$S$-матрица представляет собой главный объект изучения в теории поля, так как с ее помощью выражаются наблюдаемые взаимодействия между частицами. Приведенное в гл. 13 определение $\mathcal{S}$-матрицы не дает удобной основы для изучения ее дальнейших свойств. Однако сейчас мы покажем, что $S$-матрица имеет простое и удобное представление в терминах хронологически упорядоченных корреляционных функций. Оно позволяет, например, строить ряды теории возмущений, разбивать на связные компоненты и исследовать аналитичность в импульсном пространстве.

Для определения хронологически упорядоченных произведений положим
$$\begin{array}{r}\theta (x)=\theta (x_0,\mathbf{x})=\{\begin{array}{lll}1& \text{ при }& x_0>0,\\ 0& \text{ при }& x_0<0;\end{array}\\ T\phi \left(x_1\right)\dots \phi \left(x_n\right)=\sum _{\pi \in {\mathcal{S}}_n}\theta (x_{\pi (1)}-x_{\pi (2)})\dots \theta (x_{\pi (n-1)}-x_{\pi (n)})\times \\ \times \phi \left(x_{\pi (1)}\right)\dots \phi \left(x_{\pi (n)}\right),\end{array}$$

где ${\mathfrak{S}}_n$-группа перестановок $n$ элементов. Наша цель-показать, что
$$\tau (x_1,\dots ,x_n)=⟨T\phi \left(x_1\right)\dots \phi \left(x_n\right)⟩$$

является обобщенной функцией умеренного роста, преобразование Фурье $\tilde{\tau }(p)$ которой настолько регулярно, что допускает умножение на $\delta$-функцию: выражение
$$\prod _{i=1}^n\delta (p_i^2+m^2)\theta \left(p_i^0\right)\left[\prod _{i=1}^n(p_i^2+m^2)\right]\tilde{\tau }(p_1,\dots ,p_m,-p_{m+1},\dots ,-p_n)$$

(с точностью до постоянного множителя) является матричным элементом $S$-матрицы между out-состоянием со значением импульсов $p_1,\dots ,p_m$ и in-состоянием со значением импульсов $p_{m+1},\dots ,p_n$.

Первая задача состоит в том, чтобы показать, что $\tau$ — обобщенная функция умеренного роста или по крайней мере в какомнибудь смысле определена. Поскольку $\theta otin{C}^{\mathrm{\infty }}$, умножение функции Вайтмана $W\in {\mathcal{P}}^{\prime }$ на функцию $\theta$, вообще говоря, не определено. Используя свойство регулярности, содержащееся в аксиомах гл. 6 (которая сильнее регулярности, выводимой из аксиом Вайтмана), и, в частности, то обстоятельство, что функции Швингера допускают непрерывное продолжение до функционала, определенного на всем пространстве $\mathcal{P}\left(R^{\text{din }}\right)$ (включая совпадающие точки), можно показать, что $\tau \in {\mathcal{P}}^{\prime }\left(R^{dn}\right)$ [Eckmann, Epstein, 1979a]. Однако, как мы сейчас покажем, проще не заниматься этой проблемой, а оставить ее в стороне. Пусть функция $\alpha \in C_0^{\mathrm{\infty }}$ неотрицательна и интеграл от нее равен 1. Положим
$$\begin{array}{l}{T}_{\alpha }\phi \left(x_1\right)\dots \phi \left(x_n\right)=\sum _{\pi \in {\mathcal{E}}_n}\theta \ast \alpha (x_{\pi (1)}-x_{\pi (2)})\dots \theta \ast \alpha (x_{\pi (n-1)}-x_{\pi (n)})\times \\ \times \phi \left(x_{\pi (1)}\right)\dots \phi \left(x_{\pi (n)}\right).\end{array}$$

Так как $\theta \ast \alpha \in \mathcal{P}$, то
$${\tau }_{\alpha }=⟨T_{\alpha }\phi \left(x_1\right)\dots \phi \left(x_n\right)⟩\in {\mathcal{P}}^{\prime }.$$

Впоследствии окажется, что в выражение (14.1.3) вместо $\tau$ можно подставить ${\tau }_{\alpha }$. Вторую проблему — гладкость в $p$-пространстве уже не обойти. Она эквивалентна определенным свойствам убывания в $x$-пространстве и обобщает результаты $\mathrm{\$}13.5$.

Пусть функции $f_i\in \mathcal{P}\left(R^d\right),1⩽i⩽n$, имеют непересекающиеся носители в пространстве скоростей, а функции $f_i^t$ определены соотношением (13.5.9). Кроме того, предположим, что выполнено условие (13.5.10). Определим
$$X^{\text{out }}=\prod _{i=1}^k{\phi }^{\text{out }}\left(f_i\right)\mathrm{\Omega },X^{\text{in }}=\prod _{i=m+1}^n{\phi }^{\text{in }}\left(f_i\right)\mathrm{\Omega },{\dot{f}}_i^{(t)}={\partial }_t{f}_i^{(t)}.$$

Теорема 14.1.1. Пусть носители всех функций $f_i$ сосредоточены в малой окрестности гиперболоида $-p^2=m^2$. Тогда интеграл
$$\int \left(\prod _{i=k+1}^m{\dot{f}}_i^{\left(t_i\right)}d{x}_i\right)⟨X^{\text{out }},T_{\alpha }\phi \left(x_{k+1}\right)\cdots \phi \left(x_m\right)X^{\text{in }}⟩$$

как функция переменных $t_{k+1},\dots ,t_m$ принадлежит пространству $\mathcal{S}\left(R^{m-k}\right)$.
Доказательство. Производная ${\partial }_t{f}^{(t)}$ имеет тот же вид, что и $f^{(t)}$, следовательно, надо доказать лишь быстрое убывание. Идея состоит в том, что блок полевых множителей с нанбольшими по величине и почти равными значениями времени
может быть вынесен из-под знака операции хронологического упорядочения. Этот блок множителей при $t\to \mathrm{\infty }$ сходится к произведению out-полей, действующему на вектор $X^{\text{out }}$, как это следует нз теорем 13.3 .2 и 13.5.4, причем порядок сходимости равен $O\left(t^{-N}\right)$. Так как действие производной $d_t$ на out-поле дает нуль, то быстрое убывание обеспечивается скоростью сходимости. Аналогично, блок полей с наименьшими по величине и почти равными значениями времени также может быть вынесен за знак операции $T_{\alpha }$, и его применение $X^{\text{in }}$ приводит к тому же результату.
В силу симметрии, можно изучать функцию (14.1.6) в секторе
$$t_{k+1}⩾\cdots ⩾t_m\text{ и }t=t_{k+1}⩾\left|t_m\right|.$$

Для некоторого $l,k+1⩽l⩽m$, в качестве аппроксимации функции (14.1.6) рассмотрим функцию
$$\int \left(\prod _{i=k+1}^m{f}_t^{\left(t_i\right)}d{x}_i\right)⟨X^{\text{out }},\phi \left(x_{k+1}\right)\cdots \phi \left(x_l\right)T_{\alpha }(\phi \left(x_{i+1}\right)\cdots \phi \left(x_m\right))X^{\text{in }}⟩.$$

В соответствии с теоремой 13.5 .4 в секторе (14.1.7) имеет место асимптотика
$$\Vert \prod _{i=k+1}^l\phi \left(f_t^{\left(t_i\right)}\right)X^{\mathrm{out}}\Vert =O\left(t^{-N}\right)$$

так как ${\phi }_{\mathrm{In}/\text{ out }}\left(f_i\right)=0$. Аналогично, для некоторого $L$, в силу предложения 13.4.3, верна оценка
$$\Vert \int \left(\prod _{i=l+1}^m{\dot{f}}_i^{\left(t_i\right)}d{x}_i\right)T_a(\phi \left(x_{l+1}\right)\cdots \phi \left(x_m\right))X^{\mathrm{in}}\Vert ⩽O\left(t^L\right),$$

поскольку регуляризованные хронологически упорядоченные произведения можно переписать с помощью обычных произведений с гладкими коэффициентами. Таким образом, выражение (14.1.8) ограничено величиной порядка $O\left(t^{-N}\right)$, где $N$ произвольно.

Для того чтобы показать, что функции (14.1.6) и (14.1.8) отличаются на величину порядка $O\left(t^{-N}\right)$, выберем $l$, зависящее от набора $\{t_{k+1},\dots ,t_m\}$, так, что моменты времени $t_{k+1},\dots ,t_l$ из начального блока почти совпадают, например
$$0⩽t_i-t_{i+1}⩽\epsilon t,k+1⩽i⩽l-1;t_l-t_{l+1}>\epsilon t.$$

В определении $T_{\alpha }$ рассмотрим сначала перестановки $\pi \in {\mathcal{S}}_{m-k}$, которые переводят множество индексов $\{k+1,\dots ,l\}$ в себя, т. е. имеют вид $\pi =({\pi }^{l-k},{\pi }^{m-l})\in$ $\in {\mathfrak{S}}_{l-k}\times {\mathfrak{S}}_{m-l}$. Так как носители функций $f_i$ в пространстве скоростей не перекрываются, то носители основных функций $f_i^{\left(t_i\right)},k+1⩽i⩽l$, с точностью до величин порядка $O\left(t^{-N}\right)$ (предложение 13.4.3) пространственно-подобно отделены друг от друга. Поэтому, в силу локальности, вклад перестановки $\pi$ в сумму $T_{\alpha }$ с точностью до $O\left(t^{-N}\right)$ не зависит от ее части ${\pi }^{l-k}$. Это означает, что при суммированин по перестановкам ${\pi }^{l-k}\in {\mathcal{S}}_{l-k}$ начальные $l-k$ полей могут быть вынесены за знак хронологического упорядочения, а суммирование по перестановкам ${\pi }^{m-1}\in {\mathrm{\Im }}_{m-l}$ приводит к хронологическому упорядочению последних $m-l$ полей. Итак, мы показали, что суммирование по перестановкам $\pi \in {\mathcal{S}}_{l-k}\times {\mathfrak{S}}_{m-l}$ функцин (14.1.6) совпадает с аппроксимацней (14.1.8) с точностью до величины порядка $O\left(t^{-N}\right)$.

Осталось рассмотреть перестановки $\pi otin{\mathbb{B}}_{t-k}\times {\mathbb{G}}_{m-l}$, т. е. те, которые не сохраняют сектор (14.1.9). Носитель соответствующего слагаемого в $\mathit{T}$-алежит в множестве
$$x_{0,\pi (j)}-x_{0,\pi (j+1)}⩾-\text{ const }=-max\{|s|:s\in \mathrm{supp}\alpha \}.$$

Для любой из рассматриваемых перестановок $\pi$ найдется такое $j$, что $\pi (j+1)⩽$ $⩽l<\pi (j)$. Поэтому
$$t_{\pi (j)}-t_{\pi (j+1)}⩽-\epsilon t\text{ и }|x_{0,\pi (j)}-t_{\pi (j)}|+|x_{0,\pi (j+1)}-t_{\pi (j+1)}|⩾\epsilon t/3.$$

Согласно предложению 13.4.3, вклад этой перестановки в $T_{\alpha }$ в формуле (14.1.6) имеет порядок $O\left(t^{-N}\right)$.