Для оценивания функциональных интегралов применяется неравенство Шварца (10.4.2). В этом параграфе мы получим оценки, связанные с использованием метода многократных отражений. Эти оценки получаются при помощи последовательного применения неравенств Шварца, отвечающих последовательности гиперплоскостей П и операторов отражения $\theta_{\text {п. }}$.

Мы рассматриваем общую вероятностную меру $d \mu$ на $\mathscr{D}^{\prime}$, удовлетворяющую аксиомам OS $0,2,3$ из § 6.1 (аналитичность преобразования Фурье, инвариантность и положительность при отражениях), или $P(\varphi)_{2}$-меру $d \mu_{\Lambda}$ в конечном объеме, построенную в $\$ 8.6$. В обоих случаях положим $\mathscr{E}=L_{2}\left(\mathscr{D}^{\prime}, d \mu\right)$ и для любого открытого множества $\Lambda \subset R^{d}$ определим $\mathscr{E}(\Lambda)$ как подпространство в $\mathscr{E}$, порожденное функционалами $e^{i \varphi(f)}$, где $\operatorname{supp} f \subset \Lambda$. Так, $\mathscr{E}_{+}=\mathscr{E}\left(R^{d-1} \times(0, \infty)\right)$, а для множеств $\Lambda$ вида $R^{d-1} \times\left(s_{1}, s_{2}\right)$ введем специальное обозначение
\[
\mathscr{E}\left(s_{1}, s_{2}\right)=\mathscr{E}\left(R^{d-1} \times\left(s_{1}, s_{2}\right)\right) .
\]

Оценки по методу многократных отражений применяются в трех разных случаях. При этом возникают различные геометрические конфигурации. Первая конфигурация связана с отражениями $\theta_{\Pi_{v}}, v=1$, $2, \ldots, d$, относительно ортогональных координатных гиперплоскостей. Пусть $\left(R_{+}\right)^{d}$ — первый октант, т. е. множество $\left\{x: x_{v}>0, v=\right.$ $=1,2, \ldots, d\}$. Тогда каждой функции $k \in \mathscr{E}\left(\left(R_{+}\right)^{d}\right)$ соответствует отраженная функция $R(k)$ :
\[
\begin{array}{c}
R(k)= \\
=\prod_{l \in\{1,2, \ldots, d\}}\left[\left(\prod_{v \in I} \theta_{\Pi_{v}}\right) k^{(-)}\right] .
\end{array}
\]

Рис. 10.1. Многократные отражения в случае группы решеточных отражений.
Здесь (-) обозначает комплексное сопряжение при
нечетных $|I|$ и тождественное преобразование при четных $|I|$. На рис. 10.1 показано действие $R$. При этом подмножества $R^{d}$ рассматриваются как носители функции $k$ и ее отражений. Операторы отражений $\prod_{v \in I} \theta_{\Pi_{v}}$ образуют группу, называемую группой решеточных отражений.

Предложение 10.5.1. Пусть мера $d \mu$ инвариантна и положительна при отражениях, отвечающих образующим $\theta_{\Pi_{
u}}$ решеточной группы отражений. Пусть $k \in \mathscr{E}\left(\left(R_{+}\right)^{d}\right)$. Тогда
\[
\left|\int k d \mu\right| \leqslant\left(\int R(k) d \mu\right)^{2^{-d}},
\]

Гл. 10. Оценки, ме зависяцие от размерности
Доказательство. Дия доказательства неравенства (10.5.3) нужно $d$ раз применить неравенство Шварца относительно скалярных произведений
\[
(A, B)_{v}=\int \widetilde{\Pi_{\Pi_{v}} A} B d \mu .
\]

Здесь $v=1,2, \ldots, d$ и $A, B \in \mathscr{E}\left(R^{v-1} \times\left(R_{+}\right)^{d-v+1}\right)$. Положительная определенность скалярных пронзведений следует нз теоремы 10.4.3.

Второй геометрической конфигурации отвечают отражения относительно гиперплоскостей, порождаемых решеточными сдвигами некоторой гиперплоскости П. В качестве II возьмем гиперплоскость $t=0$. В этом случае мы изучаем отражения, изображенные на рис. 10.2. Эти отражения порождаются группой цело-

Рис. 10.2. Многократные отражения, порожденные целочисленной группой временных трансляцнй.

численных временных трансляций. Предположим, что $k \in \mathscr{E}(0, t)$, и определим функцию
\[
M_{n}(k)=\prod_{j=1}^{n} \overline{(\theta k)}_{(2 j-1) t} k_{(2 j-1) t} .
\]

Здесь $\theta$-отражение относительно гиперплоскости $t=0$, а $k_{s}=$ $=T(s) k T(s)^{-1}$ — функция $k$, сдвинутая по времени на величину $s$. Кроме того, положим
\[
M(k)=\varlimsup_{n \rightarrow \infty}\left(\int M_{n}(k) d \mu\right)^{1 / 2 n} .
\]

Предложение 10.5.2. Пусть мера $d \mu$ удовлетворяет аксиомам OS2-3 (инвариантность и положительность при отражениях). Тогда для $k \in \mathscr{E}(0, t)$
\[
\left|\int k d \mu\right| \leqslant M(k)
\]

Доказательство. Используя положительность при отраженнях и трансляционную инвариантность меры $d \mu$, получаем с помощью неравенства Шварца, что

Дальше продолжаем применять нөравенство Шварца и трансляционную инварпантность. После $r$ применений имеем (подставив $2^{r}=n$ ):
\[
\begin{array}{c}
\left|\int k d \mu\right| \leqslant\left\langle 1, M_{2^{r}}(k)\right\rangle_{\Xi}^{2-r-1}=\left(\int M_{2^{r}}(k) d \mu\right)^{2^{-r-1}} \\
\text { и }\left|\int k d \mu\right| \leqslant M(k) .
\end{array}
\]

Третья геометрическая конфигурация осуществляется тогда, когда носитель функции $k$ содержится внутри единичного куба $\Delta$ (или, в более общем случае, внутри прямоугольника $X \equiv$ $\left.\equiv\left[0, a_{1}\right] \times\left[0, a_{2}\right] \times \ldots \times\left[0, a_{d}\right]\right)$. Тогда, используя полную группу решеточных трансляций, можно обобщить рассмотренную выше картину отражений (10.5.4). Пусть $\mathscr{L}_{n}^{(v)}$ обозначает произведение (10.5.4), построенное вдоль $v$-го координатного направления:
\[
\mathscr{L}_{n}^{(v)}(k)=\prod_{j=1}^{n}\left(\overline{\theta_{v} k}\right)_{(2 j-1) a_{v}} k_{(2 j-1) a_{v}} .
\]

Здесь $\theta_{v}=\theta_{\Pi_{v}}$ — отражение относительно гиперплоскости $x_{v}=0$. Заметим, что в случае единичного куба $\Delta$ все $a_{v}=1, v=1,2, \ldots$ …, d. Положим
\[
\mathscr{L}(k)=\varlimsup_{n_{1}, \ldots, n_{d} \rightarrow \infty}\left[\int \mathscr{L}_{n_{1}}^{(1)}\left(\mathscr{L}_{n_{2}}^{(2)}\left(\ldots \mathscr{L}_{n_{d}}^{(d)}(k) \ldots\right)\right) d \mu\right]^{1 /\left(2 n_{1} \ldots 2 n_{d}\right)} .
\]

При $d=2$ решетка, порожденная отражениями, изображена на рис. 10.3 .
Предложение 10.5.3. Пусть $k \in \mathscr{E}(X)$ и мера $d \mu$ удовлетворяет аксиомам OS2-3 (трансляционная инвариантность и положительность при отражениях). Тогда
\[
\left|\int k d \mu\right| \leqslant \mathscr{L}(k) .
\]

Доказательство. Относительно каждого координатного направления применяем те же соображения, что и при доказательстве предыдущего предложения.

В случае трансляционно-инвариантной меры удобно вместо функции $k$ рассматривать оператор $k_{\mathscr{H}}=\hat{k}$, который является оператором умножения на $k$ в гильбертовом пространстве квантовомеханических состояний $\mathscr{C}$. В гл. 6 было определено каноническое вложение функционального пространства $\mathscr{E}+$ в $\mathscr{G}$ :
\[
\text { : } \mathscr{E}_{+} \rightarrow \mathscr{E}_{+} / \mathcal{N} \simeq \mathscr{H}
\]

Здесь $\mathscr{P} \subset \mathscr{E}_{+}$есть нуль-пространство положительной при отражениях билинейной формы на $\mathscr{E}_{+}$. Это вложение позволяет по некоторым операторам $\mathcal{S}$ на $\mathscr{E}_{+}$етроить с помощью формуш

Гл. 10. Оценки. не зависяцие от размерности
(6.1.12) операторы $S_{\mathscr{H}}=\hat{S}$ на $\mathscr{H}$. Например, по теореме 6.1.3 $\hat{T}(t)=T(t)_{\mathscr{E}}=e^{-t H}$. Заметим, что при доказательстве теоремы 6.1.3 мы пользовались оценкой, получаемой с помощью метода многократных отражений.

Займемся теперь построением по функции $k \in \mathscr{E}(0, t)$ оператора $\hat{k}$ в $\mathscr{H}$. Для этого обобщим доказательство теоремы 6.1.3.

Рис. 10.3. Многократные отражения в случае полной группы решеточных трансляций.
Так как $k \in L_{2}(d \mu)$, то умножение на $k$ задает оператор в пространстве $\mathscr{E}_{+}$с областью определения $\mathscr{E}+\cap L_{\infty}$. Для построения $\hat{k}$ сузим область определения оператора $k$. С помощью многократных отражений можно получить оценку нормы $\hat{k}$ как оператора в пространстве $\mathscr{H}$.
Предложение 10.5.4. Рассмотрим вероятностную меру $d \mu$ на $\mathscr{D}^{\prime}$, удовлетворяющую аксиомам OS $0,2,3$ (аналитичность, инвариантность и положительность при отражениях). Рассмотрим $k \in \mathscr{E}(0, t), t>0$, как оператор умножения в $\mathscr{E}_{+}$с областью определения $\mathscr{D}(k)=T(t)\left(\mathscr{E}+\cap L_{\infty}\right)$. Тогда оператор $\hat{k}$, задаваемый соотношениями (6.1.12), определен на плотном множестве в $\mathscr{H}$.
Доказательство. Вначале мы покажем, что область определения $\mathscr{D}(k)^{\wedge}=$ $=\left(T(t)\left(L_{\infty} \cap \mathscr{\mathscr { E }}_{+}\right)\right)^{\wedge}$ плотна в $\mathscr{G}$. Из теоремы 6.1.3 и соотношения $\lim _{t \rightarrow 0} e^{-t H}=I$ следует, что Кет $e^{-t H}=\{0\}$. Действительно, если $e^{-t H} \theta=0$ при некотором $t$, то $e^{-t / 2} \theta=0$ и т. д., так что $\lim _{t \rightarrow 0} e^{-t H} \theta=0$ и, следовательно, $\|\theta\|=0$. Пусть вектор $\psi$ в $\mathscr{H}$ ортогонален $\mathscr{D}(k)^{\wedge}$. Тогда $e^{-t H} \psi \perp\left(L_{\infty} \cap \mathscr{E}_{+}\right)^{\wedge}$, а так как $\left(L_{\infty} \cap \mathscr{E}_{+}\right.$) всюду плотно в $\mathscr{H}$, то $e^{-t H} \psi \Rightarrow 0$ и по доказанному выше $\psi=0$. Таким образом, $\mathscr{D}(k)^{\wedge}$ плотно в $\mathscr{H}$.

Для того чтобы доказать, что оператор $\hat{k}$ корректно определен, достаточно проверить условия (6.1.13), т.е.
\[
A \in \mathscr{D}(k) \cap \mathscr{N} \Rightarrow b(k A, k A)=\langle\theta k A, k A\rangle_{\mathscr{g}}=0 .
\]

Рассмотрим вначале случай ограниченных $k$, т. е. $k \in L_{\infty}$. Пусть $A$ имеет вид $A=T(t) B, B \in \mathscr{E}_{\text {+ }}$. Поскольку $\theta(k T(t) B)=(\theta k) T(-t) \theta B$ и $T(t)^{*}=T(-t)$, получаем, что
\[
\begin{aligned}
b(k A, k A) & =\langle\theta k T(t) B, k T(t) B\rangle_{\mathscr{G}}=\langle\theta B, T(t) \overline{\theta k} k T(t) B\rangle_{\mathscr{E}}= \\
& \left.=b(B, \overline{(\theta k})_{t} k_{t} T(2 t) B\right) \leqslant b(B, B)^{1 / 2} b(C, C)^{1 / 2},
\end{aligned}
\]

где $C=(\overline{\theta k})_{t} k_{t} T(2 t) B \in \mathscr{E}$. По предположению $A=0$ и $A=e^{-t н} \bar{B}$. Отсюда следует, что $B=0$, т. е. $B \in \mathcal{N}$. Таким образом, $b(B, B)=0$, и равенство (10.5.10) выполнено.

В общем случае, когда функция $k$ неограничена, рассмотрим вместо нес функции
\[
k_{j}=\left\{\begin{array}{lll}
k, & \text { если } & |k| \leqslant j, \\
0, & \text { если } & |k|>j .
\end{array}\right.
\]

Тогда $\left\|k-k_{J}\right\|_{L_{2}(d \mu)} \rightarrow 0$ при $j \rightarrow \infty$. Так как $A \in \mathscr{D}(k)$, то $A \in T(t) L_{\infty} \subset L_{\infty}$. В силу доказанного выше, $k_{j} A \in \mathscr{P}$, поэтому члены, отвечающие $k_{j} A$ (включая перекрестные члены), не дают вклада в следующее неравенство:
\[
\begin{aligned}
b(k A, k A) & =b\left(\left(k-k_{j}\right) A,\left(k-k_{j}\right) A\right) \leqslant\left\|\left(k-k_{j}\right) A\right\|_{L_{2}\left(d_{1}\right)}^{2} \leqslant \\
& \leqslant\left\|k-k_{j}\right\|_{L_{2}}^{2}\|A\|_{L_{\infty}}^{2} \rightarrow 0 .
\end{aligned}
\]

Теорема 10.5.5. Пусть $d \mu-$ вероятностная мера на $\mathscr{D}^{\prime}$, удовлетворяющая аксиомам OS 0, 2, 3 (аналитичность, инвариантность, положительность при отражениях), и пусть $k \in \mathscr{E}(0, t), t>0$. Тогда
\[
\left\|\hat{k} e^{-t H}\right\|_{\mathscr{G}} \leqslant M(k) .
\]

Доказательство. Пусть $Q=e^{-t н} \hat{R}^{*} \hat{k} e^{-t H}$ и $A \in \mathscr{E}+\cap L_{\infty}$. Тогда, согласно неравенству Шварца,
\[
\left\|\hat{k} e^{-t H} \widehat{A}\right\|=\langle\widehat{A}, Q \widehat{A}\rangle^{1 / 2} \leqslant\|\widehat{A}\|_{\mathscr{C}}^{1 / 2}\|Q \widehat{A}\|_{\mathscr{G}}^{1 / 2} .
\]

Продолжаем применять неравенство Шварца; после $n$ применений получаем, что

По определению $\quad\left(\hat{k} e^{-t H}\right)^{*} \hat{A}=(T(t) \overline{\theta k A})^{\wedge}=\left((\overline{\theta k})_{t} T(t) A\right)^{\wedge}, \quad$ или $\quad e^{-t h} \hat{k}^{*}=$ $=\left((\overline{\theta k})_{t}\right) \hat{e^{-t H}}$. Поэтому
\[
\begin{array}{l}
\left\|Q^{2^{n-1}} \widehat{A}\right\|_{\mathscr{H}}^{2}=\left\langle\theta M_{2^{n-1}}(k) T\left(2^{n} t\right) A, M_{2^{n-1}}(k) T\left(2^{n} t\right) A\right\rangle_{\mathscr{E}}= \\
=\left\langle\theta A, M_{2^{n}}(k) T\left(2^{n+1} t\right) A\right\rangle_{⿷} \leqslant\|A\|_{L_{\infty}}^{2}\left(\int\left|M_{2^{n}}(k)\right| d \mu\right), \\
\end{array}
\]

где $M_{n}(k)$ определено выражением (10.5.4). Используя равенство (10.5.5), получаем, что
\[
\varlimsup_{n}\left\|Q^{2^{n-1}} \widehat{A}\right\|_{\mathscr{*}}^{2^{-n}} \leqslant \varlimsup_{n}\|A\|_{L_{\infty}}^{2^{-n}} M(k) .
\]

Для завершения доказательства остается подставить последнюю оценку в $(10.5 .12)$ :
\[
\left\|\hat{k} e^{-t H} \hat{A}\right\|_{\mathscr{B}} \leqslant M(k)\|\hat{A}\|_{\mathscr{H}} .
\]

Определим теперь область $\mathscr{H}_{\delta}$, состоящую из аналитических векторов для оператора $H$ :
\[
\mathscr{H}_{\delta}=e^{-\delta H} \mathscr{H} .
\]

Области $\mathscr{H}_{\delta}$ используются для построения аналитического продолжения из евклидова пространства в пространство Минковского и для доказательства евклидовой формулы Фейнмана — Каца в гл. 19. При этом в качестве первого шага применяется оценка, доказываемая ниже.

$\Gamma_{л .}$ 10. Оценки, ке зависяцие от размерности
Следствие 10.5.6. Пусть $\delta>0, \quad 0 \leqslant \tau<\delta / 4, \quad \delta^{\prime}>t+\delta / 2 \quad u$ $M(k)<\infty$. Тогда $\hat{k}_{\tau}$, как билинейная форма на $\mathscr{H}_{\delta} \times \mathscr{H}_{\delta^{\prime}}$, аналитична по т и продолжается до комплексно аналитической функции в круге $|\tau|<\delta / 8$. Кроме того,
\[
\left\|e^{-\delta H} \frac{d^{n}}{d \tau^{n}} \hat{k}_{\tau} e^{-\delta^{\prime} H}\right\| \leqslant\left(\frac{8}{\delta}\right)^{n} n !\left\|\hat{k} e^{-(t+\delta / 4) H}\right\| .
\]

Доказательство. Так как имеет место равенство
\[
e^{-\delta H} \frac{d}{d \tau} \hat{k}_{\tau} e^{-\delta^{\prime} H}=e^{-(\delta+\tau) H}[\hat{k}, H] e^{-\left(\delta^{\prime}-\tau\right) H},
\]

то оцешу (10.5.14) можно доказать при помощи теоремы 10.5 .5 и соотношений
\[
C_{m}=\left\|H^{m} e^{-\delta H / 4}\right\| \leqslant(4 / \delta)^{m} m !, \quad C_{m} C_{n-m} \leqslant(4 / \delta)^{n} n !\left(\begin{array}{c}
n \\
m
\end{array}\right)^{-1} .
\]

Аналитичность следует из (10.5.14).
С помощью оценок норм операторов в $\mathscr{C}$ можно получать оценки интегралов по мере $d \mu$.
Следствие 10.5.7. Пусть $k^{(0)}, k^{(1)}, \ldots, k^{(r)} \in \mathscr{E}(0, t)$. Тогда
\[
\left|\int \prod_{j=0}^{r} k_{j t}^{(j)} d \mu\right| \leqslant \prod_{j=0}^{r} M\left(k^{(j)}\right)
\]

Доказательство. Заметим, что $k_{j t} \in \mathscr{E}(j t,(j+1) t)$. Кроме того,
\[
\int \prod_{j=0}^{r} k_{j t}^{(j)} d \mu=\left\langle\Omega,\left(\prod_{j=0}^{r} k_{j t}^{(j)}\right)^{-} \Omega\right\rangle=\left\langle\Omega, \prod_{j=0}^{r}\left(\hat{k}^{(j)} e^{-t H}\right) \Omega\right\rangle .
\]

Произведение операторов в правой части упорядочено следующим образом: слева направо от $\hat{k}^{(0)} e^{-t H}$ до $\hat{k}^{(r)} e^{-t H}$. Применяя теорему и неравенство для операторных норм $\left\|\prod_{j}\right\|_{\text {ж }} \leqslant \prod_{j}\left\|A_{j}\right\|_{\mathscr{Z}}, \quad$ получаем (10.5.15).
Следствие 10.5.8. Пусть $J \subset Z^{d}$-конечное множество, и пусть для каждого $j \in J$ задана функция $k^{(j)} \in \mathscr{E}\left(\Delta_{i}\right)$. Тогда
\[
\left|\int \prod_{j \in J} k_{j t}^{(j)} d \mu\right| \leqslant \prod_{j \in J} \mathscr{L}\left(k^{(i)}\right),
\]

где $\mathscr{L}(k)$ определено равенством (10.5.8).
Доказательство. Формально достаточно применить следствие 10.5 .7 по каждому координатному направлению. Фактически нужно рассуждать аналогично доказательству теоремы 10.5 .5 и следствия 10.5.7, т. е. переходить к пределу $n_{v} \rightarrow \infty$ только после того, как выполнены отражения по всем направлениям.
Замечание. Несимметричная оценка по методу многократных отражений доказывается в теореме 12.4.2. В этом случае не предполагается, что мера $d \mu$ инвариантна относительно отражений. В несимметричном случае вместо неравенства Шварца используется неравенство (10.6.8).