Bсе результаты в этом параграфе связаны с монотонной сходимостью. В случае, когда $P=$ четный полином + линейный член, монотонность функций Швингера вытекает из корреляционных неравенств. В § 11.3 доказывается равномерная оценка сверху. При этом используются оценки для мер в конечном объеме, полученные в гл. 8, и оценки по методу многократных отражений, доказанные в гл. 10.

Пусть $d \mu_{\Lambda}$ есть $P(\varphi)_{2}$-мера в конечном об́ъеме с граничными условиями Дирихле на $\partial \Lambda$ :
\[
d \mu_{\mathrm{A}}=Z^{-1} e^{-V(\Lambda)} d \varphi_{\partial \Lambda} .
\]
3десь $C_{\partial_{\Lambda}}=\left(-\Delta_{\partial \Lambda}+m^{2}\right)^{-1}$, а $\Delta_{\partial \Lambda}$ – оператор Лапласа в $R^{2}$ с граничными условиями Дирихле на $д \Lambda$. Далее,
\[
V(\Lambda)=\int_{\Lambda}: P(\varphi(x)): c_{\phi} d x,
\]

где $P(\xi)$-ограниченный снизу полином, а упорядочение Вика пронзводится по отношению к свободному ковариационному оператору $C_{\varnothing}=\left(-\Delta+m^{2}\right)^{-1}$. Нормирующий множитель определяется соотношением
\[
Z=Z(\Lambda)=\int e^{-V(\Lambda)} d \varphi_{c_{\partial \Lambda}} .
\]

Наконец, положим
\[
S_{\Lambda}\{f\}=\int e^{i \varphi(f)} d \mu_{\Lambda} .
\]

Теорема 11.2.1 (существование). Пусть $P=$ четный полином + + линейный член и $f \in C_{0}^{\infty}$. Тогда существует предел
\[
S\{f\}=\lim _{\Lambda \uparrow R^{2}} S_{\Lambda}\{f\}
\]

и предельный функционал $S\{f\}$ удовлетворяет евклидовым аксиомам OS 0 иS $2-3$ из $\$ 6.1$.
Доказательство. Предположим, что предел (11.2.5) существует. Мера $d \mu_{\Lambda}$ обладает свойством положительности при отражсниях OS 3 , если отражение $\theta$ таково, что $\theta \Lambda=\Lambda$ (теорема 10.4.2). Так как свойство положительности сохраняется при переходе к пределу, то предельный функционал $S\{f\}$ тоже удовлетворяет аксиоме OS 3 .

Евклидова инвариантность также следует из существования предела (11.2.5). Пусть $E$ – произвольное евклидово преобразование. По предположению $S_{\Lambda}\{f\}$ и $S_{E \Lambda}\{f\}$ оба имеют предел при $\Lambda \uparrow R^{2}$ и эти пределы совпадают. Так как $S_{E \Lambda}\{f\}=S_{\Lambda}\{E f\}$, то и $S\{f\}=S\{E f\}$.

Итак, доказательство положительности при отражениях и евклидовой инвариантности сводится к доказательству существования предела (11.2.5). Основная оценка сверху дается теоремой 11.3.1 ниже. В предположении, что эта оценка установлена, докажем (11.2.5).

Не теряя общности, можно считать, что коэффициент в линейном члене у $P$ отрицателен. В противном случае заменим $\varphi$ на $-\varphi$. Выберем теперь $g \in C_{0}^{\infty}$, $g \geqslant 0$. По теореме 10.2.2 функционал $S_{\Lambda}\{-i g\}$ положителен и монотонно возрастает при увеличении $\Lambda$. Кроме того, имеется равномерная оценка теоре мы 11.3.1, поэтому предел $S\{-i g\}$ существует.

Рассмотрим теперь множество $\left\{g_{k}\right\}, j=1,2, \ldots, n$, состоящее из $n$ неотрицательных функций класса $C_{0}^{\infty}$, и $n$ комплексных чисел $z_{j}$. Положим $z g \equiv$ $\equiv z_{1} g_{1}+\ldots+z_{n} g_{n}$. Характеристический функционал в конечном объеме $S_{\Lambda}\{z g\}$ является целой функцией на $C^{n}$. По теореме 11.3 .1 она удовлетворяет оценке, равномерной по $\Lambda$ (но не по $n$ ):
\[
\left|S_{\Lambda}\{z g\}\right| \leqslant \prod_{i=1}^{n} \exp \left\{c\left(|K|+\left\|n z_{i} g_{i}\right\|_{L_{p}}^{p}\right)\right\} .
\]

Следовательно, по теореме Витали, при $\Lambda \uparrow R^{2}$
\[
S_{\Lambda}\{z g\} \rightarrow S\{z g\}
\]

причем сходимость равномерна па любом компактном множестве точек $z$, и предельный функцнонал является целой функцией. В частности, при $g \geqslant 0$ сходятся также функции Швингера:
\[
\int \varphi\left(g_{1}\right) \ldots \varphi\left(g_{n}\right) d \mu_{\Lambda} \rightarrow \int \varphi\left(g_{1}\right) \ldots \varphi\left(g_{n}\right) d \mu .
\]

Оценка (11.2.6) и сходимость (11.2.7) продолжаются по непрерывности на случай функций $g_{i} \in L_{1} \cap L_{p}$ с компактным носителем. Пусть теперь $f_{j} \in C_{0}^{\infty}$. Положим
\[
f_{j \pm}(x)=\left\{\begin{array}{cc}
\pm f_{j}(x) & \text { при } \pm f_{j}(x) \geqslant 0, \\
0 & \text { в остальных случаях, }
\end{array}\right.
\]

так что $f_{j}=f_{j+}-f_{j-}$ и $f_{j \pm} \geqslant 0$. Функции $f_{j \pm}$, вообще говоря, не содержатся в $C_{0}^{\infty}$, но принаділежат классу $L_{1} \cap L_{p}$. Поэтому сходимость (11.2.8) имеет место, если $g_{j}$ заменить на $f_{j \pm}$. После конечного суммирования получаем
\[
\int \varphi\left(f_{1}\right) \ldots \varphi\left(f_{n}\right) d \mu_{\Lambda} \rightarrow \int \varphi\left(f_{1}\right) \ldots \varphi\left(f_{n}\right) d \mu .
\]

Отсюда следует, что при $f_{i} \in C_{0}^{\infty}, z_{i} \in C$
\[
S_{\Lambda}\left\{\sum_{i=1}^{n} z_{i} f_{i}\right\} \rightarrow S\left\{\sum_{i=1}^{n} z_{i} f_{i}\right\},
\]

и предел (11.2.10) является целой фуккцией от $\left(z_{1}, \ldots, z_{n}\right) \in C^{n}$. Следовательно, $S\{f\}$ – целая функция на $C_{0}^{\infty}$. Таким образом, теорема доказана в предположении, что верна теорема 11.3.1.