Для модели Изинга при низких температурах можно без большого труда провести анализ структуры фаз, как в § 5.1-5.2, на математическом уровне строгости. Доказательства поучительны, поскольку в них выявлены типичные конфигурации для двух $( \pm)$ чистых фаз. Обсудим вначале модель капли, на которую эти доказательства будут опираться.

В $d$-мерной модели Изинга конфигурации задаются функциями $\sigma_{i}: Z^{d} \rightarrow Z_{2}$, приписывающими знак «十» или «-» каждому узлу решетки $i \in Z^{d}$. При низких температурах имеется сильная тенденция к совпадению знаков в соседних узлах. В соответствии с

Рис. 5.4.
этим удобнее описывать конфигурации другим способом, эквивалентным первому. Вместо того чтобы следить за областями
\[
X_{ \pm}=\left\{i \in Z^{d}: \quad \sigma_{i}= \pm 1\right\},
\]

мы будем следить за множеством $\partial X \equiv \partial X_{+}=\partial X_{-}$граничных элементов, разделяющих спины противоположных знаков. Точнее, рассмотрим ребро $i, i^{\prime}$ (т. е. отрезок, соединяющий соседние узлы $i, i^{\prime}$, для которого $\sigma_{i} \sigma_{i^{\prime}}=-1$ ). Тогда $\partial X$ содержит элемент гиперповерхности двойственной решетки, перпендикулярный этому ребру (рис. 5.4). Каждому множеству границ фаз дX отвечают ровно две конфигурации (переходящие одна в другую при изменении знаков всех спинов).

При низких температурах описание конфигураций с помощью границ фаз предпочтительнее. Действительно, число границ фаз невелико, и их вклад в статистику типичных конфигураций можно рассматривать как малое возмущение по отношению к случаю нулевой температуры, когда разрешены только две конфигурации $\left(\sigma_{i} \equiv 1\right.$ и $\left.\sigma_{i} \equiv-1\right)$. В соответствии с этой картиной типичные конфигурации при низких температурах представляют собой море спинов одного знака (например, +) и случайные изолированные острова спинов противоположного знака. Типичные острова имеют небольшие размеры и целиком заполнены слинами противоположного знака, однако с меньшей вероятностью найдутся большие острова, которые могут содержать подострова («озера») спинов основного знака, и т. д. Конфигурации, в которых доминирует знак «-», относятся к фазе «-». Любая мера в бесконечном объеме, построенная как предел мер в конечных объемах, должна быть смесью фаз «十» и «-», как в (5.1.1). Состав смеси, т. е. параметр $\alpha$ в (5.1.1), зависит от подробностей предельного перехода $V \uparrow \infty$ и особенно от граничных условий. При $\alpha=0$ или $\alpha=1$ смешанная фаза становится чистой фазой. Случай $d=1$ исключительный; при $d=1$ дополнение к островам фаз несвязно, и, более того, при температурах $T>0(\beta<\infty)$ фазового перехода не происходит.

Переходя к количественным оценкам, напомним, что гамильтониан модели Изинга $H_{A}=-\beta \sum_{\text {б. с. }} \sigma_{i} \sigma_{i^{\prime}}$ определяет в любой ограниченной области $\Lambda$ меру
\[
\begin{aligned}
d \mu_{\Lambda} & =Z_{\Lambda}^{-1} e^{-H_{\Lambda}} \prod_{i \in \Lambda} \delta\left(\sigma_{i}^{2}-1\right) d \sigma_{i}, \\
Z_{\Lambda} & =\int e^{-H_{\Lambda}} \prod_{i \in \Lambda} \delta\left(\sigma_{i}^{2}-1\right) d \sigma_{i} .
\end{aligned}
\]

Мера в бесконечном объеме $d \mu$ была построена в $\$ 4.2$. Записав $H$ как функцию границы фаз $\gamma$ и ее площади $|\gamma|$ (или длины при $d=2$ ), получаем, что $H=H(\gamma)=2 \beta|\gamma|$. При этом мы вычли из гамильтониана $H$ константу
\[
H_{\min }=\min _{\sigma} H(\sigma)=-\beta \sum_{\sigma . c} 1 .
\]

Так как эта константа содержится и в числителе, и в знаменателе выражения для $d \mu_{\Lambda}$, ее вычитание не меняет ни меры $d \mu_{\Lambda}$ ни физического смысла $H$.

Рассмотрим теперь другие конфигурации с границей фаз $\partial X$. Пусть $\gamma$ обозначает также событие (т. е. множество конфигураций) $\gamma \subset \partial X$. Тогда
\[
\operatorname{Pr}(\gamma)=\sum_{\partial X \supset \gamma} e^{-H(\partial X)} / \sum_{\partial X} e^{-H(\partial X)}
\]

где $\partial X$ пробегает всевозможные границы фаз или, другими словами, все конфигурации спинов.
Предложение 5.4.1. Рг $(\gamma) \leqslant e^{-2 \beta|\gamma|}$.
Доказательство. Пусть $\partial X \supset \gamma$; обозначим $(\partial X) *$ конфигурацию, получаемую при переворачивании всех спинов внутри $\gamma$. При этом из границы фаз исключается $\gamma$, т. е. $(\partial X)^{*}=\partial X \backslash \gamma$. Поэтому
\[
e^{-H(\partial X)} / e^{\left.-H(i \partial X)^{*}\right)}=e^{-2 \beta|\gamma|} .
\]

Отображение $\partial X \longleftrightarrow(\partial X)$ * взаимно однозначно отображает подмножество границ фаз $\partial X$, содержащих $\gamma$, на подмножество этих границ, не содержащих $\gamma$. Образ состоит в точности из таких границ фаз $\partial Y$, что $\partial Y \cap \gamma=\varnothing$, поскольку
для таких $\partial Y$ мы можем вновь перевернуть все спины внутри $\gamma$ и получить $\partial X=\partial Y U \gamma$, а следовательно, $\partial Y=(\partial X)^{*}$. Таким образом, опуская положнтельные члены в знаменателе, получаек неравенство
\[
\begin{aligned}
\operatorname{Pr}(\gamma) & =\frac{\sum_{\partial X} e^{-H(\partial X)}}{\sum_{\partial Y} e^{-H(\partial Y)}} \leqslant \frac{\sum_{\partial X \supset \gamma} e^{-H(\partial X)}}{\sum_{\partial Y \eta \gamma=\varnothing} e^{-H(\partial Y)}}= \\
& =\frac{\sum_{\partial X \gamma} e^{-H(\partial X)}}{\sum_{(\partial X)^{*}} e^{-H\left((\partial X)^{\gamma}\right)}}=e^{-2 \beta|\gamma|}
\end{aligned}
\]

Рассмотрим теперь случай граничных условий (+). Пусть $d \mu_{\Lambda}^{+}$-мера, соответствующая граничным условиям $\sigma_{i} \equiv+1$ при $i
otin \Lambda$, а $\langle\cdot\rangle_{+} \Lambda$ – среднее по этой мере.
Предложение 5.4.2. При достаточно большом $\beta u d \geqslant 2$
\[
0 \leqslant 1-\left\langle\sigma_{i}\right\rangle_{+, \Lambda} \leqslant e^{-\beta} .
\]

Доказательство. $1-\left\langle\sigma_{i}\right\rangle=\left\langle 1-\sigma_{i}\right\rangle$, поэтому ненулевой вклад вносят только конфигурации с $\sigma_{l}=-1$. Для любой такой конфигурации с границей фаз $\partial X$ найдется $\gamma \subset \partial X$, содержацее внутри себя узел $i$. Пусть $\gamma(\partial X)$ – наименышее из таких $\gamma$. Тогда
\[
1-\left\langle\sigma_{i}\right\rangle=2 \sum_{\gamma(\partial X: \gamma(\partial X)=\gamma\}} e^{-H(\partial X)} / \sum_{\partial X} e^{-H(\partial X)} .
\]

В числителе суммирование проводится сначала по $\partial X$ с фиксированным наименьшим $\gamma$, а затем по всем таким $\gamma$. Отношение только увеличнтся от добавления к числителю положительных членов, поэтому первую сумму заменим суммой по $\{\partial X: \partial X \supset \gamma\}$. Эта сумма является числителем в $\operatorname{Pr}(\gamma)$, следовательно:
\[
1-\left\langle\sigma_{i}\right\rangle \leqslant \frac{2 \sum_{\gamma} \sum_{\partial X} e^{-H(\partial X)}}{\sum_{\partial X} e^{-H(\partial X)}}=2 \sum_{\gamma} \operatorname{Pr}(\gamma) \leqslant 2 \sum_{\gamma} e^{-2 \beta|\gamma|} .
\]

Пусть $N(|\gamma|)$ – число различных границ фаз $\gamma$ площади $|\gamma|$ (или длины $|\gamma|$ при $d=2$ ), содержащих $i$. Число допустимых сдвигов для $\gamma$ не превосходит $|\gamma|^{d}$, так как $\gamma$ должно содержаться внутри $d$-мерного куба с центром в $i$ и длиной ребра $|\gamma|$. Начав с любого элемента $\gamma$ и пристранвая каждый раз один элемент гиперповерхности, получим, что число различных типов $\gamma$ не больше $c|\gamma|$ где $c=c(d)$. Таким образом, $N(|\gamma|) \leqslant|\gamma|^{d} c^{|\gamma|}$ и при достаточно больших $\beta$
\[
1-\left\langle\sigma_{i}\right\rangle \leqslant 2 \sum_{r=4}^{\infty} r^{d} c^{r} e^{-2 \beta r} \leqslant e^{-\beta} .
\]

Заметим, что случай $d=1$ исключительный. В этом случае $|\gamma|$ есть число точек в $\gamma, \gamma$ несвязно, и поэтому $N(|\gamma|)$ не ограничено при $|\gamma|=2$.

Круг идей, изложенных в этом параграфе, важен и в квантовой теории поля, что иллюстрирует рис. 5,5. Рассмотрим взаимодействие $\varphi^{4}-\varphi^{2}$, изображенное на рис. 5.1. Классическое основное состояние (отвечающее нулевой температуре) определяется конфигурацией поля, принимающей постоянные значения. Мы опишем типичные конфигурации поля, вносящие вклад в квантовое (т. е.

Рис. 5.5. Типичная конфигурация, отвечающая (а) вакуумному состоянию, (b) односолитонному состоянию. Здесь $A$ – солитонный переход, $B$ – флуктуации, соответствующие второму вакууму, $C$ – флуктуации внутри отдельного вакуума.

отвечающее положительной температуре) основное состояние. Преобладающие конфигурации близки к классическим из-за множителя $e^{-\mathscr{A}}$ в статистическом весе, однако они содержат различные флуктуации. На рис. 5.5(a) изображена конфигурация, содержащая флуктуации двух типов. Флуктуации малого масштаба это флуктуации внутри одного из колодцев W-образного потенциала, изображенного на рис. 5.1. Они описываются в рамках теории среднего поля, изложенной в § 5.2. Флуктуации большого масштаба отвечают туннельному переходу из одного колодца в другой. Они описываются изинговыми флуктуациями и моделью капли, рассмотренными в этом параграфе. На рис. 5.5(b) представлена конфигурация, относящаяся к солитонному (одночастичному) возбуждению вакуума. Рассмотрим вначале классическое стационарное (солитонное) решение уравнения
\[
\varphi_{t t}-\varphi_{x x}+P^{\prime}(\varphi)=0,
\]

а именно $\varphi(x)=a$ th $b x$. Изображенная конфигурация отличается от классического решения флуктуациями большого и малого масштаба, как и в случае вакуумной конфигурации. Рис. 5.5 поясняют фазовые переходы в квантовой теории поля, изучаемые в гл. 16, а также высокотемпературные и низкотемпературные кластерные разложения, которые будут обсуждаться в гл. 18 и § 20.5 .