Определим безразмерную константу связи модели $\varphi^{4}$ :
\[
\begin{array}{c}
\lambda_{\text {физ }}=-m^{d-4} \chi^{-4} \int\left\langle\varphi\left(x_{1}\right) \cdots \varphi\left(x_{4}\right)\right\rangle^{T} d x_{1} d x_{2} d x_{3}, \\
\chi=\int\left\langle\varphi\left(x_{1}\right) \varphi\left(x_{2}\right)\right\rangle^{T} d x_{1}=\int_{0}^{\infty} d \rho(a) / a,
\end{array}
\]

где
\[
\chi=\int\left\langle\varphi\left(x_{1}\right) \varphi\left(x_{2}\right)\right\rangle^{T} d x_{1}=\int_{0}^{\infty} d \rho(a) / a,
\]
$a$ – квадрат массы, а $d \rho(a)$ – спектральная мера Лемана. По теореме 4.1.1 $\chi \geqslant 0$. Для массивного четного $\varphi^{4}$-взаимодействия в однофазной области $\lambda_{\text {физ }} \geqslant 0$ в силу следствия 4.3.3. Сейчас мы предположим дополнительно, что собственная перенормировка величины поля уже выполнена; в случае изолированной частицы массы $m$ это означает, что $d \rho(a)=\delta\left(a-m^{2}\right) d a$ в окрестности $m^{2}=a$. Докажем теперь, что $\lambda_{\text {физ }}$ ограничена сверху.

Теорема 17.3.1 [Glimm, Jaffe, 1975a]. При сделанных выше предположениях
\[
0 \leqslant \lambda_{\text {физ }} \leqslant \text { const },
\]

где безразмерная константа в правой части не зависит от параметров взаимодействия $\lambda и$ б.

Набросок доказательства. Подробности можно найти в оригннальной работе. Применяя основное неравенство Гриффитса (4.1.1), получаем (вместо $\varphi\left(x_{1}\right)$ пишем 1 и т. д.)
\[
0 \leqslant\langle 1234\rangle-\langle 12\rangle\langle 34\rangle=\langle 1234\rangle^{t}+\langle 13\rangle\langle 24\rangle+\langle 14\rangle\langle 23\rangle .
\]

Согласно следствию $4.3 .3,\langle 1234)^{T} \leqslant 0$, поэтому
\[
0 \leqslant-\langle 1234\rangle^{T} \leqslant\langle 13\rangle\langle 24\rangle+\langle 14\rangle\langle 23\rangle .
\]

После симметризации по всем переменным имеем
\[
\begin{aligned}
-\langle 1234\rangle^{T} \leqslant(\langle 13\rangle\langle 24\rangle+ & \langle 14\rangle(23\rangle)^{1 / 3} \times \\
& \times(\langle 12\rangle\langle 34\rangle+\langle 13\rangle\langle 24\rangle)^{1 / 3}(\langle 14\rangle\langle 23\rangle+\langle 12\rangle\langle 34\rangle)^{1 / 3} .
\end{aligned}
\]

Из элементарных свойств функции Грина $(-\Delta+a)^{-1}(x, y)$ находим, что
\[
\langle x y\rangle=\int_{0}^{\infty}(-\Delta+a)^{-1}(x, y) d \rho(a) \leqslant \operatorname{cons}|\chi| x-\left.y\right|^{-d} \exp (-m|x-y| / 2) .
\]

Подстановка этого выражения в нашу оценку (17.3.2) величины $-\langle 1234\rangle^{T}$ дает $\lambda_{\text {физ }} \leqslant$ const $m^{-4} \chi^{-2}$. Используя сделанное выше допущение о перенормировке величнны поля, получаем оценку
\[
\chi=\int_{m^{2}}^{\infty} d \rho(a) / a \geqslant m^{-2},
\]

из которой и следует утверждение теоремы: $\lambda_{\text {физ }} \leqslant$ const.
Отметим, что окончательная оценка не зависит от $m$ и, следовательно, остается справедливой в пределе $m \rightarrow 0$. Поэтому критическая точка (которая при $d<4$ должна быть устойчивой неподвижной точкой ренормгруппы в инфракрасной области) существует при конечных значениях $\lambda_{\text {физ }}$.

Определим теперь немного более общую константу связи $\lambda_{l}$ в модели $\varphi^{4}$; мы покажем, что изложенный выше анализ дает и оценку константы $\lambda_{l}$. Обрезание по частицам определяется как умножение каждой (внешней) переменной четырехточечной функции на величину $m^{2}-\left.p^{2}\right|_{p=0}=m^{2}$. Обрезание пропагатора выражается, как и раньше, в умножении на $\chi^{-1}$. Определим $\lambda_{l}$ соотношением
\[
0 \leqslant \lambda_{l}=-m^{d+4} \int\langle 1234\rangle^{T} d x_{1} d x_{2} d x_{3}\left(m^{-2} \chi^{-1}\right)^{l} .
\]

В $\lambda_{l}$ к $l$ внешним отросткам применено обрезание пропагатора, а к 4 – $l$ отросткам – обрезание по частицам. Как показано выше, $\left(m^{2} \chi\right)^{-1} \leqslant 1$, так что $\lambda^{4} \leqslant \ldots \leqslant \lambda_{1} \leqslant \lambda_{0}$.
Выше мы показали также, что
\[
\lambda_{\text {физ }} \equiv \lambda_{4} \leqslant \lambda_{2}=m^{4} \chi^{2} g=-m^{d} \int G^{(4)} / \chi^{2} \leqslant \text { const. }
\]

Теперь мы видим, что $\lambda_{l} / \lambda_{l+1}=m^{2} \chi$ ограничено, если применимы обычные соображения подобия. В частности, имеет место
Теорема 17.3.2 [Glimm, Jaffe, 1980]. Допустим, что для однофазной модели $\varphi^{4}$ выполнены условия
\[
\begin{aligned}
F(x) & \equiv m^{-d+2}\langle\varphi(0) \varphi(x / m)\rangle \leqslant \\
& \leqslant\left\{\begin{array}{lll}
O(1)|x|^{-(d-1) / 2} e^{-|x|} & \text { npu } & |x| \geqslant 1, \\
O(1)|x|^{-d+2-\eta} & \text { npu } & |x| \leqslant 1,
\end{array}\right.
\end{aligned}
\]

где $\eta \leqslant 1$ (см. § 17.4), а $O(1)$ – универсальные константы. Тогда
\[
m^{2} \chi \leqslant \text { const } u \quad 0 \leqslant \lambda_{4} \leqslant \lambda_{3} \leqslant \lambda_{2} \leqslant \lambda_{0} \leqslant \text { const, }
\]

где const в этих неравенствах также обозначают универсальные константы.
Замечание. Все $\lambda_{l}$ одновременно отличны от нуля либо одновременно равны нулю. В последнем случае, и только в нем, теория описывает обобщенное свободное поле. Заключительное утверждение следует из работы [Newman, 1975b].

В качестве следующего шага мы установим непрерывность $\lambda_{\text {физ }}$ как функции параметров взаимодействия и константы обрезания. Мы предполагаем, что $m$ остается отделенным от нуля при изменении остальных параметров. Это позволяет сделать скейлинговый предельный переход в критической точке и снять ультрафиолетовое обрезание при некритических значениях константы связп. С помощью преобразования масштаба можно все привести к случаю, когда $m$ фиксировано и равно 1.

Чтобы проиллюстрировать идею доказательства, заметим, что $\lambda_{l} / \lambda_{l+1}$ сходится по теореме Лебега о мажорированной сходимости. Поэтому достаточно рассмотреть $\lambda_{0}$. В условиях теоремы 17.3.2 каждая величина $\lambda_{l}$ непрерывно изменяется в предельном переходе, при котором масса $m$ фиксирована и отлична от нуля, а двухточечные и четырехточечные функции $S^{(2)}(x, 0)$ и $S_{T}^{(4)}\left(x_{1}, \ldots, x_{4}\right)$ сходятся поточечно почти всюду.

Для того чтобы установить этот факт, воспользуемся, как и ранее, неравенством (17.3.2) для любой перестановки $\left\{i_{1}, \ldots, i_{4}\right\}$ набора индексов $\{1, \ldots, 4\}$. После перестановки и сдвига переменных можно считать, что $i_{v}=v, x_{1}=0$ и $\left|x_{2}-x_{3}\right| \leqslant\left|x_{3}-x_{4}\right|$. Можно также выбрать $m=1$. Тогда
\[
\begin{aligned}
\int F\left(x_{1}-x_{2}\right) & F\left(x_{3}-x_{4}\right) d x_{2} d x_{3} d x_{4} \leqslant \\
& \leqslant \int_{\left|x_{2}-x_{3}\right| \leqslant\left|x_{3}-x_{1}\right|} F\left(x_{3}-x_{4}\right) F\left(x_{2}\right) d\left(x_{2}-x_{3}\right) d\left(x_{3}-x_{4}\right) d x_{2} \leqslant \\
& \leqslant \int x^{d} F(x) d x \int F(x) d x<\infty .
\end{aligned}
\]

Непрерывность $\lambda_{0}$ следует из теоремы Лебега о мажорированной сходимости.