Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Определим безразмерную константу связи модели $\varphi^{4}$ : где Теорема 17.3.1 [Glimm, Jaffe, 1975a]. При сделанных выше предположениях где безразмерная константа в правой части не зависит от параметров взаимодействия $\lambda и$ б. Набросок доказательства. Подробности можно найти в оригннальной работе. Применяя основное неравенство Гриффитса (4.1.1), получаем (вместо $\varphi\left(x_{1}\right)$ пишем 1 и т. д.) Согласно следствию $4.3 .3,\langle 1234)^{T} \leqslant 0$, поэтому После симметризации по всем переменным имеем Из элементарных свойств функции Грина $(-\Delta+a)^{-1}(x, y)$ находим, что Подстановка этого выражения в нашу оценку (17.3.2) величины $-\langle 1234\rangle^{T}$ дает $\lambda_{\text {физ }} \leqslant$ const $m^{-4} \chi^{-2}$. Используя сделанное выше допущение о перенормировке величнны поля, получаем оценку из которой и следует утверждение теоремы: $\lambda_{\text {физ }} \leqslant$ const. Определим теперь немного более общую константу связи $\lambda_{l}$ в модели $\varphi^{4}$; мы покажем, что изложенный выше анализ дает и оценку константы $\lambda_{l}$. Обрезание по частицам определяется как умножение каждой (внешней) переменной четырехточечной функции на величину $m^{2}-\left.p^{2}\right|_{p=0}=m^{2}$. Обрезание пропагатора выражается, как и раньше, в умножении на $\chi^{-1}$. Определим $\lambda_{l}$ соотношением В $\lambda_{l}$ к $l$ внешним отросткам применено обрезание пропагатора, а к 4 — $l$ отросткам — обрезание по частицам. Как показано выше, $\left(m^{2} \chi\right)^{-1} \leqslant 1$, так что $\lambda^{4} \leqslant \ldots \leqslant \lambda_{1} \leqslant \lambda_{0}$. Теперь мы видим, что $\lambda_{l} / \lambda_{l+1}=m^{2} \chi$ ограничено, если применимы обычные соображения подобия. В частности, имеет место где $\eta \leqslant 1$ (см. § 17.4), а $O(1)$ — универсальные константы. Тогда где const в этих неравенствах также обозначают универсальные константы. В качестве следующего шага мы установим непрерывность $\lambda_{\text {физ }}$ как функции параметров взаимодействия и константы обрезания. Мы предполагаем, что $m$ остается отделенным от нуля при изменении остальных параметров. Это позволяет сделать скейлинговый предельный переход в критической точке и снять ультрафиолетовое обрезание при некритических значениях константы связп. С помощью преобразования масштаба можно все привести к случаю, когда $m$ фиксировано и равно 1. Чтобы проиллюстрировать идею доказательства, заметим, что $\lambda_{l} / \lambda_{l+1}$ сходится по теореме Лебега о мажорированной сходимости. Поэтому достаточно рассмотреть $\lambda_{0}$. В условиях теоремы 17.3.2 каждая величина $\lambda_{l}$ непрерывно изменяется в предельном переходе, при котором масса $m$ фиксирована и отлична от нуля, а двухточечные и четырехточечные функции $S^{(2)}(x, 0)$ и $S_{T}^{(4)}\left(x_{1}, \ldots, x_{4}\right)$ сходятся поточечно почти всюду. Для того чтобы установить этот факт, воспользуемся, как и ранее, неравенством (17.3.2) для любой перестановки $\left\{i_{1}, \ldots, i_{4}\right\}$ набора индексов $\{1, \ldots, 4\}$. После перестановки и сдвига переменных можно считать, что $i_{v}=v, x_{1}=0$ и $\left|x_{2}-x_{3}\right| \leqslant\left|x_{3}-x_{4}\right|$. Можно также выбрать $m=1$. Тогда Непрерывность $\lambda_{0}$ следует из теоремы Лебега о мажорированной сходимости.
|
1 |
Оглавление
|