Основной результат этого параграфа — лоренц-ковариантность поля ${\phi }_{м}$ и лоренц-инвариантность вектора $\mathrm{\Omega }$. Кроме того, мы докажем аналитичность функций Швингера для несовпадающих значений переменных.
Теорема 19.5.1. Пусть мера $d\mu$ удовлетворяет аксиомам OS 0-3. Тогда существует сильно непрерывное унитарное представление $U(g)$ неоднородной группы Лоренца $\mathcal{L}$ на пространстве $\mathcal{G}$, такое, что для любого элемента $g\in \mathcal{L}$ справедливы соотношения
$$\begin{array}{c}U(g)\mathrm{\Omega }=\mathrm{\Omega },\\ U(g){\phi }_M(f)U(g{)}^{-1}={\phi }_M\left(g^{-1}f\right).\end{array}$$
$B$ терминах поля ${\phi }_M(x)$ последнее условие принимает вид
$$U(g){\phi }_M(x)U(g{)}^{-1}={\phi }_M(gx).$$

Предложение 19.5.2. Пусть мера $d\mu$ удовлетворяет аксиомам OS $0-3$, а $g\to V(g)$-сильно непрерывное унитарное представление некоторой группы $\mathcal{G}$ в пространстве $\mathcal{E}$, такое, что
$$\begin{array}{c}V(g)1=1,V(g){\mathcal{E}}_{+}\subset {\mathcal{E}}_{+},\\ \theta V(g)=V(g)\theta ,T(t)V(g)=V(g)T(t).\end{array}$$

Тогда операторы $U(g)$, определенные равенством
$$U(g)\hat{A}=(V(g)A{)}^{\wedge },g\in \mathcal{G},$$

задают непрерывное унитарное представление $\mathcal{G}$ в пространстве $\mathcal{H}$, такое, что
$$U(g)\mathrm{\Omega }=\mathrm{\Omega },e^{itH}U(g)=U(g)e^{itH}.$$

Доказательство. Как и в доказательстве теоремы 6.1 .3 , оператор $V(g)$ отображает ${\mathcal{E}}_{+}$и $\mathcal{P}$ в себя, следовательно, $U(g)$ определен на множестве ${\mathcal{E}}_{+}$. Более того, $U(g)$ унитарен, так как $V(g)$ коммутирует с $\theta$. В самом деле,
$$\begin{array}{rl}⟨U(g)\hat{A},\hat{B}{⟩}_{\mathcal{H}}& =⟨\theta V(g)A,B{⟩}_{\mathcal{E}}=⟨V(g)\theta A,B{⟩}_{\mathcal{G}}={⟨A,V(g{)}^{-1}B⟩}_{\mathcal{E}}=\\ & ={⟨\hat{A},{\left(V\left(g^{-1}\right)\right)}^{\wedge }B⟩}_{\mathcal{H}}={⟨\hat{A},U\left(g^{-1}\right)\hat{B}⟩}_{\mathcal{H}},\end{array}$$

поэтому $U(g{)}^{\ast }=U(g{)}^{-1}=U\left(g^{-1}\right)$. Это означает, что отображение $U(g)$ продолжается до представления $\mathcal{G}$ на всем $\mathcal{H}$. Поскольку $V(g)$ коммутирует с $T(t)$, то $U(g)$ коммутирует с $e^{-tH}$ и, значит, с $e^{ith}$. Сильная непрерывность семейства операторов $U(g)$ следует из сильной непрерывности семейства $V(g)$, а равенство $U(g)\mathrm{\Omega }=\mathrm{\Omega }$ вытекает из $V(g)1=1$.
Теперь перейдем к рассмотрению обобщенных функций
$$\begin{array}{c}{W}_n(x_1,\dots ,x_n)=⟨\mathrm{\Omega },{\phi }_M\left(x_1\right)\dots {\phi }_M\left(x_n\right)\mathrm{\Omega }⟩,\\ W_n(\underset{―}{h},\underset{―}{t})=⟨\mathrm{\Omega },{\phi }_M(h_1,t_1)\dots {\phi }_M(h_n,t_n)\mathrm{\Omega }⟩,\end{array}$$

которые представляют собой плотности функций Вайтмана (19.3.6). Для сокращения записи мы используем обозначения $\underset{―}{h}=\{h_1,\dots ,h_n\},t=\{t_1,\dots ,t_n\}$.
Предложение 19.5.3. Функция $W_n(h,t)$ совпадает с граничными значениями в пространстве ${\mathcal{P}}^{\prime }\left(R^n\right)$ некоторой аналитической функции $W_n(h,z)$. Здесь $z_j=t_j+i{s}_j$, а функция $W_n(h,z)$ аналитична в области $s_{j+1}-s_j>0,j=1,2,\dots ,n-1$. Более того, для $t_j=0u{s}_1<s_2<\dots <s_n$
$$W_n(\underset{―}{h},\underset{―}{is})=S_n(\underset{―}{h},\underset{―}{s})=\int \phi (h_1,s_1)\dots \phi (h_n,s_n)d\mu .$$

Доказательство. Оценка теоремы 19.3.1 показывает, что функция $W^n(h,z)$ аналитична при $s_{i+1}-s_i>0,j=1,2,\dots ,n-1$. Оценка из следствия 19.2 .2 показывает, что в пространстве ${\mathcal{D}}^{\prime }\left(R^n\right)$ при $s_{j+1}-s_j\downarrow 0$ имеет место сходимость $W_n(h,z)\to W^n(h,t)$. Если $t_j=0$, а $s_{i+1}-s_j>0$, то определение $W_n(h,z)$ согласуется с определением функций Швингера (из § 19.3). Заметим также, что аналитичность функций Швингера по переменным $s_{j+1}-s_i$ может быть выведена из следствия 10.5 .6 .

Доказательство теоремы 19.5.1. Қовариантность квантового поля относительно действия сдвигов в пространстве-времени и пространственных вращений вытекает из предложения 19.5.2, а также ковариантности случайного поля $\phi$ (по определению). Для завершения доказательства изучим действие лоренцевых преобразований на функции Вайтмана. В плоскости $(t,{\mathrm{x}}_1)\equiv (t,x)$ рассмотрим чистое лоренцево вращение ${\mathrm{\Lambda }}_{\alpha }$ (гиперболический поворот на угол $\alpha$ ). Инфинитезимальный оператор соответствующих преобразований функций Вайтмана имеет вид
$$L_n=\sum _{j=1}^n(t_j\frac{\partial }{\partial x_j}+x_j\frac{\partial }{\partial t_j}).$$

Покажем, что $W_n\left(L_{n}F\right)=0$ для всех функций $F\in \mathcal{S}\left(R^{nd}\right)$. В частности,
$$\frac{d}{d\alpha }{W}_n\left({\mathrm{\Lambda }}_{\alpha }F\right)=W_n\left(L_n{\mathrm{\Lambda }}_{\alpha }F\right)=0,$$
т. е. каждая функция $W_n$ лоренц-инвариантна. Отсюда следует, что существует также унитарная группа $U\left({\mathrm{\Lambda }}_{\alpha }\right)$, которая задает представление группы Лоренца ${\mathrm{\Lambda }}_{\alpha }$ в пространстве $\mathcal{C}$. Закон умножения операторов $U\left({\mathrm{\Lambda }}_{\alpha }\right)$ следует из соответствующего правила для преобразований ${\mathrm{\Lambda }}_{\alpha }$.

Свойство евклидовой инвариантности функций Швингера $S_n$ в инфинитезимальной форме утверждает, что
$$0=\sum _{j=1}^n(s_j\frac{\partial }{\partial x_j}-x_j\frac{\partial }{\partial s_j})S_n\underset{―}{\underset{―}{\mathbf{x}},\underset{―}{s}).}$$

Продолжим аналитически равенство (19.5.7) в область комплексных значений $s_i={\epsilon }_i-i{t}_j$, где ${\epsilon }_{i+1}-{\epsilon }_i>0$, т. е. в область аналитичности функций $S_n$. Для комплексных $s$ соотношение (19.5.7) можно переписать в виде
$$0=\sum _{j=1}^n({\epsilon }_j-i{t}_j)[\frac{\partial }{\partial x_j}-x_j\frac{\partial }{\partial (-i{t}_j)}]S_n(\underset{―}{\mathbf{x}},\underset{―}{\epsilon }-i\underset{―}{t}).$$

Перейдем теперь к пределу при ${\epsilon }_{j+1}-{\epsilon }_j\to 0$ в основной функции $F$ и получим, что $L_n{W}^n=0$. Это означает, что для любой основной функции $W_n(L_n,F)=0$.
Следствие 19.5.4. Спектр энергии-импульса лежит в переднем световом конусе $|\mathbf{P}|⩽H$. Здесь $\mathbf{P}$-оператор импульса, т. е. генератор группы пространственных сдвигов, действующей в $\mathcal{H}$.

Теорема 19.5.5. Предположим, что аксиомы OS $0-3$ выполнены $и$ $\delta >0$. Тогда на ${\mathcal{H}}_{\delta }\times {\mathcal{H}}_{\delta }$ существует такая билинейная форма ${\phi }_M(x)$, чTO
$$e^{-\delta H}{\phi }_M(x)e^{-\delta H}$$

есть ограниченный оператор, аналитически зависящий от х в области $|\mathrm{Im}x|<\delta$, такой, что
$${\phi }_M(f)=\int {\phi }_M(x)f(x)dx.$$

Доказательство. Так как операторы $\mathbf{P}$ и $H$ коммутируют, то из следствия 19.5.4: можно вывести, что ряд
$$e^{itH-i\mathbf{x}\cdot \mathbf{P}-\delta H}=\sum _{n,m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(itH{)}^n}{n!}\frac{(-i\mathbf{x}\cdot \mathbf{P}{)}^m}{m!}{e}^{-\delta H}$$

сходится по норме в области $|t|+|\mathbf{x}|<\delta$. Из этого факта и оценки (19.3.3) вытекает, что при $|t|+|\mathbf{x}|<\delta$ функция
$$e^{-\delta H}{\phi }_M\left(f_{t,\mathbf{x}}\right)e^{-\delta H}=F(x)$$

вещественно аналитична по $x$, причем для $\epsilon <\delta$ и произвольных вещественных: $x$ и $t$ справедливо неравенство
$${\partial }_x^{n}F(x)\Vert ⩽K(\epsilon ){\epsilon }^{-|n|}n!\int \Vert f^{(t)}\Vert dt.$$

Далее, как и в оценке (19.1.7), $F(0)$ — это интеграл от ограниченной $C^{\mathrm{\infty }}$-функции: $F(0)=\int G(x)f(x)dx$, где функция $G(x)=e^{-\delta H_{{\phi }_M}}(x)e^{-\delta H}$ определяет ${\phi }_M(x)$. Повторяя рассуждения, приводящие к неравенству (19.5.11), получаем, что
$$\Vert {\partial }_x^n{e}^{-\delta H_{{\phi }_M}}{e}^{-\delta H}\Vert ⩽K(\epsilon ,\delta ){\epsilon }^{-|n|}n1,$$

где
$$K(\epsilon ,\delta )=\Vert e^{-(\delta -\epsilon )H_{{\phi }_M}}(x)e^{-(\delta -\epsilon )H}\Vert .$$

Поскольку $K(\epsilon ,\delta$ ) не зависит от $x$ (для вещественных $x$ ), утверждение об аналитичности следует из оценки (19.5.12).
Следствие 19.5.6. Функции Швингера $S_n(x_1,\dots ,x_n)$ вещественно аналитичны по $x_1,\dots ,x_n$ при несовпадающих значениях аргументов (т. е. при $x_{i}eq{x}_j$ для всех $ieqj$ ).
Доказательство. Так как функции $S_n$ инвариантны при перестановке переменных $x_1,\dots x_n$, можно считать, что $t_1⩽t_2⩽\dots ⩽t_n$. Если некоторые моменты времени совпадают, а соответствующие точки различны, то с помощью малого ев-клидова вращения можно достичь того, что и все моменты времени станут различными. Тогда утверждение вытекает из аналитичности оператора (19.5.9).
Предложение 19.5.7. Пусть заданы такие точки х и $y$, что $\mathbf{x}-\mathbf{y}eq$ $eq0$. Обозначим $B$ подмножество пространства $R^d$, состоящее из таких точек ( $z_0,\mathbf{z})$, что при проектировании $\mathbf{z}$ на прямую $\mathbf{x}-\mathbf{y}$ проекция лежит вне интервала ( $\mathbf{x},\mathbf{y}$ ). Пусть $f_1,\dots ,f_n\in \mathcal{S}$ — функции с носителями в множестве $B$. Тогда функция $S_{n+2}(f_1,\dots ,f_n$, $x,y$ ) аналитична по переменной $x-y$ для вещественных значений $\mathbf{x}$ — $\mathbf{1}$ пи условии, что $|x_0-y_0|<|\mathbf{x}-\mathbf{y}|$.

Доказательство. Выполним евклидово вращение, так чтобы $\mathbf{x}-\mathbf{y}$ стала новой осью времени. По построению множество $B$ не содержит точек во временно́м интервале между $\mathbf{x}$ и у. Далее рассуждаем так же, как в доказательстве теоремы 19.5.5.

Заметим, что, как следует из доказанного предложения, правая и левая полуплоскости $\mathrm{Re}\xi >0$ и $\mathrm{Re}\xi <0$ комплексной плоскости $\xi =x_0-y_0$, на которых функции Швингера аналитичны, соединяются по разрезу $|\mathrm{Im}\xi |<|x-y|$ на мнимой оси.