Определим оператор Jaпласа $\Delta_{\mathbf{r}}$ с граничными условиями Дирихле на $\Gamma$, взяв в качестве его области определения набор функций $f(x)$, которые обрацаются в нуль при $x \in \Gamma$. Другими словами, $-\Delta_{\text {r }}$ есть расширение Фридрихса (см. [Kato, 1966]) оператора $-\Delta$, ограниченного (как билинейная форма) на $C^{\infty}$-функции с носителем в $R^{d} \backslash \Gamma$. Пусть $C_{\Gamma}=\left(-\Delta_{\Gamma}+m^{2}\right)^{-1}$. Случай множества I общего вида будет рассмотрен в $\$ 7.7-8$, а здесь мы ограничимся таким $\Gamma$, которое, как и выше, является набором гиперплоскостей, разделяющих $R^{d}$ на периодическую решетку. Пусть $C_{D}$ – ковариационный оператор $C_{\Gamma}$ в этом специальном случае.

Применив метод изображений, мы получим для $C_{D}$ явную формулу. Пусть $\left\{y_{f}\right\}$ – множество изображений, использованное выше при изучении оператора $C_{N}$, а точка $y_{i}$ получена из $y=y_{0}$ при помощи $\varepsilon_{i}$ отражений относительно гиперплоскостей из Г. Заметим, что $(-1)^{\varepsilon}{ }^{f}$ не зависит от выбора последовательности отражений.
Предложение 7.5.1.
\[
C_{D}(x, y)=\left\{\begin{array}{lll}
\sum_{j=0}^{\infty}(-1)^{\varepsilon_{j}} C\left(x-y_{j}\right) & \text { npu } & x, y \in \Lambda, \\
0 & \text { npu } & x \in \Lambda, y \in \Lambda^{\prime}
eq \Lambda .
\end{array}\right.
\]

Доказательство. Множители (-1) ${ }^{\varepsilon} j_{\text {выбраны так, чтобы сумма (7.5.1) обраща- }}$ лась в нуль при $x \in \partial \Lambda$. Поскольку каждое множество $\Lambda_{j}$ содержит только одно $y_{i}$, применение оператора $-\Delta_{D}+m^{2}$ к сумме (7.5.1) дает $\delta(x-y)$ для любой точки $x$ из внутренности $\Lambda$. В силу единственности решения линейной граничной задачи, правая часть (7.5.1) равна $C_{D}$.
Следствие 7.5.2. Для ковариации Дирихле справедливы следующие утверждения:
(a) $C_{D}$ – положительный оператор в пространстве $L_{2}$;
(b) $0 \leqslant C_{D}(x, y)=C_{D}(y, x)<C(x, y)$;
(c) если произведение $m|x-y|$ близко к нулю, то
\[
C_{D}(x, y) \sim\left\{\begin{array}{lll}
|x-y|^{-d+2} & \text { npu } & d \geqslant 3, \\
-\ln (m|x-y|) & \text { npu } & d=2 .
\end{array}\right.
\]

Доказательство. Свойство (а) следует из того, что оператор $C_{D}$ является обратным к положительному оператору $-\Delta_{D}+m^{2}$. Локальная регулярность (с) следует из равенства (7.5.1). Для доказательства свойства (b) воспользуемся принципом максимума: функция $f(x)$, непрерывная в ограниченной замкнутой области $\Omega$ и удовлетворяющая во внутренности $\Omega$ уравнению $\left(-\Delta+m^{2}\right) f(x)=0$, достигает своего положительного максимума и отрицательного минимума на границе $\partial \Omega$. Пусть $\Omega=\Lambda$ – связное подмножество $R^{d} \backslash \Gamma$. Для точки $y \in \Lambda$ положим $f(x)=C(x, y)-C_{D}(x, y)$. Поскольку на границе $\partial \Lambda$ функция $f(x)=$ $=C(x, y)$ положителын, ее минимум не может быть ни отрицательным, ни нулевым, т.е. $f(x)>0$. Это рассуждение доказывает верхнюю оценку в (b).

Нижняя оценка для $y \in \partial \Lambda$ очевидна, так как в этом случае $C_{D}(x, y)=0$. Пусть $y \in \operatorname{Int} \Lambda$, а $\Lambda_{\varepsilon}$ обозначает множество $\Lambda$ без $\varepsilon$-окрестности точки $y$. В силу утверждения (с), при достаточно малом $\varepsilon>0$ для $x \in \partial \Lambda_{\varepsilon}$ верно неравенетво $C_{D}(x, y) \geqslant 0$. Но в области $\Lambda_{\varepsilon}$ мы имеем $\left(-\Delta+m^{2}\right) C_{D}=0$. Поскольку ковариация $C_{D}$ не имеет особенностей в $\Lambda_{\varepsilon}$, снова можио применить принцип максимума. Поэтому ковариация $C_{D}$ не может иметь внутри $\Lambda$ отрицательного минимума и, следовательно, $C_{D} \geqslant 0$.