Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Для оценивания функциональных интегралов применяется неравенство Шварца (10.4.2). В этом параграфе мы получим оценки, связанные с использованием метода многократных отражений. Эти оценки получаются при помощи последовательного применения неравенств Шварца, отвечающих последовательности гиперплоскостей П и операторов отражения $\theta_{\text {п. }}$. Мы рассматриваем общую вероятностную меру $d \mu$ на $\mathscr{D}^{\prime}$, удовлетворяющую аксиомам OS $0,2,3$ из § 6.1 (аналитичность преобразования Фурье, инвариантность и положительность при отражениях), или $P(\varphi)_{2}$-меру $d \mu_{\Lambda}$ в конечном объеме, построенную в $\$ 8.6$. В обоих случаях положим $\mathscr{E}=L_{2}\left(\mathscr{D}^{\prime}, d \mu\right)$ и для любого открытого множества $\Lambda \subset R^{d}$ определим $\mathscr{E}(\Lambda)$ как подпространство в $\mathscr{E}$, порожденное функционалами $e^{i \varphi(f)}$, где $\operatorname{supp} f \subset \Lambda$. Так, $\mathscr{E}_{+}=\mathscr{E}\left(R^{d-1} \times(0, \infty)\right)$, а для множеств $\Lambda$ вида $R^{d-1} \times\left(s_{1}, s_{2}\right)$ введем специальное обозначение Оценки по методу многократных отражений применяются в трех разных случаях. При этом возникают различные геометрические конфигурации. Первая конфигурация связана с отражениями $\theta_{\Pi_{v}}, v=1$, $2, \ldots, d$, относительно ортогональных координатных гиперплоскостей. Пусть $\left(R_{+}\right)^{d}$ – первый октант, т. е. множество $\left\{x: x_{v}>0, v=\right.$ $=1,2, \ldots, d\}$. Тогда каждой функции $k \in \mathscr{E}\left(\left(R_{+}\right)^{d}\right)$ соответствует отраженная функция $R(k)$ : Рис. 10.1. Многократные отражения в случае группы решеточных отражений. Предложение 10.5.1. Пусть мера $d \mu$ инвариантна и положительна при отражениях, отвечающих образующим $\theta_{\Pi_{ Гл. 10. Оценки, ме зависяцие от размерности Здесь $v=1,2, \ldots, d$ и $A, B \in \mathscr{E}\left(R^{v-1} \times\left(R_{+}\right)^{d-v+1}\right)$. Положительная определенность скалярных пронзведений следует нз теоремы 10.4.3. Второй геометрической конфигурации отвечают отражения относительно гиперплоскостей, порождаемых решеточными сдвигами некоторой гиперплоскости П. В качестве II возьмем гиперплоскость $t=0$. В этом случае мы изучаем отражения, изображенные на рис. 10.2. Эти отражения порождаются группой цело- Рис. 10.2. Многократные отражения, порожденные целочисленной группой временных трансляцнй. численных временных трансляций. Предположим, что $k \in \mathscr{E}(0, t)$, и определим функцию Здесь $\theta$-отражение относительно гиперплоскости $t=0$, а $k_{s}=$ $=T(s) k T(s)^{-1}$ – функция $k$, сдвинутая по времени на величину $s$. Кроме того, положим Предложение 10.5.2. Пусть мера $d \mu$ удовлетворяет аксиомам OS2-3 (инвариантность и положительность при отражениях). Тогда для $k \in \mathscr{E}(0, t)$ Доказательство. Используя положительность при отраженнях и трансляционную инвариантность меры $d \mu$, получаем с помощью неравенства Шварца, что Дальше продолжаем применять нөравенство Шварца и трансляционную инварпантность. После $r$ применений имеем (подставив $2^{r}=n$ ): Третья геометрическая конфигурация осуществляется тогда, когда носитель функции $k$ содержится внутри единичного куба $\Delta$ (или, в более общем случае, внутри прямоугольника $X \equiv$ $\left.\equiv\left[0, a_{1}\right] \times\left[0, a_{2}\right] \times \ldots \times\left[0, a_{d}\right]\right)$. Тогда, используя полную группу решеточных трансляций, можно обобщить рассмотренную выше картину отражений (10.5.4). Пусть $\mathscr{L}_{n}^{(v)}$ обозначает произведение (10.5.4), построенное вдоль $v$-го координатного направления: Здесь $\theta_{v}=\theta_{\Pi_{v}}$ – отражение относительно гиперплоскости $x_{v}=0$. Заметим, что в случае единичного куба $\Delta$ все $a_{v}=1, v=1,2, \ldots$ …, d. Положим При $d=2$ решетка, порожденная отражениями, изображена на рис. 10.3 . Доказательство. Относительно каждого координатного направления применяем те же соображения, что и при доказательстве предыдущего предложения. В случае трансляционно-инвариантной меры удобно вместо функции $k$ рассматривать оператор $k_{\mathscr{H}}=\hat{k}$, который является оператором умножения на $k$ в гильбертовом пространстве квантовомеханических состояний $\mathscr{C}$. В гл. 6 было определено каноническое вложение функционального пространства $\mathscr{E}+$ в $\mathscr{G}$ : Здесь $\mathscr{P} \subset \mathscr{E}_{+}$есть нуль-пространство положительной при отражениях билинейной формы на $\mathscr{E}_{+}$. Это вложение позволяет по некоторым операторам $\mathcal{S}$ на $\mathscr{E}_{+}$етроить с помощью формуш Гл. 10. Оценки. не зависяцие от размерности Займемся теперь построением по функции $k \in \mathscr{E}(0, t)$ оператора $\hat{k}$ в $\mathscr{H}$. Для этого обобщим доказательство теоремы 6.1.3. Рис. 10.3. Многократные отражения в случае полной группы решеточных трансляций. Для того чтобы доказать, что оператор $\hat{k}$ корректно определен, достаточно проверить условия (6.1.13), т.е. Рассмотрим вначале случай ограниченных $k$, т. е. $k \in L_{\infty}$. Пусть $A$ имеет вид $A=T(t) B, B \in \mathscr{E}_{\text {+ }}$. Поскольку $\theta(k T(t) B)=(\theta k) T(-t) \theta B$ и $T(t)^{*}=T(-t)$, получаем, что где $C=(\overline{\theta k})_{t} k_{t} T(2 t) B \in \mathscr{E}$. По предположению $A=0$ и $A=e^{-t н} \bar{B}$. Отсюда следует, что $B=0$, т. е. $B \in \mathcal{N}$. Таким образом, $b(B, B)=0$, и равенство (10.5.10) выполнено. В общем случае, когда функция $k$ неограничена, рассмотрим вместо нес функции Тогда $\left\|k-k_{J}\right\|_{L_{2}(d \mu)} \rightarrow 0$ при $j \rightarrow \infty$. Так как $A \in \mathscr{D}(k)$, то $A \in T(t) L_{\infty} \subset L_{\infty}$. В силу доказанного выше, $k_{j} A \in \mathscr{P}$, поэтому члены, отвечающие $k_{j} A$ (включая перекрестные члены), не дают вклада в следующее неравенство: Теорема 10.5.5. Пусть $d \mu-$ вероятностная мера на $\mathscr{D}^{\prime}$, удовлетворяющая аксиомам OS 0, 2, 3 (аналитичность, инвариантность, положительность при отражениях), и пусть $k \in \mathscr{E}(0, t), t>0$. Тогда Доказательство. Пусть $Q=e^{-t н} \hat{R}^{*} \hat{k} e^{-t H}$ и $A \in \mathscr{E}+\cap L_{\infty}$. Тогда, согласно неравенству Шварца, Продолжаем применять неравенство Шварца; после $n$ применений получаем, что По определению $\quad\left(\hat{k} e^{-t H}\right)^{*} \hat{A}=(T(t) \overline{\theta k A})^{\wedge}=\left((\overline{\theta k})_{t} T(t) A\right)^{\wedge}, \quad$ или $\quad e^{-t h} \hat{k}^{*}=$ $=\left((\overline{\theta k})_{t}\right) \hat{e^{-t H}}$. Поэтому где $M_{n}(k)$ определено выражением (10.5.4). Используя равенство (10.5.5), получаем, что Для завершения доказательства остается подставить последнюю оценку в $(10.5 .12)$ : Определим теперь область $\mathscr{H}_{\delta}$, состоящую из аналитических векторов для оператора $H$ : Области $\mathscr{H}_{\delta}$ используются для построения аналитического продолжения из евклидова пространства в пространство Минковского и для доказательства евклидовой формулы Фейнмана – Каца в гл. 19. При этом в качестве первого шага применяется оценка, доказываемая ниже. $\Gamma_{л .}$ 10. Оценки, ке зависяцие от размерности Доказательство. Так как имеет место равенство то оцешу (10.5.14) можно доказать при помощи теоремы 10.5 .5 и соотношений Аналитичность следует из (10.5.14). Доказательство. Заметим, что $k_{j t} \in \mathscr{E}(j t,(j+1) t)$. Кроме того, Произведение операторов в правой части упорядочено следующим образом: слева направо от $\hat{k}^{(0)} e^{-t H}$ до $\hat{k}^{(r)} e^{-t H}$. Применяя теорему и неравенство для операторных норм $\left\|\prod_{j}\right\|_{\text {ж }} \leqslant \prod_{j}\left\|A_{j}\right\|_{\mathscr{Z}}, \quad$ получаем (10.5.15). где $\mathscr{L}(k)$ определено равенством (10.5.8).
|
1 |
Оглавление
|