Основной результат этого параграфа — лоренц-ковариантность поля $\varphi_{м}$ и лоренц-инвариантность вектора $\Omega$. Кроме того, мы докажем аналитичность функций Швингера для несовпадающих значений переменных.
Теорема 19.5.1. Пусть мера $d \mu$ удовлетворяет аксиомам OS 0-3. Тогда существует сильно непрерывное унитарное представление $U(g)$ неоднородной группы Лоренца $\mathscr{L}$ на пространстве $\mathscr{G}$, такое, что для любого элемента $g \in \mathscr{L}$ справедливы соотношения
\[
\begin{array}{c}
U(g) \Omega=\Omega, \\
U(g) \varphi_{M}(f) U(g)^{-1}=\varphi_{M}\left(g^{-1} f\right) .
\end{array}
\]
$B$ терминах поля $\varphi_{M}(x)$ последнее условие принимает вид
\[
U(g) \varphi_{M}(x) U(g)^{-1}=\varphi_{M}(g x) .
\]

Предложение 19.5.2. Пусть мера $d \mu$ удовлетворяет аксиомам OS $0-3$, а $g \rightarrow V(g)$-сильно непрерывное унитарное представление некоторой группы $\mathscr{G}$ в пространстве $\mathscr{E}$, такое, что
\[
\begin{array}{c}
V(g) 1=1, \quad V(g) \mathscr{E}_{+} \subset \mathscr{E}_{+}, \\
\theta V(g)=V(g) \theta, \quad T(t) V(g)=V(g) T(t) .
\end{array}
\]

Тогда операторы $U(g)$, определенные равенством
\[
U(g) \hat{A}=(V(g) A)^{\wedge}, g \in \mathscr{G},
\]

задают непрерывное унитарное представление $\mathscr{G}$ в пространстве $\mathscr{H}$, такое, что
\[
U(g) \Omega=\Omega, \quad e^{i t H} U(g)=U(g) e^{i t H} .
\]

Доказательство. Как и в доказательстве теоремы 6.1 .3 , оператор $V(g)$ отображает $\mathscr{E}_{+}$и $\mathscr{P}$ в себя, следовательно, $U(g)$ определен на множестве $\mathscr{E}_{+}$. Более того, $U(g)$ унитарен, так как $V(g)$ коммутирует с $\theta$. В самом деле,
\[
\begin{aligned}
\langle U(g) \widehat{A}, \widehat{B}\rangle_{\mathscr{H}} & =\langle\theta V(g) A, B\rangle_{\mathscr{E}}=\langle V(g) \theta A, B\rangle_{\mathscr{G}}=\left\langle A, V(g)^{-1} B\right\rangle_{\mathscr{E}}= \\
& =\left\langle\widehat{A},\left(V\left(g^{-1}\right)\right)^{\wedge} B\right\rangle_{\mathscr{H}}=\left\langle\widehat{A}, U\left(g^{-1}\right) \widehat{B}\right\rangle_{\mathscr{H}},
\end{aligned}
\]

поэтому $U(g)^{*}=U(g)^{-1}=U\left(g^{-1}\right)$. Это означает, что отображение $U(g)$ продолжается до представления $\mathscr{G}$ на всем $\mathscr{H}$. Поскольку $V(g)$ коммутирует с $T(t)$, то $U(g)$ коммутирует с $e^{-t H}$ и, значит, с $e^{i t h}$. Сильная непрерывность семейства операторов $U(g)$ следует из сильной непрерывности семейства $V(g)$, а равенство $U(g) \Omega=\Omega$ вытекает из $V(g) 1=1$.
Теперь перейдем к рассмотрению обобщенных функций
\[
\begin{array}{c}
W_{n}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=\left\langle\Omega, \varphi_{M}\left(x_{1}\right) \ldots \varphi_{M}\left(x_{n}\right) \Omega\right\rangle, \\
W_{n}(\underline{h}, \underline{t})=\left\langle\Omega, \varphi_{M}\left(h_{1}, t_{1}\right) \ldots \varphi_{M}\left(h_{n}, t_{n}\right) \Omega\right\rangle,
\end{array}
\]

которые представляют собой плотности функций Вайтмана (19.3.6). Для сокращения записи мы используем обозначения $\underline{h}=\left\{h_{1}, \ldots, h_{n}\right\}, t=\left\{t_{1}, \ldots, t_{n}\right\}$.
Предложение 19.5.3. Функция $W_{n}(h, t)$ совпадает с граничными значениями в пространстве $\mathscr{P}^{\prime}\left(R^{n}\right)$ некоторой аналитической функции $W_{n}(h, z)$. Здесь $z_{j}=t_{j}+i s_{j}$, а функция $W_{n}(h, z)$ аналитична в области $s_{j+1}-s_{j}>0, j=1,2, \ldots, n-1$. Более того, для $t_{j}=0 u s_{1}<s_{2}<\ldots<s_{n}$
\[
W_{n}(\underline{h}, \underline{i s})=S_{n}(\underline{h}, \underline{s})=\int \varphi\left(h_{1}, s_{1}\right) \ldots \varphi\left(h_{n}, s_{n}\right) d \mu .
\]

Доказательство. Оценка теоремы 19.3.1 показывает, что функция $W^{n}(h, z)$ аналитична при $s_{i+1}-s_{i}>0, j=1,2, \ldots, n-1$. Оценка из следствия 19.2 .2 показывает, что в пространстве $\mathscr{D}^{\prime}\left(R^{n}\right)$ при $s_{j+1}-s_{j} \downarrow 0$ имеет место сходимость $W_{n}(h, z) \rightarrow W^{n}(h, t)$. Если $t_{j}=0$, а $s_{i+1}-s_{j}>0$, то определение $W_{n}(h, z)$ согласуется с определением функций Швингера (из § 19.3). Заметим также, что аналитичность функций Швингера по переменным $s_{j+1}-s_{i}$ может быть выведена из следствия 10.5 .6 .

Доказательство теоремы 19.5.1. Қовариантность квантового поля относительно действия сдвигов в пространстве-времени и пространственных вращений вытекает из предложения 19.5.2, а также ковариантности случайного поля $\varphi$ (по определению). Для завершения доказательства изучим действие лоренцевых преобразований на функции Вайтмана. В плоскости $\left(t, \mathrm{x}_{1}\right) \equiv(t, x)$ рассмотрим чистое лоренцево вращение $\Lambda_{\alpha}$ (гиперболический поворот на угол $\alpha$ ). Инфинитезимальный оператор соответствующих преобразований функций Вайтмана имеет вид
\[
L_{n}=\sum_{j=1}^{n}\left(t_{j} \frac{\partial}{\partial x_{j}}+x_{j} \frac{\partial}{\partial t_{j}}\right) .
\]

Покажем, что $W_{n}\left(L_{n} F\right)=0$ для всех функций $F \in \mathscr{S}\left(R^{n d}\right)$. В частности,
\[
\frac{d}{d \alpha} W_{n}\left(\Lambda_{\alpha} F\right)=W_{n}\left(L_{n} \Lambda_{\alpha} F\right)=0,
\]
т. е. каждая функция $W_{n}$ лоренц-инвариантна. Отсюда следует, что существует также унитарная группа $U\left(\Lambda_{\alpha}\right)$, которая задает представление группы Лоренца $\Lambda_{\alpha}$ в пространстве $\mathscr{C}$. Закон умножения операторов $U\left(\Lambda_{\alpha}\right)$ следует из соответствующего правила для преобразований $\Lambda_{\alpha}$.

Свойство евклидовой инвариантности функций Швингера $S_{n}$ в инфинитезимальной форме утверждает, что
\[
0=\sum_{j=1}^{n}\left(s_{j} \frac{\partial}{\partial x_{j}}-x_{j} \frac{\partial}{\partial s_{j}}\right) S_{n} \underline{\underline{\mathbf{x}}, \underline{s}) .}
\]

Продолжим аналитически равенство (19.5.7) в область комплексных значений $s_{i}=\varepsilon_{i}-i t_{j}$, где $\varepsilon_{i+1}-\varepsilon_{i}>0$, т. е. в область аналитичности функций $S_{n}$. Для комплексных $s$ соотношение (19.5.7) можно переписать в виде
\[
0=\sum_{j=1}^{n}\left(\varepsilon_{j}-i t_{j}\right)\left[\frac{\partial}{\partial x_{j}}-x_{j} \frac{\partial}{\partial\left(-i t_{j}\right)}\right] S_{n}(\underline{\mathbf{x}}, \underline{\varepsilon}-i \underline{t}) .
\]

Перейдем теперь к пределу при $\varepsilon_{j+1}-\varepsilon_{j} \rightarrow 0$ в основной функции $F$ и получим, что $L_{n} W^{n}=0$. Это означает, что для любой основной функции $W_{n}\left(L_{n}, F\right)=0$.
Следствие 19.5.4. Спектр энергии-импульса лежит в переднем световом конусе $|\mathbf{P}| \leqslant H$. Здесь $\mathbf{P}$-оператор импульса, т. е. генератор группы пространственных сдвигов, действующей в $\mathscr{H}$.

Теорема 19.5.5. Предположим, что аксиомы OS $0-3$ выполнены $и$ $\delta>0$. Тогда на $\mathscr{H}_{\delta} \times \mathscr{H}_{\delta}$ существует такая билинейная форма $\varphi_{M}(x)$, чTO
\[
e^{-\delta H} \varphi_{M}(x) e^{-\delta H}
\]

есть ограниченный оператор, аналитически зависящий от х в области $|\operatorname{Im} x|<\delta$, такой, что
\[
\varphi_{M}(f)=\int \varphi_{M}(x) f(x) d x .
\]

Доказательство. Так как операторы $\mathbf{P}$ и $H$ коммутируют, то из следствия 19.5.4: можно вывести, что ряд
\[
e^{i t H-i \mathbf{x} \cdot \mathbf{P}-\delta H}=\sum_{n, m=0}^{\infty} \frac{(i t H)^{n}}{n !} \frac{(-i \mathbf{x} \cdot \mathbf{P})^{m}}{m !} e^{-\delta H}
\]

сходится по норме в области $|t|+|\mathbf{x}|<\delta$. Из этого факта и оценки (19.3.3) вытекает, что при $|t|+|\mathbf{x}|<\delta$ функция
\[
e^{-\delta H} \varphi_{M}\left(f_{t, \mathbf{x}}\right) e^{-\delta H}=F(x)
\]

вещественно аналитична по $x$, причем для $\varepsilon<\delta$ и произвольных вещественных: $x$ и $t$ справедливо неравенство
\[
\partial_{x}^{n} F(x)\left\|\leqslant K(\varepsilon) \varepsilon^{-|n|} n ! \int\right\| f^{(t)} \| d t .
\]

Далее, как и в оценке (19.1.7), $F(0)$ — это интеграл от ограниченной $C^{\infty}$-функции: $F(0)=\int G(x) f(x) d x$, где функция $G(x)=e^{-\delta H_{\varphi_{M}}}(x) e^{-\delta H}$ определяет $\varphi_{M}(x)$. Повторяя рассуждения, приводящие к неравенству (19.5.11), получаем, что
\[
\left\|\partial_{x}^{n} e^{-\delta H_{\varphi_{M}}} e^{-\delta H}\right\| \leqslant K(\varepsilon, \delta) \varepsilon^{-|n|} n 1,
\]

где
\[
K(\varepsilon, \delta)=\left\|e^{-(\delta-\varepsilon) H_{\varphi_{M}}}(x) e^{-(\delta-\varepsilon) H}\right\| .
\]

Поскольку $K(\varepsilon, \delta$ ) не зависит от $x$ (для вещественных $x$ ), утверждение об аналитичности следует из оценки (19.5.12).
Следствие 19.5.6. Функции Швингера $S_{n}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$ вещественно аналитичны по $x_{1}, \ldots, x_{n}$ при несовпадающих значениях аргументов (т. е. при $x_{i}
eq x_{j}$ для всех $i
eq j$ ).
Доказательство. Так как функции $S_{n}$ инвариантны при перестановке переменных $x_{1}, \ldots x_{n}$, можно считать, что $t_{1} \leqslant t_{2} \leqslant \ldots \leqslant t_{n}$. Если некоторые моменты времени совпадают, а соответствующие точки различны, то с помощью малого ев-клидова вращения можно достичь того, что и все моменты времени станут различными. Тогда утверждение вытекает из аналитичности оператора (19.5.9).
Предложение 19.5.7. Пусть заданы такие точки х и $y$, что $\mathbf{x}-\mathbf{y}
eq$ $
eq 0$. Обозначим $B$ подмножество пространства $R^{d}$, состоящее из таких точек ( $\left.z_{0}, \mathbf{z}\right)$, что при проектировании $\mathbf{z}$ на прямую $\mathbf{x}-\mathbf{y}$ проекция лежит вне интервала ( $\mathbf{x}, \mathbf{y}$ ). Пусть $f_{1}, \ldots, f_{n} \in \mathscr{S}$ — функции с носителями в множестве $B$. Тогда функция $S_{n+2}\left(f_{1}, \ldots, f_{n}\right.$, $x, y$ ) аналитична по переменной $x-y$ для вещественных значений $\mathbf{x}$ — $\mathbf{1}$ пи условии, что $\left|x_{0}-y_{0}\right|<|\mathbf{x}-\mathbf{y}|$.

Доказательство. Выполним евклидово вращение, так чтобы $\mathbf{x}-\mathbf{y}$ стала новой осью времени. По построению множество $B$ не содержит точек во временно́м интервале между $\mathbf{x}$ и у. Далее рассуждаем так же, как в доказательстве теоремы 19.5.5.

Заметим, что, как следует из доказанного предложения, правая и левая полуплоскости $\operatorname{Re} \xi>0$ и $\operatorname{Re} \xi<0$ комплексной плоскости $\xi=x_{0}-y_{0}$, на которых функции Швингера аналитичны, соединяются по разрезу $|\operatorname{Im} \xi|<|x-y|$ на мнимой оси.