Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Основной результат этого параграфа – лоренц-ковариантность поля $\varphi_{м}$ и лоренц-инвариантность вектора $\Omega$. Кроме того, мы докажем аналитичность функций Швингера для несовпадающих значений переменных. Предложение 19.5.2. Пусть мера $d \mu$ удовлетворяет аксиомам OS $0-3$, а $g \rightarrow V(g)$-сильно непрерывное унитарное представление некоторой группы $\mathscr{G}$ в пространстве $\mathscr{E}$, такое, что Тогда операторы $U(g)$, определенные равенством задают непрерывное унитарное представление $\mathscr{G}$ в пространстве $\mathscr{H}$, такое, что Доказательство. Как и в доказательстве теоремы 6.1 .3 , оператор $V(g)$ отображает $\mathscr{E}_{+}$и $\mathscr{P}$ в себя, следовательно, $U(g)$ определен на множестве $\mathscr{E}_{+}$. Более того, $U(g)$ унитарен, так как $V(g)$ коммутирует с $\theta$. В самом деле, поэтому $U(g)^{*}=U(g)^{-1}=U\left(g^{-1}\right)$. Это означает, что отображение $U(g)$ продолжается до представления $\mathscr{G}$ на всем $\mathscr{H}$. Поскольку $V(g)$ коммутирует с $T(t)$, то $U(g)$ коммутирует с $e^{-t H}$ и, значит, с $e^{i t h}$. Сильная непрерывность семейства операторов $U(g)$ следует из сильной непрерывности семейства $V(g)$, а равенство $U(g) \Omega=\Omega$ вытекает из $V(g) 1=1$. которые представляют собой плотности функций Вайтмана (19.3.6). Для сокращения записи мы используем обозначения $\underline{h}=\left\{h_{1}, \ldots, h_{n}\right\}, t=\left\{t_{1}, \ldots, t_{n}\right\}$. Доказательство. Оценка теоремы 19.3.1 показывает, что функция $W^{n}(h, z)$ аналитична при $s_{i+1}-s_{i}>0, j=1,2, \ldots, n-1$. Оценка из следствия 19.2 .2 показывает, что в пространстве $\mathscr{D}^{\prime}\left(R^{n}\right)$ при $s_{j+1}-s_{j} \downarrow 0$ имеет место сходимость $W_{n}(h, z) \rightarrow W^{n}(h, t)$. Если $t_{j}=0$, а $s_{i+1}-s_{j}>0$, то определение $W_{n}(h, z)$ согласуется с определением функций Швингера (из § 19.3). Заметим также, что аналитичность функций Швингера по переменным $s_{j+1}-s_{i}$ может быть выведена из следствия 10.5 .6 . Доказательство теоремы 19.5.1. Қовариантность квантового поля относительно действия сдвигов в пространстве-времени и пространственных вращений вытекает из предложения 19.5.2, а также ковариантности случайного поля $\varphi$ (по определению). Для завершения доказательства изучим действие лоренцевых преобразований на функции Вайтмана. В плоскости $\left(t, \mathrm{x}_{1}\right) \equiv(t, x)$ рассмотрим чистое лоренцево вращение $\Lambda_{\alpha}$ (гиперболический поворот на угол $\alpha$ ). Инфинитезимальный оператор соответствующих преобразований функций Вайтмана имеет вид Покажем, что $W_{n}\left(L_{n} F\right)=0$ для всех функций $F \in \mathscr{S}\left(R^{n d}\right)$. В частности, Свойство евклидовой инвариантности функций Швингера $S_{n}$ в инфинитезимальной форме утверждает, что Продолжим аналитически равенство (19.5.7) в область комплексных значений $s_{i}=\varepsilon_{i}-i t_{j}$, где $\varepsilon_{i+1}-\varepsilon_{i}>0$, т. е. в область аналитичности функций $S_{n}$. Для комплексных $s$ соотношение (19.5.7) можно переписать в виде Перейдем теперь к пределу при $\varepsilon_{j+1}-\varepsilon_{j} \rightarrow 0$ в основной функции $F$ и получим, что $L_{n} W^{n}=0$. Это означает, что для любой основной функции $W_{n}\left(L_{n}, F\right)=0$. Теорема 19.5.5. Предположим, что аксиомы OS $0-3$ выполнены $и$ $\delta>0$. Тогда на $\mathscr{H}_{\delta} \times \mathscr{H}_{\delta}$ существует такая билинейная форма $\varphi_{M}(x)$, чTO есть ограниченный оператор, аналитически зависящий от х в области $|\operatorname{Im} x|<\delta$, такой, что Доказательство. Так как операторы $\mathbf{P}$ и $H$ коммутируют, то из следствия 19.5.4: можно вывести, что ряд сходится по норме в области $|t|+|\mathbf{x}|<\delta$. Из этого факта и оценки (19.3.3) вытекает, что при $|t|+|\mathbf{x}|<\delta$ функция вещественно аналитична по $x$, причем для $\varepsilon<\delta$ и произвольных вещественных: $x$ и $t$ справедливо неравенство Далее, как и в оценке (19.1.7), $F(0)$ – это интеграл от ограниченной $C^{\infty}$-функции: $F(0)=\int G(x) f(x) d x$, где функция $G(x)=e^{-\delta H_{\varphi_{M}}}(x) e^{-\delta H}$ определяет $\varphi_{M}(x)$. Повторяя рассуждения, приводящие к неравенству (19.5.11), получаем, что где Поскольку $K(\varepsilon, \delta$ ) не зависит от $x$ (для вещественных $x$ ), утверждение об аналитичности следует из оценки (19.5.12). Доказательство. Выполним евклидово вращение, так чтобы $\mathbf{x}-\mathbf{y}$ стала новой осью времени. По построению множество $B$ не содержит точек во временно́м интервале между $\mathbf{x}$ и у. Далее рассуждаем так же, как в доказательстве теоремы 19.5.5. Заметим, что, как следует из доказанного предложения, правая и левая полуплоскости $\operatorname{Re} \xi>0$ и $\operatorname{Re} \xi<0$ комплексной плоскости $\xi=x_{0}-y_{0}$, на которых функции Швингера аналитичны, соединяются по разрезу $|\operatorname{Im} \xi|<|x-y|$ на мнимой оси.
|
1 |
Оглавление
|