Для модели Изинга при низких температурах можно без большого труда провести анализ структуры фаз, как в § 5.1-5.2, на математическом уровне строгости. Доказательства поучительны, поскольку в них выявлены типичные конфигурации для двух $(\pm )$ чистых фаз. Обсудим вначале модель капли, на которую эти доказательства будут опираться.

В $d$-мерной модели Изинга конфигурации задаются функциями ${\sigma }_i:Z^d\to Z_2$, приписывающими знак «十» или «-» каждому узлу решетки $i\in Z^d$. При низких температурах имеется сильная тенденция к совпадению знаков в соседних узлах. В соответствии с

Рис. 5.4.
этим удобнее описывать конфигурации другим способом, эквивалентным первому. Вместо того чтобы следить за областями
$$X_{\pm }=\{i\in Z^d:{\sigma }_i=\pm 1\},$$

мы будем следить за множеством $\partial X\equiv \partial X_{+}=\partial X_{-}$граничных элементов, разделяющих спины противоположных знаков. Точнее, рассмотрим ребро $i,i^{\prime }$ (т. е. отрезок, соединяющий соседние узлы $i,i^{\prime }$, для которого ${\sigma }_i{\sigma }_{i^{\prime }}=-1$ ). Тогда $\partial X$ содержит элемент гиперповерхности двойственной решетки, перпендикулярный этому ребру (рис. 5.4). Каждому множеству границ фаз дX отвечают ровно две конфигурации (переходящие одна в другую при изменении знаков всех спинов).

При низких температурах описание конфигураций с помощью границ фаз предпочтительнее. Действительно, число границ фаз невелико, и их вклад в статистику типичных конфигураций можно рассматривать как малое возмущение по отношению к случаю нулевой температуры, когда разрешены только две конфигурации $({\sigma }_i\equiv 1$ и ${\sigma }_i\equiv -1)$. В соответствии с этой картиной типичные конфигурации при низких температурах представляют собой море спинов одного знака (например, +) и случайные изолированные острова спинов противоположного знака. Типичные острова имеют небольшие размеры и целиком заполнены слинами противоположного знака, однако с меньшей вероятностью найдутся большие острова, которые могут содержать подострова («озера») спинов основного знака, и т. д. Конфигурации, в которых доминирует знак «-», относятся к фазе «-». Любая мера в бесконечном объеме, построенная как предел мер в конечных объемах, должна быть смесью фаз «十» и «-», как в (5.1.1). Состав смеси, т. е. параметр $\alpha$ в (5.1.1), зависит от подробностей предельного перехода $V\uparrow \mathrm{\infty }$ и особенно от граничных условий. При $\alpha =0$ или $\alpha =1$ смешанная фаза становится чистой фазой. Случай $d=1$ исключительный; при $d=1$ дополнение к островам фаз несвязно, и, более того, при температурах $T>0(\beta <\mathrm{\infty })$ фазового перехода не происходит.

Переходя к количественным оценкам, напомним, что гамильтониан модели Изинга $H_A=-\beta \sum _{\text{б. с. }}{\sigma }_i{\sigma }_{i^{\prime }}$ определяет в любой ограниченной области $\mathrm{\Lambda }$ меру
$$\begin{array}{rl}d{\mu }_{\mathrm{\Lambda }}& =Z_{\mathrm{\Lambda }}^{-1}{e}^{-H_{\mathrm{\Lambda }}}\prod _{i\in \mathrm{\Lambda }}\delta ({\sigma }_i^2-1)d{\sigma }_i,\\ Z_{\mathrm{\Lambda }}& =\int e^{-H_{\mathrm{\Lambda }}}\prod _{i\in \mathrm{\Lambda }}\delta ({\sigma }_i^2-1)d{\sigma }_i.\end{array}$$

Мера в бесконечном объеме $d\mu$ была построена в $\mathrm{\$}4.2$. Записав $H$ как функцию границы фаз $\gamma$ и ее площади $|\gamma |$ (или длины при $d=2$ ), получаем, что $H=H(\gamma )=2\beta |\gamma |$. При этом мы вычли из гамильтониана $H$ константу
$$H_{min}=\underset{\sigma }{min}H(\sigma )=-\beta \sum _{\sigma .c}1.$$

Так как эта константа содержится и в числителе, и в знаменателе выражения для $d{\mu }_{\mathrm{\Lambda }}$, ее вычитание не меняет ни меры $d{\mu }_{\mathrm{\Lambda }}$ ни физического смысла $H$.

Рассмотрим теперь другие конфигурации с границей фаз $\partial X$. Пусть $\gamma$ обозначает также событие (т. е. множество конфигураций) $\gamma \subset \partial X$. Тогда
$$\mathrm{Pr}(\gamma )=\sum _{\partial X\supset \gamma }{e}^{-H(\partial X)}/\sum _{\partial X}{e}^{-H(\partial X)}$$

где $\partial X$ пробегает всевозможные границы фаз или, другими словами, все конфигурации спинов.
Предложение 5.4.1. Рг $(\gamma )⩽e^{-2\beta |\gamma |}$.
Доказательство. Пусть $\partial X\supset \gamma$; обозначим $(\partial X)\ast$ конфигурацию, получаемую при переворачивании всех спинов внутри $\gamma$. При этом из границы фаз исключается $\gamma$, т. е. $(\partial X{)}^{\ast }=\partial X\mathrm{\setminus }\gamma$. Поэтому
$$e^{-H(\partial X)}/e^{-H(i\partial X{)}^{\ast })}=e^{-2\beta |\gamma |}.$$

Отображение $\partial X⟷(\partial X)$ * взаимно однозначно отображает подмножество границ фаз $\partial X$, содержащих $\gamma$, на подмножество этих границ, не содержащих $\gamma$. Образ состоит в точности из таких границ фаз $\partial Y$, что $\partial Y\cap \gamma =\varnothing$, поскольку
для таких $\partial Y$ мы можем вновь перевернуть все спины внутри $\gamma$ и получить $\partial X=\partial YU\gamma$, а следовательно, $\partial Y=(\partial X{)}^{\ast }$. Таким образом, опуская положнтельные члены в знаменателе, получаек неравенство
$$\begin{array}{rl}\mathrm{Pr}(\gamma )& =\frac{\sum _{\partial X}{e}^{-H(\partial X)}}{\sum _{\partial Y}{e}^{-H(\partial Y)}}⩽\frac{\sum _{\partial X\supset \gamma }{e}^{-H(\partial X)}}{\sum _{\partial Y\eta \gamma =\varnothing }{e}^{-H(\partial Y)}}=\\ & =\frac{\sum _{\partial X\gamma }{e}^{-H(\partial X)}}{\sum _{(\partial X{)}^{\ast }}{e}^{-H((\partial X{)}^{\gamma })}}=e^{-2\beta |\gamma |}\end{array}$$

Рассмотрим теперь случай граничных условий (+). Пусть $d{\mu }_{\mathrm{\Lambda }}^{+}$-мера, соответствующая граничным условиям ${\sigma }_i\equiv +1$ при $iotin\mathrm{\Lambda }$, а $⟨\cdot {⟩}_{+}\mathrm{\Lambda }$ — среднее по этой мере.
Предложение 5.4.2. При достаточно большом $\beta ud⩾2$
$$0⩽1-{⟨{\sigma }_i⟩}_{+,\mathrm{\Lambda }}⩽e^{-\beta }.$$

Доказательство. $1-⟨{\sigma }_i⟩=⟨1-{\sigma }_i⟩$, поэтому ненулевой вклад вносят только конфигурации с ${\sigma }_l=-1$. Для любой такой конфигурации с границей фаз $\partial X$ найдется $\gamma \subset \partial X$, содержацее внутри себя узел $i$. Пусть $\gamma (\partial X)$ — наименышее из таких $\gamma$. Тогда
$$1-⟨{\sigma }_i⟩=2\sum _{\gamma (\partial X:\gamma (\partial X)=\gamma \}}{e}^{-H(\partial X)}/\sum _{\partial X}{e}^{-H(\partial X)}.$$

В числителе суммирование проводится сначала по $\partial X$ с фиксированным наименьшим $\gamma$, а затем по всем таким $\gamma$. Отношение только увеличнтся от добавления к числителю положительных членов, поэтому первую сумму заменим суммой по $\{\partial X:\partial X\supset \gamma \}$. Эта сумма является числителем в $\mathrm{Pr}(\gamma )$, следовательно:
$$1-⟨{\sigma }_i⟩⩽\frac{2\sum _{\gamma }\sum _{\partial X}{e}^{-H(\partial X)}}{\sum _{\partial X}{e}^{-H(\partial X)}}=2\sum _{\gamma }\mathrm{Pr}(\gamma )⩽2\sum _{\gamma }{e}^{-2\beta |\gamma |}.$$

Пусть $N(|\gamma |)$ — число различных границ фаз $\gamma$ площади $|\gamma |$ (или длины $|\gamma |$ при $d=2$ ), содержащих $i$. Число допустимых сдвигов для $\gamma$ не превосходит $|\gamma {|}^d$, так как $\gamma$ должно содержаться внутри $d$-мерного куба с центром в $i$ и длиной ребра $|\gamma |$. Начав с любого элемента $\gamma$ и пристранвая каждый раз один элемент гиперповерхности, получим, что число различных типов $\gamma$ не больше $c|\gamma |$ где $c=c(d)$. Таким образом, $N(|\gamma |)⩽|\gamma {|}^d{c}^{|\gamma |}$ и при достаточно больших $\beta$
$$1-⟨{\sigma }_i⟩⩽2\sum _{r=4}^{\mathrm{\infty }}{r}^d{c}^r{e}^{-2\beta r}⩽e^{-\beta }.$$

Заметим, что случай $d=1$ исключительный. В этом случае $|\gamma |$ есть число точек в $\gamma ,\gamma$ несвязно, и поэтому $N(|\gamma |)$ не ограничено при $|\gamma |=2$.

Круг идей, изложенных в этом параграфе, важен и в квантовой теории поля, что иллюстрирует рис. 5,5. Рассмотрим взаимодействие ${\phi }^4-{\phi }^2$, изображенное на рис. 5.1. Классическое основное состояние (отвечающее нулевой температуре) определяется конфигурацией поля, принимающей постоянные значения. Мы опишем типичные конфигурации поля, вносящие вклад в квантовое (т. е.

Рис. 5.5. Типичная конфигурация, отвечающая (а) вакуумному состоянию, (b) односолитонному состоянию. Здесь $A$ — солитонный переход, $B$ — флуктуации, соответствующие второму вакууму, $C$ — флуктуации внутри отдельного вакуума.

отвечающее положительной температуре) основное состояние. Преобладающие конфигурации близки к классическим из-за множителя $e^{-\mathcal{A}}$ в статистическом весе, однако они содержат различные флуктуации. На рис. 5.5(a) изображена конфигурация, содержащая флуктуации двух типов. Флуктуации малого масштаба это флуктуации внутри одного из колодцев W-образного потенциала, изображенного на рис. 5.1. Они описываются в рамках теории среднего поля, изложенной в § 5.2. Флуктуации большого масштаба отвечают туннельному переходу из одного колодца в другой. Они описываются изинговыми флуктуациями и моделью капли, рассмотренными в этом параграфе. На рис. 5.5(b) представлена конфигурация, относящаяся к солитонному (одночастичному) возбуждению вакуума. Рассмотрим вначале классическое стационарное (солитонное) решение уравнения
$${\phi }_{tt}-{\phi }_{xx}+P^{\prime }(\phi )=0,$$

а именно $\phi (x)=a$ th $bx$. Изображенная конфигурация отличается от классического решения флуктуациями большого и малого масштаба, как и в случае вакуумной конфигурации. Рис. 5.5 поясняют фазовые переходы в квантовой теории поля, изучаемые в гл. 16, а также высокотемпературные и низкотемпературные кластерные разложения, которые будут обсуждаться в гл. 18 и § 20.5 .