Кластерные разложения [Glimm, Jafie, Spencer, 1973, 1974] позволяют детально изучить свойства квантовых полей. С их помощью, кроме доказательства существования предела при предельном переходе к бесконечному объему, можно получить подробную информацию о свойствах спектра: кратность основного состояния; существование изолированных точек спектра, отвечающих частицам; наличие или отсутствие связанных состояний; полнота состояний рассеяния в низкоэнергетической области; аналитичность относительно констант связи; суммируемость по Борелю и т. д. В гл. 14 были указаны применения кластерных разложений к изучению частиц, а в гл. 5 и 16 -к теории фазовых переходов.

Қластерные разложения сходятся в том случае, когда значения параметров, задающих квантовое поле, достаточно удалены от критических значений, т. е. поле близко к гауссовому. Можно построить кластерные разложения (более сложные, чем те, которые приводятся здесь) и для многофазных теорий, у которых каждая чистая фаза является почти гауссовой. Қластерные разложения являются основным средством анализа картины, возникающей в приближении среднего Іоля, как это описано в гл. 5 (для области значений параметров, удаленной от критических точек).
Разложения, о которых идет речь, тесно связаны с вириальными и кластерными разложениями в статистической механике; см. гл. 2. Соответствующая формула из статистической механики дает следующее разложение плотности вероятности в ансамбле Гиббса:
\[
\begin{aligned}
\prod_{i<j} e^{-\beta V\left(x_{i}-x_{j}\right)}=\prod_{i<j}[1+ & \left.\left(e^{-\beta V\left(x_{i}-x_{j}\right)}-1\right)\right]= \\
& =\sum_{\Gamma} \prod_{(i, j) \in \Gamma}\left(e^{-\beta V\left(x_{i}-x_{j}\right)}-1\right) .
\end{aligned}
\]

Здесь $\Gamma$-множество неупорядоченных пар $(i, j), i
eq j$, т. е. граф Майера, а суммирование распространяется на все такше графы. Эта формула выражает взаимодействие $e^{-\beta V\left(x_{i}-x_{j}\right)}$ частиц с номерами $i$ и $j(i
eq j)$ в виде суммы двух членов: первый, 1 , отвечает нулевому взаимодействию, а второй представляет собой возмущение $e^{-\beta V\left(x_{i}-x_{j}\right)}-1$, которое мало при высоких температурах $k T=\beta^{-1}$. Оставаясь на эвристическом уровне, можно сказать, что роль гиббсовой плотности в $P(\varphi)_{2}$-теории поля играет мера
\[
e^{-\int[\mathcal{A}(x)+\lambda P(\varphi(x))] d x} \prod_{x \in R^{2}} d \varphi(x) .
\]

Здесь
\[
\mathscr{A}_{0}(x)=\frac{1}{2}\left[(
abla \varphi(x))^{2}+m_{0}^{2} \varphi(x)^{2}\right],
\]

а формальное выражение
\[
e^{-\int \mathcal{A}_{0}(x) d x} \prod_{x \in R^{2}} d \varphi(x)
\]

обозначает гауссову меру $d \varphi c_{\varnothing}$ на $\mathscr{P}^{\prime}\left(R^{2}\right)$ с нулевым средним и ковариацией $C_{\varnothing}$.

В формуле (18.1.2) взаимодействие между отдельными точками входит лишь в член $(
abla \varphi)^{2}$ в $\mathscr{A}_{0}(x)$, так что $e^{-(1 / 2) \int(
abla \varphi)^{2}}$ играет здесь роль величины $e^{-\beta
u}$ в (18.1.1). Наше кластерное разложение строится в духе формулы (18.1.1). Непосредственный аналог полностью невзаимодействующей теории получается, если отбросить лапласиан в выражении
\[
\int \mathscr{A}_{0}(x) d x=\frac{1}{2} \int \varphi(x)\left(-\Delta+m_{0}^{2}\right) \varphi(x) d x .
\]

Соответствующая ультралокальная теория весьма сингулярна по сравнению с теорией, определенной с помощью (18.1.2). Мы будем уменьшать и оценивать сингулярность для разности взаимодействующей и невзаимодействующей теорий в два этапа. На первом этапе мы модифицируем указанную выше ультралокальную стратегию, введя решетку в плоскости $R^{2}$ и используя эту решеточную
структуру в разложении, обобщающем (18.1.1). В этом разложении взаимодействие выключается лишь на ребрах решетки. Таким способом мы уменьшаем сингулярность свободной (невзаимодействующей) меры по отношению к мере со взаимодействием. В формулировках теорем 18.1 .1 – 2 отсутствуют указания на использование решетки, и в результате получается разложение для непрерывной теории $P(\varphi)_{2}$ в бесконечном объеме, а не для ее решеточной аппроксимации. Пусть $\Gamma$-множество ребер решетки, соединяющих соседние узлы, и пусть $\Delta_{\Gamma}$ – оператор Лапласа с граничными условиями Дирихле на Г. Положим
\[
C_{\Gamma}=\left(-\Delta_{\Gamma}+m_{0}^{2}\right)^{-1} .
\]

Тогда $d \varphi c_{\Gamma}$ играет роль свободной меры, для которой взаимодействие вдоль кривой Г отсутствует. В итоге структура решетки дает возможность ввести дискретный набор переменных в сумме и произведении $\sum_{\Gamma} \prod_{(i, j) \in \Gamma}$ в (18.1.1), даже если эта формула применяется к непрерывной модели $P(\varphi)_{2}$.

На втором этапе регуляризуются разности, аналогичные $e^{-\beta V\left(r_{i}-x_{j}\right)}-1$ в (18.1.1). Разность двух гауссовых мер можно записать в виде
\[
d \varphi_{C_{1}}-d \varphi_{C_{2}}=\int_{i}^{1}(d / d s) d \varphi_{C_{(s)}},
\]

где $C(s)=s C_{1}-(1-s) C_{2}$. Тогда $(d / d s) d \varphi_{C(s)}$ можно вычислить с помощью формулы (9.1.33), т. е. интегрированием по частям.

Для малых значений $\lambda / m_{0}^{2}$ мы докажем экспоненциальное кластерное свойство функций Швингера. Это свойство устанавливается вначале в конечном объеме, причем оценки не зависят от объема. Далее легко выводится, что функции Швингера сходятся при неограниченном расширении объема и предельные функции Швингера (не зависящие от граничных условий) обладают экспоненциальным кластерным свойством в бесконечном объеме. Применяя теорему реконструкции Остервальдера – Шрадера, мы строим теорию поля $P(\varphi)_{2}$ в бесконечном объеме по функциям Швингера. Для этой теории выполнены аксиомы Вайтмана и физическая масса строго положительна. Мы покажем также, что функции Швингера аналитичны по $\lambda$ в ограниченном секторе
\[
0<|\lambda|<\varepsilon, \quad-\pi / 2<\arg \lambda<\pi / 2 .
\]

Функции Швингера в конечном объеме, по определению, представляют собой моменты меры $d \mu_{\Lambda}$ вида (11.2.1):
\[
S_{\Lambda}\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=\int \varphi\left(x_{1}\right) \ldots \varphi\left(x_{n}\right) d \mu_{\Lambda} .
\]
Однако для удобства мы заменяем ковариацию $C_{\text {дл }}$ в (11.2.1), отвечающую условиям Дирихле, свободной ковариацией $C_{\varnothing}$, так что объемное обрезание появляется только во взаимодействии $V=V(\Lambda)$. В этом случае $S_{1}$ определяется как обобщенная функция из пространства $\mathscr{S}^{\prime}\left(R^{2 n}\right)$. В дополнение к мономам в (18.1.7) полезно ввести интегралы от произведения виковых полиномов, а именно
\[
A=\int: \varphi\left(x_{1}\right)^{n_{1}}: \ldots: \varphi\left(x_{j}\right)^{n}: w\left(x_{1}, \ldots, x_{j}\right) d x .
\]

Мы предполагаем, что $w \in \mathscr{P}\left(R^{2 j}\right)$, хотя можно ограничиться и более слабыми предположениями. Определим $\operatorname{supp} A$ как пересечение всех замкнутых множеств $C \subset R^{2}$, удовлетворяющих условию
\[
\text { supp } w \subset C \times \ldots \times C \quad(j \text { сомножителей }) .
\]

Теорема 18.1.1. Пусть $\lambda$ принадлежит замыканию проколотого полукруга (18.1.6), а $\varepsilon / m_{0}^{2}$ достаточно мало. Пусть, кроме того, $A$ и $B$-функции на $\mathscr{P}^{\prime}$ вида (18.1.1), а $d$-ширина полосы в $R^{2}$, разделяющей $\operatorname{supp} A$ и supp $B$. Тогда существует константа $M=M_{A, B}$ и строго положительная константа $m$, не зависящая от А и $B$, для которых
\[
\left|\int A B d \mu_{\Lambda}-\int A d \mu_{\Lambda} \int B d \mu_{\Lambda}\right| \leqslant M_{A, B} e^{-m d}
\]

равномерно по $\Lambda$ при $|\Lambda| \rightarrow \infty$. Константа $M$ не меняется при независимых сдвигах А и $B$.
Теорема 18.1.2. Пусть $\lambda$ принадлежит замыканию проколотого полукруга (18.1.6), а в/т достаточно мало. Для функций А вида (18.1.8) величина $\left|\int A d \mu_{\Lambda}\right|$ ограничена равномерно по $\lambda$ и $\Lambda$ при $|\Lambda| \rightarrow \infty$.
Следствие 18.1.3. В предположениях теоремы 18.1.1 предел при неограниченном расширении $\Lambda$
\[
\int A d \mu=\lim _{\Lambda \uparrow R^{2}} \int A d \mu_{\Lambda}
\]

существует и удовлетворяет оценке
\[
\left|\int A B d \mu-\int A d \mu \int B d \mu\right| \leqslant M_{A, B} e^{-m d} .
\]

Доказательство. Применим теорему 18.1.1 ко взаимодействию
\[
V_{\alpha} \equiv V(\Lambda)+\alpha V(\Delta), \quad 0 \leqslant \alpha \leqslant 1,
\]

добавляя к области $\Lambda$ единичный квадрат $\Delta \subset R^{2} \backslash \Lambda$. Үогда
\[
\left|\frac{d}{d \alpha} \int A d \mu_{\alpha}\right|=\left|\int A V(\Delta) d \mu_{\alpha}-\int A d \mu_{\alpha} \int V(\Delta) d \mu_{\alpha}\right| \leqslant M_{A, B} e^{-m d}, \quad B=V(\Delta),
\]
где $d=\operatorname{dist}(\operatorname{supp} A, \Delta)$. Пользуясь экспоненцналыным убыванисм, просуммируем по семейству квадратов, нонрывающих $\Lambda^{\prime} \backslash A$, и тем самым установим, что $\int A d \mu_{\Lambda}$ – фундаментальная последовательность при $\Lambda \uparrow R^{2}$. Равномерная оценка (18.1.10) верна и для среднего (18.1.11) в бесконечном объеме.

Из аналитичности по $\lambda$ функций Швингера в конечном объеме, теоремы Витали и сходимости при $\Lambda \rightarrow \infty$ для малых веществен. ных $\lambda$ получаем

Следствие 18.1.4. Функции Швингера аналитичны по $\lambda$ в области (18.1.6) при мальт $\varepsilon / m_{0}^{2}$.