В этом параграфе мы рассмотрим формулы интерполяции для мер $d \mu$ вида (9.1.30). Вначале обсудим гауссов случай и докажем (9.1.33).

Предложение 9.2.1. Пусть $C(t)$-гладкое однопараметрическое семейство ковариационны операторов в $\mathscr{C}$, и пусть $A$ имеет вид (9.1.1). Тогда
\[
\frac{d}{d t} \int A d \varphi_{C(t)}=\frac{1}{2} \int\left(\Delta_{\dot{C}} A\right) d \varphi_{C(t)} .
\]

Доказательство I. Предположим, что $A=e^{i \varphi(g)}$. Для простоты положим $C(t)=$ $=t C_{1}+(1-t) C_{2}$. Тогда
\[
\begin{array}{c}
\frac{d}{d t} \int A d \varphi_{C(t)}=\frac{d}{d t} \int e^{i \varphi(g)} d \varphi_{C(t)}=\frac{d}{d t} \exp \left(-\frac{1}{2}\langle g, C(t) g\rangle\right)= \\
=-\frac{1}{2}\langle g, \dot{C}(t) g\rangle \exp \left(-\frac{1}{2}\langle g, C(t) g\rangle\right)=\frac{1}{2} \int\left({ }_{\Delta} \dot{C}^{A}\right) d \varphi_{C(t)} .
\end{array}
\]

Случай произвольных $A$ вида (9.1.1) рассматривается по аналогии с доказательством $(9.1 .6,7)$.
Набросок доказательства II. Это а.тьтернативное доказательство показывает, что (9.1.33) фактически есть формула интегрирования по частям. Мы аппроксимируем интегралы в (9.1.33) конечномерными ннтегралами по мере $d \varphi_{n}$ вида
\[
d \varphi_{n}=Z_{n}^{-1} \exp \left(-\frac{1}{2}:\left\langle\varphi, C(t)_{n}^{-1} \varphi\right\rangle:\right) d \varphi_{\text {Лебег }} \rightarrow d \varphi_{C(t)} .
\]

Здесь $d \varphi_{\text {лебег }}$-мера Лебега, а виково упорядочение проводится относительно ковариацин $C(t)_{n}$. Тогда
\[
\begin{aligned}
\frac{d}{d t} \int A d \varphi_{n} & =-\frac{1}{2} \int:\left\langle\varphi, \frac{d}{d t} C_{n}(t)^{-1} \varphi\right\rangle: A d \varphi_{n}= \\
& =\frac{1}{2} \int:\left\langle C_{n}(t)^{-1} \varphi, \dot{C}_{n}(t) C_{n}(t)^{-1} \varphi\right\rangle: \operatorname{Ad} \varphi_{n} .
\end{aligned}
\]

Применяя формулу интегрирования по частям к каждому $\varphi$ в выражении $:\left\langle C^{-}{ }_{1} \varphi, \dot{C}^{-1} \varphi\right\rangle:$, находим, что
\[
\frac{d}{d t} \int A d \varphi_{n}=\frac{1}{2} \int\left(\Delta_{\dot{C}_{n}}{ }^{A}\right) d \varphi_{n} .
\]

Переходя к пределу при $n \rightarrow \infty$, получаем (9.1.33). Мы не доказываем здесь сходимость при $n \rightarrow \infty$, поскольку она вытекает, например, из предложений $\S 9.5$.
Следствие 9.2.2. Пусть $C_{1}, C_{2}$-ковариационные операторы и $A$ имеет вид (9.1.1). Тогда
\[
\int A d \varphi_{C_{2}}=\int A d \varphi_{C_{1}}+\frac{1}{2} \int_{0}^{1} d t \int\left(\Delta_{C_{2}-C_{1}} A\right) d \varphi_{t C_{2}}+(1-t) C_{1} .
\]

Следствие 9.2.3. Для мер в конечном объеме справедлива формула (9.1.34).

Доказательство. Включим в $A$ множитель $\exp \left(-: V^{c(t)}\right)$ и применим правило вы* числения производной сложной функции; его законность обосновывается с помощью 8.7.1-3.