$S$-матрица представляет собой главный объект изучения в теории поля, так как с ее помощью выражаются наблюдаемые взаимодействия между частицами. Приведенное в гл. 13 определение $\mathcal{S}$-матрицы не дает удобной основы для изучения ее дальнейших свойств. Однако сейчас мы покажем, что $S$-матрица имеет простое и удобное представление в терминах хронологически упорядоченных корреляционных функций. Оно позволяет, например, строить ряды теории возмущений, разбивать на связные компоненты и исследовать аналитичность в импульсном пространстве.

Для определения хронологически упорядоченных произведений положим
\[
\begin{array}{r}
\theta(x)=\theta\left(x_{0}, \mathbf{x}\right)=\left\{\begin{array}{lll}
1 & \text { при } & x_{0}>0, \\
0 & \text { при } & x_{0}<0 ;
\end{array}\right. \\
T \varphi\left(x_{1}\right) \ldots \varphi\left(x_{n}\right)=\sum_{\pi \in \mathscr{S}_{n}} \theta\left(x_{\pi(1)}-x_{\pi(2)}\right) \ldots \theta\left(x_{\pi(n-1)}-x_{\pi(n)}\right) \times \\
\quad \times \varphi\left(x_{\pi(1)}\right) \ldots \varphi\left(x_{\pi(n)}\right),
\end{array}
\]

где $\mathfrak{S}_{n}$-группа перестановок $n$ элементов. Наша цель-показать, что
\[
\tau\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=\left\langle T \varphi\left(x_{1}\right) \ldots \varphi\left(x_{n}\right)\right\rangle
\]

является обобщенной функцией умеренного роста, преобразование Фурье $\tilde{\tau}(p)$ которой настолько регулярно, что допускает умножение на $\delta$-функцию: выражение
\[
\prod_{i=1}^{n} \delta\left(p_{i}^{2}+m^{2}\right) \theta\left(p_{i}^{0}\right)\left[\prod_{i=1}^{n}\left(p_{i}^{2}+m^{2}\right)\right] \tilde{\tau}\left(p_{1}, \ldots, p_{m},-p_{m+1}, \ldots,-p_{n}\right)
\]

(с точностью до постоянного множителя) является матричным элементом $S$-матрицы между out-состоянием со значением импульсов $p_{1}, \ldots, p_{m}$ и in-состоянием со значением импульсов $p_{m+1}, \ldots, p_{n}$.

Первая задача состоит в том, чтобы показать, что $\tau$ – обобщенная функция умеренного роста или по крайней мере в какомнибудь смысле определена. Поскольку $\theta
otin C^{\infty}$, умножение функции Вайтмана $W \in \mathscr{P}^{\prime}$ на функцию $\theta$, вообще говоря, не определено. Используя свойство регулярности, содержащееся в аксиомах гл. 6 (которая сильнее регулярности, выводимой из аксиом Вайтмана), и, в частности, то обстоятельство, что функции Швингера допускают непрерывное продолжение до функционала, определенного на всем пространстве $\mathscr{P}\left(R^{\text {din }}\right)$ (включая совпадающие точки), можно показать, что $\tau \in \mathscr{P}^{\prime}\left(R^{d n}\right)$ [Eckmann, Epstein, 1979a]. Однако, как мы сейчас покажем, проще не заниматься этой проблемой, а оставить ее в стороне. Пусть функция $\alpha \in C_{0}^{\infty}$ неотрицательна и интеграл от нее равен 1. Положим
\[
\begin{array}{l}
T_{\alpha} \varphi\left(x_{1}\right) \ldots \varphi\left(x_{n}\right)=\sum_{\pi \in \mathscr{E}_{n}} \theta * \alpha\left(x_{\pi(1)}-x_{\pi(2)}\right) \ldots \theta * \alpha\left(x_{\pi(n-1)}-x_{\pi(n)}\right) \times \\
\times \varphi\left(x_{\pi(1)}\right) \ldots \varphi\left(x_{\pi(n)}\right) . \\
\end{array}
\]

Так как $\theta * \alpha \in \mathscr{P}$, то
\[
\tau_{\alpha}=\left\langle T_{\alpha} \varphi\left(x_{1}\right) \ldots \varphi\left(x_{n}\right)\right\rangle \in \mathscr{P}^{\prime} .
\]

Впоследствии окажется, что в выражение (14.1.3) вместо $\tau$ можно подставить $\tau_{\alpha}$. Вторую проблему – гладкость в $p$-пространстве уже не обойти. Она эквивалентна определенным свойствам убывания в $x$-пространстве и обобщает результаты $\$ 13.5$.

Пусть функции $f_{i} \in \mathscr{P}\left(R^{d}\right), \quad 1 \leqslant i \leqslant n$, имеют непересекающиеся носители в пространстве скоростей, а функции $f_{i}^{t}$ определены соотношением (13.5.9). Кроме того, предположим, что выполнено условие (13.5.10). Определим
\[
X^{\text {out }}=\prod_{i=1}^{k} \varphi^{\text {out }}\left(f_{i}\right) \Omega, \quad X^{\text {in }}=\prod_{i=m+1}^{n} \varphi^{\text {in }}\left(f_{i}\right) \Omega, \quad \dot{f}_{i}^{(t)}=\partial_{t} f_{i}^{(t)} .
\]

Теорема 14.1.1. Пусть носители всех функций $f_{i}$ сосредоточены в малой окрестности гиперболоида $-p^{2}=m^{2}$. Тогда интеграл
\[
\int\left(\prod_{i=k+1}^{m} \dot{f}_{i}^{\left(t_{i}\right)} d x_{i}\right)\left\langle X^{\text {out }}, T_{\mathrm{\alpha}} \varphi\left(x_{k+1}\right) \cdots \varphi\left(x_{m}\right) X^{\text {in }}\right\rangle
\]

как функция переменных $t_{k+1}, \ldots, t_{m}$ принадлежит пространству $\mathscr{S}\left(R^{m-k}\right)$.
Доказательство. Производная $\partial_{t} f^{(t)}$ имеет тот же вид, что и $f^{(t)}$, следовательно, надо доказать лишь быстрое убывание. Идея состоит в том, что блок полевых множителей с нанбольшими по величине и почти равными значениями времени
может быть вынесен из-под знака операции хронологического упорядочения. Этот блок множителей при $t \rightarrow \infty$ сходится к произведению out-полей, действующему на вектор $X^{\text {out }}$, как это следует нз теорем 13.3 .2 и 13.5.4, причем порядок сходимости равен $O\left(t^{-N}\right)$. Так как действие производной $d_{t}$ на out-поле дает нуль, то быстрое убывание обеспечивается скоростью сходимости. Аналогично, блок полей с наименьшими по величине и почти равными значениями времени также может быть вынесен за знак операции $T_{\alpha}$, и его применение $\mathbf{~} X^{\text {in }}$ приводит к тому же результату.
В силу симметрии, можно изучать функцию (14.1.6) в секторе
\[
t_{k+1} \geqslant \cdots \geqslant t_{m} \quad \text { и } \quad t=t_{k+1} \geqslant\left|t_{m}\right| .
\]

Для некоторого $l, k+1 \leqslant l \leqslant m$, в качестве аппроксимации функции (14.1.6) рассмотрим функцию
\[
\int\left(\prod_{i=k+1}^{m} f_{t}^{\left(t_{i}\right)} d x_{i}\right)\left\langle X^{\text {out }}, \varphi\left(x_{k+1}\right) \cdots \varphi\left(x_{l}\right) T_{\alpha}\left(\varphi\left(x_{i+1}\right) \cdots \varphi\left(x_{m}\right)\right) X^{\text {in }}\right\rangle .
\]

В соответствии с теоремой 13.5 .4 в секторе (14.1.7) имеет место асимптотика
\[
\left\|\prod_{i=k+1}^{l} \varphi\left(f_{t}^{\left(t_{i}\right)}\right) X^{\mathrm{out}}\right\|=O\left(t^{-N}\right)
\]

так как $\varphi_{\mathrm{In} / \text { out }}\left(f_{i}\right)=0$. Аналогично, для некоторого $L$, в силу предложения 13.4.3, верна оценка
\[
\left\|\int\left(\prod_{i=l+1}^{m} \dot{f}_{i}^{\left(t_{i}\right)} d x_{i}\right) T_{a}\left(\varphi\left(x_{l+1}\right) \cdots \varphi\left(x_{m}\right)\right) X^{\mathrm{in}}\right\| \leqslant O\left(t^{L}\right),
\]

поскольку регуляризованные хронологически упорядоченные произведения можно переписать с помощью обычных произведений с гладкими коэффициентами. Таким образом, выражение (14.1.8) ограничено величиной порядка $O\left(t^{-N}\right)$, где $N$ произвольно.

Для того чтобы показать, что функции (14.1.6) и (14.1.8) отличаются на величину порядка $O\left(t^{-N}\right)$, выберем $l$, зависящее от набора $\left\{t_{k+1}, \ldots, t_{m}\right\}$, так, что моменты времени $t_{k+1}, \ldots, t_{l}$ из начального блока почти совпадают, например
\[
0 \leqslant t_{i}-t_{i+1} \leqslant \varepsilon t, \quad k+1 \leqslant i \leqslant l-1 ; \quad t_{l}-t_{l+1}>\varepsilon t .
\]

В определении $T_{\alpha}$ рассмотрим сначала перестановки $\pi \in \mathscr{S}_{m-k}$, которые переводят множество индексов $\{k+1, \ldots, l\}$ в себя, т. е. имеют вид $\pi=\left(\pi^{l-k}, \pi^{m-l}\right) \in$ $\in \mathfrak{S}_{l-k} \times \mathfrak{S}_{m-l}$. Так как носители функций $f_{i}$ в пространстве скоростей не перекрываются, то носители основных функций $f_{i}^{\left(t_{i}\right)}, k+1 \leqslant i \leqslant l$, с точностью до величин порядка $O\left(t^{-N}\right)$ (предложение 13.4.3) пространственно-подобно отделены друг от друга. Поэтому, в силу локальности, вклад перестановки $\pi$ в сумму $T_{\alpha}$ с точностью до $O\left(t^{-N}\right)$ не зависит от ее части $\pi^{l-k}$. Это означает, что при суммированин по перестановкам $\pi^{l-k} \in \mathscr{S}_{l-k}$ начальные $l-k$ полей могут быть вынесены за знак хронологического упорядочения, а суммирование по перестановкам $\pi^{m-1} \in \Im_{m-l}$ приводит к хронологическому упорядочению последних $m-l$ полей. Итак, мы показали, что суммирование по перестановкам $\pi \in \mathscr{S}_{l-k} \times \mathfrak{S}_{m-l}$ функцин (14.1.6) совпадает с аппроксимацней (14.1.8) с точностью до величины порядка $O\left(t^{-N}\right)$.

Осталось рассмотреть перестановки $\pi
otin \mathbb{B}_{t-k} \times \mathbb{G}_{m-l}$, т. е. те, которые не сохраняют сектор (14.1.9). Носитель соответствующего слагаемого в $\boldsymbol{T}$-алежит в множестве
\[
x_{0, \pi(j)}-x_{0, \pi(j+1)} \geqslant- \text { const }=-\max \{|s|: s \in \operatorname{supp} \alpha\} .
\]

Для любой из рассматриваемых перестановок $\pi$ найдется такое $j$, что $\pi(j+1) \leqslant$ $\leqslant l<\pi(j)$. Поэтому
\[
t_{\pi(j)}-t_{\pi(j+1)} \leqslant-\varepsilon t \text { и }\left|x_{0, \pi(j)}-t_{\pi(j)}\right|+\left|x_{0, \pi(j+1)}-t_{\pi(j+1)}\right| \geqslant \varepsilon t / 3 .
\]

Согласно предложению 13.4.3, вклад этой перестановки в $T_{\alpha}$ в формуле (14.1.6) имеет порядок $O\left(t^{-N}\right)$.