}_1})}^{-1}$$
проводится аналогично доказательству предложения 7.8.1, хотя (9.5.32) элементарно, так как $C_{\delta ,{\mathrm{\Lambda }}_1}$ — конечная матрица. Операторная монотонность следует из неравенства
$$dC/d\lambda =-C(\lambda ){\chi }_{{\mathrm{\Lambda }}_2\mathrm{\setminus }\mathrm{Int}{\mathrm{\Lambda }}_1}C(\lambda )⩽0.$$

Поточечная положительность $(C_{\delta ,\mathrm{\Lambda }}(x,y)⩾0)$ в узлах решетки $x,y\in {\mathrm{\Lambda }}_{\delta }$ вытекает из решеточного принципа максимума; см. предложение 9.5.2. Поточечная монотонность следует из (9.5.33) и поточечной положительности.

В гл. 18 мы получим решеточный аналог представления ковариации через интеграл Винера (7.8.3). При этом диффузионный процесс заменяется случайным блужданием по решетке $\delta Z^d$. Поточечная и операторная монотонность могут быть также доказаны применением решеточного аналога формулы (7.8.14) к (9.5.33).