В этом параграфе мы рассматриваем решеточные аппроксимации $C_{8}$ ковариационных операторов $C$, определенных в гл. 7 . Из сходимости $C_{\delta} \rightarrow C$ при $\delta \rightarrow 0$ в операторной норме вытекает, что решеточная аппроксимация $d \varphi c_{\delta}$ гауссовой меры $d \varphi_{c}$ сходится к ней при $\delta \rightarrow 0$ в смысле сходимости характеристических функционалов (преобразований Фурье). Эта сходимость имеет место при произвольной размерности $d$.

Здесь подробно разбирается только случай граничных условий Дирихле. Однако полученные результаты справедливы и в более общем случае ковариационных операторов $C$ из класса $\mathscr{C}$ с другими граничными условиями, рассмотренными в гл. 7.
Для простоты пусть $\Lambda$ – единичный куб в $R^{d}$ :
\[
\Lambda=\left\{x=\left(x_{1}, \ldots, x_{d}\right): 0 \leqslant x_{\alpha} \leqslant 1, \alpha=1,2, \ldots, d\right\} .
\]

Можно рассмотреть также произвольную прямоугольную область $l_{1} \times \ldots \times l_{d}$, по-разному изменяя длину ребер куба. Оператор Дапласа с граничными условиями Дирихле диагонализуется с помощью разложения в ряд Фурье по ортонормированному базису
\[
e_{k}(x)=2^{d / 2} \prod_{a=1}^{d} \sin \left(k_{\alpha} x_{\alpha}\right), \quad k_{\alpha} \in \pi Z_{+} .
\]
(По повторяющимся индексам суммирование не производится.) При этом
\[
-\Delta_{D} e_{k}=k^{2} e_{k},
\]

где $k^{2}=\sum_{\alpha} k_{\alpha}^{2}$. Напомним, что $C_{D}=\left(-\Delta_{D}+m^{2}\right)^{-1}$.

Рассмотрим конечную решетку $\Lambda_{\delta}$ с шагом $\delta$. Пусть
\[
\begin{array}{c}
\delta Z^{d}=\left\{\delta z: z \in Z^{d}\right\}, \\
\text { Int } \Lambda_{\delta}=\operatorname{Int} \Lambda \cap \delta Z^{d}, \quad \partial \Lambda_{\delta}=\partial \Lambda \cap \delta Z^{d}, \\
\Lambda_{\delta}=\operatorname{Int} \Lambda_{\delta} \cup \partial \Lambda_{\delta}=\Lambda \cap \delta Z^{d} .
\end{array}
\]

Для того чтобы приближения были между собой согласованы, выберем $\delta=2^{-v}, v \in Z_{+}$. Определим гильбертово пространство $l_{2}$ (Int $\Lambda_{\delta}$ ) со скалярным произведением
\[
\langle f, f\rangle_{\operatorname{Int} \Lambda_{\delta}}=\sum_{x \in \operatorname{Int} \Lambda_{\delta}} \delta^{d}|f(x)|^{2} .
\]

Пространство $l_{2}\left(\operatorname{Int} \Lambda_{\delta}\right.$ ) будем рассматривать как подпространство в $l_{2}\left(\Lambda_{8}\right)$.

Прямой решеточный градиент на $l_{2}\left(\delta Z^{d}\right)$ определяется формулой
\[
\left(\partial_{\delta, \alpha} f\right)(x)=\delta^{-1}\left[f\left(x+\delta e_{\alpha}\right)-f(x)\right],
\]

где $e_{\alpha}$-единичный вектор $\alpha$-го координатного направления. Обратным градиентом служит сопряженный к $\partial_{\delta: \alpha}$ относительно скалярного произведения в $l_{2}\left(\delta Z^{d}\right)$ оператор $\partial_{\delta \text {, а }}^{*}$ и
\[
-\Delta_{\delta}=\partial_{\delta}^{*} \partial_{\delta}=\partial_{\delta} \partial_{\delta}^{*}=\sum_{\alpha} \partial_{\delta, \alpha}^{*} \partial_{\delta, \alpha},
\]

так что
\[
\left(\Delta_{\delta} f\right)(x)=\delta^{-2}\left[-2 d f(x)+\sum_{6, \mathrm{c}, x} f\left(x^{\prime}\right)\right] .
\]

Для упрощения обозначений мы ниже будем писать $\partial_{\alpha}$ вместо $\partial_{\delta, \alpha}$. В (9.5.7) суммирование ведется по $2 d$ узлам решетки $x^{\prime}-$ ближайшим соседям точки $x$. Обозначим $\prod_{\text {Int } \Lambda_{\delta}}$ ортогональный проектор из $l_{2}\left(\delta Z^{d}\right)$ на подпространство $l_{2}$ (Int $\left.\Lambda_{\delta}\right)$. Разностный оператор Лапласа с граничными условиями Дирихле определяется соотношением
\[
\Delta_{\delta, D}=\Pi_{\mathrm{Int} \Lambda_{\delta}} \Delta_{\delta} \Pi_{\mathrm{Int} \Lambda_{\delta}} .
\]

В частности, если $x \in \operatorname{Int} \Lambda_{\delta}$ и $f \in l_{2}\left(\operatorname{Int} \Lambda_{\delta}\right)$, то $\left(\Delta_{\delta, D} \dot{f}\right)(x)$ совпадает с (9.5.7). Суммирование по частям дает
\[
\left\langle f,-\Delta_{\delta} f\right\rangle_{\delta Z^{d}}=\delta^{d} \sum_{\delta Z^{d}}\left|\partial_{\delta} f(x)\right|^{2} .
\]

Градиент удобно рассматривать как функцию, определенную на ребрах, связывающих соседние узлы. Пусть $B\left(\delta Z^{d}\right)$ – множество
ребер решетки $\delta Z^{d}$, а $B\left(\Lambda_{\delta}\right)$ – множество тех из них, которые содержатся в $\Lambda_{\delta}$. Тогда для $f \in l_{2}\left(\operatorname{Int} \Lambda_{8}\right)$
\[
\left\langle f,-\Delta_{\delta, D} f\right\rangle_{\text {Int } \Lambda_{\delta}}=\left\langle f,-\Delta_{\delta} f\right\rangle_{\delta z^{d}}=\delta^{d} \sum_{b \in B\left(\Lambda_{\delta}\right)}\left|\partial_{\delta} f(b)\right|^{2} .
\]

Таким образом, разностный оператор Лапласа с граничными условиями Дирихле, как и в непрерывном случае, возникает в результате сужения области определення билинейной формы, соответствующей разностному оператору Лапласа в $l_{2}\left(\delta Z^{d}\right)$.
Предложение 9.5.1. Оператор Лапласа с граничными условиями Дирихле $-\Delta_{\delta, D}$ определяет ферромагнитное взаимодействие. Для этого взаимодействия справедливы корреляционные неравенства, доказанные в гл. 4.
Доказательство. Внедиагональные члены в $\left\langle f,-\Delta_{\delta, D} f\right\rangle_{\Lambda, \delta}$ появляются из $\sum_{\text {б.с. }}$ в (9.5.7). Эти члены ферромагнитны, так как имеют вид: отрицательное число, умноженное на $f(x) f\left(x^{\prime}\right)$. Диагональные слены этой квадратичной формы (имеющие противоположный знак и не являющхеся ферромагнитными) будем относить не к взаимодействию $H$, а к плотностям $d \mu_{i}\left(\xi_{i}\right)$, введенным в $\$ 4.1$. Таким образом, взаимодействие является ферромагнитным.

Пусть $C_{\delta, D}=\left(-\Delta_{\delta, D}+m^{2}\right)^{-1}$ есть решеточный ковариационный оператор с граничными условиями Дирихле, а $C_{\delta}=C_{\delta, \varnothing}=$ $=\left(-\Delta_{\delta}+m^{2}\right)^{-1}$ – свободный решеточный ковариационный оператор. Рассмотрим $C_{\delta, D}$ как оператор во всем пространстве $l_{2}\left(\delta Z^{d}\right)$. При этом граничные условия Дирихле задаются на всех гиперплоскостях, порокденных сдвигами $\partial \Lambda_{\delta}$. Тогда $C_{\delta, D}$ и $C_{\delta}$ связаны формулой, аналогичной (7.5.1) (полученной с помощью многократных нечетных отражений).
Предложение 9.5.2. Равномерно по $\delta$ выполняются следующие неравенства (первое в смысле $l_{2}$-операторов, а второе поточечно):
\[
\begin{array}{c}
0 \leqslant C_{\delta, D} \leqslant m^{-2} I, \\
C_{\delta, D}(x, y) \geqslant 0, \quad x, y \in \operatorname{Int} \Lambda_{\delta} .
\end{array}
\]

Доказательство. Поточечная положительность выводится из решеточного принципа максимума [Bers, John, Schechter, 1964], как и при доказательстве следствия 7.5.2. Из (9.5.10) вытекает, что $-\Delta_{\delta, D} \geqslant 0$, откуда получаются операторные неравенства.

Для подробного анализа $C_{\delta, D}$ диагонализуем $\Delta_{\delta, D}$, выбрав в $l_{2}\left(\operatorname{Int} \Lambda_{\delta}\right)$ базис, состоящий из $\left(\delta^{-1}-1\right)^{d}$ функций вида
\[
\left\{e_{k}^{\delta}(x)=e_{k}(x): x \in \operatorname{Int} \Lambda_{\delta}, k_{\alpha}=\pi, 2 \pi, \ldots,\left(\delta^{-1}-1\right) \pi\right\},
\]

где $e_{k}$ определяются формулой (9.5.2). Заметим, что $e_{k}$ обращаются в нуль на $\partial \Lambda_{\delta}$, поэтому $e_{k} \in l_{2}$ (Int $\Delta_{\phi}$ ).

Предложение 9.5.3. Векторы е являются собственными векторами оператора $-\Delta_{\delta, D} u$
\[
-\Delta_{\delta, D} e_{k}^{\delta}=\lambda_{k}^{\delta} e_{k}^{\delta}, \quad \lambda_{k}^{\delta}=4 \delta^{-2} \sum_{a=1}^{d} \sin ^{2}\left(\delta k_{\alpha} / 2\right) .
\]

Кроме того,
\[
\left\langle e_{k}^{\delta}, e_{i}^{\hat{0}}\right\rangle_{\operatorname{Int} \Lambda_{\delta}}=\delta_{k, l} \text {. }
\]

Доказательство. Так как $-\Delta_{\delta, D}=\sum_{\alpha=1}^{d} \Pi_{\mathrm{Int} \Lambda_{\delta}} \partial_{\alpha}^{*} \partial_{\alpha} \Pi_{\mathrm{Int} \Lambda_{\delta}} \quad$ и слагаемые суть коммутирующие самосопряженные операторы, мы можем диагонализовать каждое слагаемое $\Pi_{\mathrm{Int} \Lambda_{\delta}} \partial_{\alpha}^{*} \partial_{\alpha} \Pi_{\mathrm{Int} \Lambda_{\delta}}$ независимо. Проверим, что $\sin \left(k_{\alpha} x_{\alpha}\right)$ есть собственная функция $\Pi_{\mathrm{Int} \Lambda_{\delta}} \partial_{\alpha}^{*} \partial_{\alpha} \Pi_{\mathrm{Int} \Lambda_{\delta}}$. Действительно, $\Pi_{\mathrm{Int} \Lambda_{\delta}} \sin \left(k_{\alpha} x_{\alpha}\right)=$ $=\sin \left(k_{a} x_{\alpha}\right), x \in \operatorname{Int} \Lambda_{\delta}$,
\[
\partial_{a}^{*} \partial_{\alpha} \sin \left(k_{\alpha} x_{\alpha}\right)=2 \delta^{-2}\left\{1-\cos \left(k_{\alpha} \delta\right)\right\} \sin \left(k_{\alpha} x_{\alpha}\right),
\]

поэтому имеет место равенство (9.5.12). Кроме того, $\sin \left(k_{a} x_{\alpha}\right.$ ) есть простая соб. ственная функция оператора $\partial_{\alpha}^{*} \partial_{\alpha}$, следовательно, $\left\langle e_{k}^{\delta}, e_{l}^{\delta}\right\rangle=0$ при $k
eq l$.

Для вычисления нормировки $e_{b}^{\delta}$ заметим, что квадрат нормы разлагается в произведение:
\[
\left\|e_{k}^{\delta}\right\|_{\text {Int } \Lambda_{\delta}}^{2}=(2 \delta)^{d} \prod_{\alpha=1}^{d} \sum_{j_{\alpha}=0}^{\delta-1} \sin ^{2}\left(k_{\alpha} \delta j_{\alpha}\right),
\]

поэтому достаточно найти сумму, отвечающую $\alpha=1$. При $k=\pi l$ и $l=1,2, \ldots$ $\ldots, \delta^{-1} \_1$ имеем
\[
\begin{aligned}
2 \delta \sum_{j=0}^{1 / \delta} \sin ^{2}(k \delta j) & =\delta \sum_{j=0}^{(1 / \delta)-1}\left\{1-\operatorname{Re} e^{2 i k \delta j}\right\}= \\
& =1-\delta \operatorname{Re}\left[\left(1-e^{2 i k}\right) /\left(1-e^{2 i k \delta}\right)\right]=1,
\end{aligned}
\]

так как $2 k=2 \pi l, e^{2 i k}=1$ и $0<2 k \delta<2 \pi$. Таким образом, равенство доказано.
Следствие 9.5.4. Отображение
\[
i_{\delta}: e_{k}^{\delta} \rightarrow e_{k}
\]

определяет изометрическое вложение $l_{2}\left(\operatorname{Int} \Lambda_{\delta}\right.$ ) в $L_{2}(\Lambda)$.
Пусть $\Pi_{\delta}$ есть оператор проектирования, действующий в $L_{2}(\Lambda)$ и обрезающий ряд Фурье при $k_{\alpha} / \pi=\delta^{-1}$, т. е.
\[
\Pi_{\delta} \sum \alpha_{k} e_{k}=\sum_{1 \leqslant k_{\alpha} / \pi \leqslant(1 / \delta)-1} \alpha_{k} e_{k} .
\]

Тогда $i_{6}^{*}$ вычисляется по формуле
\[
\left(i_{\delta}\right)^{*} f=\left.\left(\Pi_{\delta} f\right)\right|_{\Lambda_{\delta}},
\]
т. е. проекция $I_{\delta} f$ ограничивается на точки решетки,
В силу изометричности вложения, установленной в следствии 9.5.4, мы можем рассматривать $C_{\delta, D}$ как оператор, действующий в $L_{2}(\Lambda)$. Иначе говоря,
\[
C_{\delta, D}=i_{\delta} C_{\delta, D} i_{\delta}^{*}
\]

где в правой части равенства $C_{\delta, D}$ действует в $l_{2}\left(\operatorname{lnt} \Lambda_{\delta}\right)$, а в левой части – в $L_{2}(\Lambda)$. Қак оператор в $L_{2}(\Lambda), C_{\delta, \text { и имеет ядро }}$
\[
C_{\delta, D}(x, y)=\sum_{1 \leqslant k_{\alpha} / \pi \leqslant(1 / \delta)-1}\left(\lambda_{k}^{\delta}+m^{2}\right)^{-1} e_{k}(x) e_{k}(y) .
\]

Ограничение этого ядра на точки решетки $x, y \in \operatorname{Int} \Lambda_{\delta}$ совпадает с матричным представлением $C_{\delta, D}$ как оператора в $l_{2}\left(\operatorname{Int} \Lambda_{\delta}\right)$.
Предложение 9.5.5. Операторы $C_{\delta, D}$ сходятся по норме при $\delta \rightarrow 0$ $\kappa C_{D}$, где $C_{D}$ – ковариационный оператор в $L_{2}(\Lambda)$ с граничными условиями Дирихле. Все операторы рассматриваются как действующие в $L_{2}(\Lambda)$ (следствие 9.5.4). Фактически $\left\|C_{\delta, D}-C_{D}\right\| \leqslant$ $\leqslant O\left(\delta^{2}\right)$.
Доказательство. Рассмотрим $D_{\delta} \equiv \sum_{1 \leqslant k_{\alpha} / \pi \leqslant(1 / \delta)-1}\left(k^{2}+m^{2}\right)^{-1} e_{k}(x) e_{k}(y)$. Мы утверждаем, что $\left\|C_{\delta, D}-D_{\delta}\right\| \leqslant O\left(\delta^{2}\right)$. Действительно,
\[
\left(\lambda_{k}^{\delta}+m^{2}\right)^{-1}-\left(k^{2}+m^{2}\right)^{-1}=\left(k^{2}-\lambda_{k}^{\delta}\right)\left(\lambda_{k}^{\delta}+m^{2}\right)^{-1}\left(k^{2}+m^{2}\right)^{-1} .
\]

При этом
\[
\lambda_{k}^{\delta}=\sum_{\alpha=1}^{d}\left[2 \delta^{-1} \sin \frac{k_{\alpha} \delta}{2}\right]^{2}=\sum_{\alpha=1}^{d} k_{\alpha}^{2}\left[\frac{\sin \theta_{\alpha}^{\delta}}{\theta_{\alpha}^{\delta}}\right]^{2},
\]

где $\theta_{\alpha}^{\delta} \equiv k_{\alpha} \delta / 2$. Поскольку $0 \leqslant \theta_{\alpha}^{\delta} \leqslant \pi / 2$, имеем
\[
4 k^{2} / \pi^{2} \leqslant \lambda_{k}^{\delta} \leqslant k^{2} .
\]

Поэтому
\[
0 \leqslant k^{2}-\lambda_{k}^{\delta}=\sum_{\alpha=1}^{d} k_{\alpha}^{2}\left(1-\left[\sin \theta_{\alpha}^{\delta} / \theta_{\alpha}^{\delta}\right]^{2}\right) \leqslant O(1) \sum_{\alpha=1}^{d} k_{\alpha}^{2}\left(\theta_{\alpha}^{\delta}\right)^{2} \leqslant O(1)|k|^{4} \delta^{2},
\]

так как $0 \leqslant 1-x^{-2}(\sin x)^{2} \leqslant O\left(x^{2}\right)$. Таким образом, правая часть (9.5.22) не превосходит $O(1) \delta^{2}$. Поскольку $e_{k}(x) e_{k}(y)$ есть ядро ортогональной проекции на $e_{k}$, получаем: $\left\|C_{\delta, D}-D_{\delta}\right\| \leqslant O\left(\delta^{2}\right)$. Наконец,
\[
C_{D}(x, y)=\sum_{1 \leqslant k}\left(k^{2} / \pi<\infty m^{2}\right)^{-1} e_{k}(x) e_{k}(y) .
\]

Следовательно,
\[
\left\|D_{\delta}-C_{D}\right\| \leqslant \inf \left\{\left(k^{2}+m^{2}\right)^{-1}: k_{\alpha} / \pi \geqslant \delta^{-1} \text { для некоторого } \alpha\right\}
\]

и $C_{\delta, D} \rightarrow C_{D}$ по норме.
Введем теперь выпуклое множество $\mathscr{C}_{m, \Lambda}$, порожденное всеми операторами $C_{\delta, D}\left(m\right.$ и $\Lambda$ фиксированы) при $\delta=0$ и $\delta=2^{-v}$, $v \in Z_{+}$. Оно пригодится нам при изучении пределов решеточных мер $P(\varphi)_{2}$, когда $\delta \rightarrow 0$. Каждый оператор $C \in \mathscr{C}_{m, \text { х }}$ диагонализуется в базисе $\left\{e_{k}\right\}$, поэтому уравнение
\[
C e_{k}=\left(\lambda_{k}^{(C)}+m^{2}\right)^{-1} e_{k}
\]

определяет числа $\lambda_{k}^{(C)}$. Из (9.5.24) и свойства выпуклости следует, что
\[
4 k^{2} / \pi^{2} \leqslant \lambda_{k}^{(C)} .
\]

Заметим также, что $\Pi_{\delta} C=C \Pi_{\delta}=\Pi_{\delta} C \Pi_{\delta}$. ную викова упорядочения

Тогда
\[
c_{\delta}(x)=\left(\Pi_{\delta} C\right)(x, x) .
\]
\[
0 \leqslant c_{8}(x) \leqslant\left\{\begin{array}{lll}
\text { const } \ln \delta^{-1} & \text { npu } & d=2, \\
\text { const } \delta^{-d+2} & \text { npu } & d \geqslant 3
\end{array}\right.
\]

и константы не зависят от $C \in \mathscr{C}_{m, \Lambda}$.
Доказательство. Согласно (9.5.2), $\left|e_{k}(x)\right|<2^{d / 2}$, поэтому
\[
\begin{aligned}
0 & \leqslant c_{\delta}(x)=\sum_{1 \leqslant k_{\alpha} / \pi \leqslant(1 / \delta)-1}\left(\lambda_{k}^{(C)}+m^{2}\right)^{-1} e_{k}(x)^{2} \leqslant \\
& \leqslant 2^{d} . \sum_{1 \leqslant k_{\alpha} / \pi \leqslant(1 / \delta)-1}\left(\lambda_{k}^{(C)}+m^{2}\right)^{-1} .
\end{aligned}
\]

Применяя неравенство (9.5.27), получаем оценку
\[
c_{\delta}(x) \leqslant 2^{d} . \sum_{1 \leqslant k_{\alpha} / \pi \leqslant(1 / \delta)-1}\left(4 k^{2} \pi^{-2}+m^{2}\right)^{-1},
\]

из которой легко следует наше утверждение.
Предложение 9.5.7. Пусть $d=2, p<\infty$. Тогда для $C \in \mathscr{C}_{m, \Lambda}$
\[
C(x, \cdot) \in L_{p}(\Lambda), \quad\left(\Pi_{0} C\right)(x, \cdot) \in L_{p}(\Lambda),
\]

и их нормы ограничены равномерно по х и С. Для любого $\varepsilon<$ $<\min \{2 / p, 1\}$ при $\delta \rightarrow 0$ равномерно по $С$ справедливы оценки
\[
\begin{array}{c}
\sup _{x \in \Lambda}\left\|C(x, \cdot)-\left(\Pi_{\delta} C\right)(x, \cdot)\right\|_{L_{p}(\Lambda)} \leqslant O\left(\delta^{\varepsilon}\right), \\
\sup _{x \in \Lambda}\left\|C_{\delta, D}(x, \cdot)-C_{D}(x, \cdot)\right\|_{L_{p}(\Lambda)} \leqslant O\left(\delta^{\varepsilon}\right) .
\end{array}
\]

Доказательство. Так как $\Lambda$ – ограниченная область, можно считать, что $2 \leqslant p$. Неравенство Хаусдорфа-Ю Юнга доказывается для разложений по синусам так же, как и в случае обычных рядов Фурье. Нужно лишь отдельно рассмотреть вклад от четных и нечетных $k_{a} / \pi$. (Периодический сюучай см. в книге [Zygmund, 1959].) Поэтому $\|f\|_{L_{0}(\Lambda)} \leqslant\|\tilde{f}\|_{l_{p^{\prime}}\left(\pi Z^{d}\right)}$, где $p^{\prime}=p /(p-1) \in[1,2]$. Заметим, что
\[
\left\|C_{\delta, D}(x, \cdot)\right\|_{L_{p}(\Lambda)}=\left\|\sum_{k / \pi}\left(\lambda_{k}^{\delta}+m^{2}\right)^{-1} e_{k}(x) e_{k}(\cdot)\right\|_{L_{p}(\Lambda)} .
\]

Коэффициенты Фурье для $C_{\delta, D}(x, \cdot)$ равны $\left(\lambda_{k}^{\delta}+m^{2}\right)^{-1} e_{k}(x)$. Следовательно, применяя (9.5.24), получаем оценку для $l_{p}$-нормы ряда Фурье:
\[
\begin{aligned}
\left\|\left(\lambda_{k}^{\delta}+m^{2}\right)^{-1} 2^{d / 2}\right\|_{l_{p^{\prime}}} & \leqslant \text { const }\left\|\left(k^{2}+1\right)^{-1}\right\|_{l_{p^{\prime}}}= \\
& =\text { const }\left\|\left(k^{2}+1\right)^{-p^{\prime}}\right\|_{l_{1}^{\prime}}^{l p^{\prime}} \leqslant \text { const },
\end{aligned}
\]

так как $p^{\prime}>1$. Рассмотрев вместо $C_{\delta, D}$ оператор $C_{\delta, D}-C_{D}$, найдем его коэффициенты Фурье:
\[
\left[\left(\lambda_{k}^{8}+m^{2}\right)^{-1}-\left(k^{2}+m^{2}\right)^{-1}\right] e_{k}(x)=\alpha(k) .
\]

Қак и при оценивании выражения (9.5.22), воспользуемся неравенством $1-\left(x^{-1} \sin x\right)^{2} \leqslant O\left(x^{\varepsilon}\right)$ при $0 \leqslant \varepsilon \leqslant 2$ и оценкой (9.5.25); получим
\[
|\alpha(k)| \leqslant \operatorname{const} \delta^{\varepsilon}\left(k^{2}+1\right)^{-1+\varepsilon / 2} \text { для любого } \quad 0 \leqslant \varepsilon \leqslant 2 \text {. }
\]

Выберем теперь $\varepsilon<2 / p$. Тогда
\[
(-2+\varepsilon) p^{\prime}<\left(-2+2\left(1-1 / p^{\prime}\right)\right) p^{\prime}=-2,
\]

так что $\left(k^{2}+1\right)^{-1+\varepsilon / 2} \in l_{p^{\prime}}$. Следовательно, $\|\alpha(\cdot)\|_{l_{p^{\prime}}} \leqslant O\left(\delta^{\varepsilon}\right)$. Доказательства для операторов $C \Leftarrow \mathscr{C}_{m, \Lambda}$ общего внда аналогнчны.

В заключение этого параграфа обсудим соотношение между ковариационными операторами с граничными условиями Дирихле на границах $\partial \Lambda_{1}$ и $\partial \Lambda_{2}$ двух областей $\Lambda_{1} \subset \Lambda_{2}$. Чтобы указать зависимость от $\Lambda$ явно, введем обозначение $C_{\delta, \Lambda} \equiv C_{\delta, D}$. Удобно рассматривать $C_{\delta, \Lambda_{1}}$ и $C_{\delta, \Lambda_{2}}$ как матричиые операторы в пространстве $l_{2}\left(\Lambda_{2, \delta}\right)$, причем $C_{\delta, \Lambda_{1}}=0$ на $l_{2}\left(\Lambda_{2, \delta} \backslash\right.$ Int $\left.\Lambda_{1, \delta}\right)$.

При расширении области $\Lambda$ происходит монотонное возрастание $C_{\delta, \Lambda}$ и в операторном смысле, и поточечно (в смысле матричных элементов). Это есть решеточный аналог мснотонности, доказанной в $\$ 7.8$, причем результаты $§ 7.8$ можно получать из этой решеточной монотонности в пределе при $\delta \rightarrow 0$.
Предложение 9.5.8. Решеточные ковариационные операторы $C_{\delta, \Lambda}$ монотонны по $\Lambda$. При $\Lambda_{1} \subset \Lambda_{2}$
\[
\begin{array}{c}
C_{\delta, \Lambda_{1}} \leqslant C_{\delta, \Lambda_{2}} \\
u \quad 0 \leqslant C_{\delta, \Lambda_{1}}(x, y) \leqslant C_{\delta, \Lambda_{2}}(x, y), \quad x, y \in \Lambda_{2, \delta} .
\end{array}
\]

Доказательство. Как и в § 7.8, мы вводим интерполирующее семейство для операторов с граничными условиями на $\partial \Lambda_{2}$ и $\partial \Lambda_{1}$ с помощью локального возмущения массы. При этом к $C_{8, \Lambda}^{-1}$, добавляется член $m(x)^{2} \rightarrow \infty$ при $x \in \Lambda_{2, \delta}$ 〉 Int $\Lambda_{1,8}$. Доказательство соотношения
\[
C_{\delta, \Lambda_{1}}=\lim _{\lambda \rightarrow \infty} C(\lambda)=\lim _{\lambda \rightarrow \infty}\left(C_{\delta, \Lambda_{2}}^{-1}+\lambda x_{\Lambda_{2} \backslash \operatorname{Int} \Lambda_{1}}\right)^{-1}
\]
проводится аналогично доказательству предложения 7.8.1, хотя (9.5.32) элементарно, так как $C_{\delta, \Lambda_{1}}$ – конечная матрица. Операторная монотонность следует из неравенства
\[
d C / d \lambda=-C(\lambda) \chi_{\Lambda_{2} \backslash \operatorname{Int} \Lambda_{1}} C(\lambda) \leqslant 0 .
\]

Поточечная положительность $\left(C_{\delta, \Lambda}(x, y) \geqslant 0\right)$ в узлах решетки $x, y \in \Lambda_{\delta}$ вытекает из решеточного принципа максимума; см. предложение 9.5.2. Поточечная монотонность следует из (9.5.33) и поточечной положительности.

В гл. 18 мы получим решеточный аналог представления ковариации через интеграл Винера (7.8.3). При этом диффузионный процесс заменяется случайным блужданием по решетке $\delta Z^{d}$. Поточечная и операторная монотонность могут быть также доказаны применением решеточного аналога формулы (7.8.14) к (9.5.33).