Қластерными разложениями в статистической механике называют различные разложения в сходящиеся ряды для изучения мер $d \mu$, задаваемых либо формулой (2.1.5), либо формулой (2.3.5). Главный член разложения соответствует случаю невзаимодействующих частиц, т. е. произведению мер; последующие члены учитывают взаимодействие. Разложение сходится в области малых взаимодействий. Такого рода методы весьма полезны при исследовании решеточных полей, моделей Изинга, евклидовых квантовых полей (см. часть III). В этом параграфе мы проиллюстрируем метод на примере большого канонического ансамбля (2.2.20) для неидеального газа. Главный член в этом разложении соответствует идеальному газу.

Мы покажем, что давление $p$, определяемое выражением $(2.2 .25)$, является гладкой функцией от $z$ и $\beta$ в области малых $z$ или малых $\beta$. Малые значения $\beta$ соответствуют высокой температуре, а малая активность отвечает малой плотности. Таким образом, будет доказано, что в газе при малой плотности или высокой температуре не происходит фазового перехода (т. е. газ не переходит в жидкое состояние). Использованные при доказательстве разложения позволят описать все свойства газа в этой области параметров. Мы покажем, что
\[
\beta p=\sum_{n=1}^{\infty} b_{n} z^{n}
\]

где $b_{n}$ выражаются в явном виде как интегралы по $R^{3(n-1)}$. Ряд (2.4.1) называется рядом Майера. Мы докажем сходимость этого ряда, откуда будет следовать аналитичность $p$ при малых $\beta$ или $z$ :
Сделаем два предположения:
$\|V\|_{L_{1}}=\int|V(\xi)| d \xi<\infty$ (короткодействующий потенциал); (2.4.2a)
существует положительная константа $B$, такая, что
\[
\inf _{\xi_{i} \in R^{\prime} 1 \leqslant i<j \leqslant n} V\left(\xi_{i}-\xi_{j}\right) \geqslant-n B \text { (устойчивость). }
\]

Предложение 2.4.1. $\Xi_{\Lambda}$ является целой функцией от $z$.
Это утверждение доказывается подстановкой (2.4.2b) в (2.2.20). Оно отражает тот факт, что в конечных системах нет фазовых переходов. Однако это утверждение становится совершенно бесполезным при переходе к пределу $\Lambda \uparrow R^{3}$. Для того чтобы контролировать этот предельный переход, необходимо воспользоваться тем, что различные частицы почти независимы. Для этого прологарифмируем $\boldsymbol{E}_{\Lambda}$ и поделим на $|\Lambda|$ в $(2.2 .25)$. Пусть
\[
Z_{\Lambda}^{(n)}=\frac{1}{n !} \int_{\Lambda^{n}} \exp \left(-\beta \sum_{1 \leqslant i<j \leqslant n} V\left(\xi_{i}-\xi_{j}\right)\right) \prod_{i=1}^{n} d \xi_{i},
\]

так что
\[
\boldsymbol{\Xi}_{\Lambda}=\sum z^{n} Z_{\Lambda}^{(n)} .
\]

В дальнейшем мы построим величины $K_{\Lambda}^{(i)}$ так, чтобы выполнялось соотношение
\[
Z_{\Lambda}^{(n)}=\sum_{1 \leqslant i \leqslant n} \frac{i}{n} K_{\Lambda}^{(i)} Z_{\Lambda}^{(n-i)} .
\]

Предложение 2.4.2. Пусть выполнено (2.4.5) $и\left|K_{\Lambda}^{(n)}\right| \leqslant e^{O(n)} ;$ тогда
\[
\Xi_{\Lambda}=\exp \left(\sum_{n=1}^{\infty} z^{n} K_{\Lambda}^{(n)}\right) \text {. }
\]

Замечание. Из (2.4.6) следует, что
\[
b_{n}=\lim _{\Lambda \uparrow R^{3}}|\Lambda|^{-1} K_{\Lambda}^{(n)}
\]

являются искомыми коэффициентами ряда (2.4.1). Мы покажем, чTO
\[
b_{1}=1, \quad b_{2}=-\frac{\beta}{2} \int_{0}^{1} d s \int d \xi V(\xi) e^{-\beta s V(\xi)} .
\]

Доказательство. Умножив (2.4.5) на $n z^{n}$ и просуммировав по $n$, получим, что
\[
z \frac{d}{d z} \mathrm{E}_{\Lambda}=\left(\sum_{i=1}^{\infty} i z^{i} K_{\Lambda}^{(i)}\right) \Xi_{\Lambda} .
\]

Так как $\exp \left(\sum_{n=1}^{\infty} z^{n} K_{\Lambda}^{(n)}\right)$ удовлетворяет этому уравнению, мы получаем (2.4.6).

Рекуррентное уравнение (2.4.5) отвечает последовательному отщеплению одной частицы от остальных. Это уравнение и величины $K_{\boldsymbol{\Lambda}}^{(i)}$ играют центральную роль в построении кластерного разложения. Для вывода уравнения и нахождения в явном виде коэффициентов $K_{\Lambda}^{(i)}$ введем параметры $s_{j}, 0 \leqslant s_{j} \leqslant 1$, линсйно интерполирующие взаимодействие между нулевым ( $s_{j}=0$ ) и полным взаимодействием ( $s_{j}=1$ ). Параметр $s_{j}$ приписывается взаимодействиям $V\left(\xi_{i}-\xi_{k}\right)$ между всеми частицами с номерами $i$ I $k, i \leqslant j<k$. Он изменяет взаимодействие следующим образом: для $i \leqslant j<k$
\[
V\left(\xi_{i}-\xi_{k}\right) \rightarrow s_{j} V\left(\xi_{i}-\xi_{k}\right)=\left(1-s_{j}\right) \cdot 0+s_{j} V\left(\xi_{i}-\xi_{k}\right),
\]

для $i, k \leqslant j$ и $j<i, k$
\[
V\left(\xi_{i}-\xi_{k}\right) \rightarrow V\left(\xi_{i}-\xi_{k}\right)=\left(1-s_{j}\right) V\left(\xi_{i}-\xi_{k}\right)+s_{j} V\left(\xi_{i}-\xi_{k}\right) .
\]

Заметим, что потенциал (2.4.8) является выпуклой суммой потенциалов $V_{i k}$. Каждое слагаемое, а следовательно, и их выпуклая сумма удовлетворяют условию устойчивости (2.4.2b):
\[
\inf _{\xi 1 \leqslant i<j \leqslant n} V_{i j}\left(\xi_{i}-\xi_{j}\right) \geqslant-n B .
\]

Выполнив указанное преобразование для всех $s_{j}, 1 \leqslant j \leqslant n-1$, получим $n$-частичную потенциальную энергию
\[
W^{(n)}\left(\sigma_{n-1}\right)=\sum_{1 \leqslant i} s_{i} \ldots s_{j-1} V\left(\xi_{i}-\xi_{j}\right),
\]

где $\sigma_{n-1}=\left\{s_{1}, \ldots, s_{n-1}\right\}$. Следующее предложение очевидно.
Предложение 2.4.3. $W^{(n)}\left(\sigma_{n-1}\right) \geqslant-n B$.
Перейдем теперь к выводу уравнения (2.4.5). Для произвольной функции $Z^{(n)}\left(\sigma_{n-1}\right)$ по теореме Ньютона – Лейбница имеем
\[
\begin{array}{c}
Z^{(n)}\left(\sigma_{n-1}=1\right)=Z^{(n)}\left(s_{1}=0, s_{2}=\ldots=s_{n-1}=1\right)+ \\
+\int_{0}^{1} d s_{1} \frac{d}{d s_{1}} Z^{(n)}\left(s_{1}, s_{2}=\ldots=s_{n-1}=1\right) .
\end{array}
\]

В частности, пусть
\[
Z^{(n)}\left(\sigma_{n-1}\right)=\frac{1}{n !} \int_{\Lambda^{n}} \exp \left(-\beta W^{(n)}\left(\sigma_{n-1}\right)\right) \prod_{i=1}^{n} d \xi_{i} .
\]

При $s_{1}=0$ величина $Z^{(n)}$ распадается на два множителя, причем при $s_{2}=\ldots=s_{n-1}=1$ один из сомножителей равен $Z_{\Lambda}^{(n-1)}$. Поэтому, если положить $K_{\Lambda}^{(1)}=|\Lambda|$, то первое слагаемое в $(2.4,9)$ даст

—————————————————————-
0014ru_fiz_kvan_book28_no_photo_page-0059.jpg.txt

58
Гл. 2. Классическая статистиеская механика
член с $i=1$ в (2.4.5). Второе слагаемое в (2.4.9) можно переписать так:
\[
\begin{aligned}
\frac{1}{n} \int_{0}^{1} d s_{1} \frac{-\beta}{(n-2) !} \int_{\Lambda^{n}} V\left(\xi_{1}-\xi_{2}\right) \exp (-\beta & \sum_{2 \leqslant i<j \leqslant n} V\left(\xi_{i}-\xi_{j}\right)- \\
& \left.-\beta \sum_{2 \leqslant i \leqslant n} s_{1} V\left(\xi_{1}-\xi_{j}\right)\right) \prod_{i=1}^{n} d \xi_{i} .
\end{aligned}
\]

Мы воспользовались симметрией между последними $n-1$ цастицами и заменили $\sum_{2 \leqslant j \leqslant n} V\left(\xi_{1}-\xi_{j}\right)$ на $(n-1) V\left(\xi_{1}-\xi_{2}\right)$.

Қак и выше, применим теорему Ньютона – Лейбница к переменной $s_{2}$. Слагаемое, отвечающее значению $s_{2}=0, s_{3}=\ldots$ $\ldots=s_{n-1}=1$, равно
\[
\frac{1}{n} \int_{0}^{1} d s_{1}\left(-\beta \int_{\Lambda^{2}} V\left(\xi_{1}-\xi_{2}\right) e^{-\beta s_{1} V\left(\xi_{1}-\xi_{2}\right)} d \xi_{1} d \xi_{2}\right) Z_{\Lambda}^{(n-2)}
\]

и дает член с $i=2$ в (2.4.5), где
\[
K_{\Lambda}^{(2)}=\frac{-\beta}{2} \int_{0}^{1} d s_{1} \int_{\Lambda^{2}} V\left(\xi_{1}-\xi_{2}\right) e^{-\beta s_{1} V\left(\xi_{1}-\xi_{2}\right)} d \xi_{1} d \xi_{2} .
\]

Таким же образом слагаемое, отвечающее $s_{i}=0$, задает $(i / n) K_{\Lambda}^{(i)} Z_{\Lambda}^{(n-i)}$ в $(2.4 .5)$ и определяет $K_{\Lambda}^{(i)}$.

Для нахождения явного выражения для $K_{\Lambda}^{(i)}$ введем граф (дерево), определяемый целочисленной функцией $\eta(l), l=2, \ldots, i$, которая удовлетворяет условию $l \leqslant \eta(l)<l$. Вершинами этого

Pис. 2.1.
графа являются числа $1,2, \ldots, i$, а ребрами-нары $(\eta(l), l)$, $l=2, \ldots, i$, как показано на рис. 2.1. Определим также функцию
\[
f\left(\eta, \sigma_{i-1}\right)=\prod_{l=1}^{i-1} s_{l-1} s_{l-2} \ldots s_{\eta(l+1)},
\]

считая, что при $\eta(l+1)=l$ произведение (пустое) $s_{l-1} s_{l \rightarrow 2} \ldots=1$.

Предложение 2.4.4. Пусть
\[
\begin{array}{l}
K_{\Lambda}^{(i)}= \sum_{\eta} K_{\Lambda}^{(i)}(\eta), \\
K_{\Lambda}^{(i)}(\eta)=\frac{(-\beta)^{i-1}}{i} \int d \sigma_{i-1} \int_{\Lambda^{i}} d \xi f\left(\eta, \sigma_{i-1}\right) \prod_{l=1}^{l-1} V\left(\xi_{l+1}-\xi_{\eta(l+1)}\right) \times \\
\times e^{-\beta W^{(i)}\left(\sigma_{i-1}\right)} .
\end{array}
\]

Тогда выполнено уравнение (2.4.5).
Доказательство такое же, как для случая $K_{\Lambda}^{(1)}, K_{\Lambda}^{(2)}$, и мы его опускаем.
Предложение 2.4.5. Пусть выполнены предположения (2.4.2). Тогда
\[
\left|K_{\Lambda}^{(l)}\right| \leqslant \beta^{i-1}\|V\|_{L_{\mathrm{i}}}^{i-1} e^{i \beta B} \frac{e^{i-1}}{i}|\Lambda| .
\]

Замечание. Таким образом, основной результат о сходимости ряда Майера (2.4.1) при $\Lambda \uparrow R^{3}$ справедлив для $|z| \leqslant\left(e^{\beta B+1} \beta\|V\|_{L_{1}}\right)^{-1}$.
Доказательство. Мы покажем, что
\[
\sum_{\eta} \int d \sigma_{i-1} f\left(\eta, \sigma_{i-1}\right) \leqslant e^{i-1} .
\]

Эта оценка и устойчнвость $W^{(t)}\left(\sigma_{i-1}\right)$ (предложение 2.4.3) завершают доказательство. Прототипом неравенства (2.4.14) послужило неравенство
\[
\int_{0}^{1} d s v e^{s v} \leqslant e^{v} .
\]

Левая часть неравенства (2.4.14) ограничена выражением
\[
\sum_{\eta} \int_{0}^{1} d s_{1} \ldots \int_{0}^{1} d s_{i-1} f\left(\eta, \sigma_{i-1}\right) \exp \left(\sum_{l=1}^{i-1} s_{i-1} \ldots s_{l}\right) .
\]

Используя последовательно (2.4.15) при повторном интегрировании, получаем (2.4.14).

Литературные ссылки
[Friedman, 1962], [Huang, 1963], [Uhlenbeck, Ford, 1963], [Ruelle, 1969], [Lanford, 1973], [Thompson, 1980].