В этом параграфе мы выведем формулу Фейнмана — Каца в пространстве $\mathcal{C}$, пригодную для изучения возмуцений оператора $H$ посредством билинейной формы $Ф(h)$, где $h\in \mathcal{S}{\left(R^{d-1}\right)}_{\text{вещ. Мы по- }}$. кажем, что
$${\left(e^{-\phi (h\otimes x_{0,t})}\right)}^{\wedge }{e}^{-tH}=e^{-tH(h)}.$$

В этой формуле $H(h)$ обозначает самосопряженный ограниченный снизу оператор
$$H(h)=H+\mathrm{\Phi }(h),$$

где равенство понимается в смысле билинейных форм. Крометого, мы покажем, что для вещественной функции $h$
$$\pm \mathrm{\Phi }(h)⩽\text{ const }\Vert h\Vert (H+I).$$

Формально можно написать $\mathrm{\Phi }(h)=\phi (h\otimes \delta {)}^{\wedge }$.
Теорема 19.2.1. Пусть функционал $S\{f\}$ удовлетворяет аксиомам OS 0-3. Тогда левая часть равенства (19.2.1) определяет полуzруnпy $S(t)$ с инфинитезимальным оператором $H(h)$, который удовлетворяет неравенству
$$-c(\Vert h\Vert +2^{p-1}\Vert h{\Vert }^p)⩽H(h).$$

Кроме того, при любом $\delta >0$ соотношение (19.2.2). справедливо на пространстве ${\mathcal{H}}_s\times {\mathcal{H}}_{\delta }$.

Доказательство. Пусть $S(t)$ обозначает левую часть равенства (19.2.1). В силу предложения 19.1.2, $S(t)$ — ограниченный оператор, причем $\Vert S(t)\Vert ⩽$ $⩽\exp \left(tc\left(h\Vert +2^{p-1}\Vert h{\Vert }_p\right)\right)$. Кроме того, из определения (19.2.1) следует групповое свойство $S(t+s)=S(t)S(s)$ и равенство $S(t)=S(t)\ast$. Установим теперь слабую дифференцируемость $S(t)$ при $t\to 0$ на плотном множестве в $\mathcal{H}\otimes \mathcal{H}$, где $\mathcal{C}=e^{-\delta H}(\mathcal{E}+\cap L_{\mathrm{\infty }})$. Из нее будет вытекать слабая (и сильная) непрерывность и, следовательно, существование самосопряженного инфинитезимального оператора $H(g)$, удовлетворяющего оценке (19.2.3). Возьмем $f=-h\oplus {\chi }_{0,t}$; тогда на пространстве $\mathcal{H}\otimes \mathcal{H}$
$$\begin{array}{l}{t}^{-1}(S(t)-I)=t^{-1}(e^{-tH}-I)+t^{-1}\widehat{\phi (f)}{e}^{-tH}+\\ +t^{-1}{(e^{\phi (f)}-I-\phi (f))}^{\wedge }{e}^{-tH}.\end{array}$$

Первое стагаемое в правой части при $t\to 0$ стремится к -H. Согласно предложению 19.1.3, второе слагаемое стремится к -Ф $(h)$. Предел третьего слагаемого равен нулю, в чем можно убедиться следующим образом. Пусть $A\in \mathcal{E}+\cap L_{\mathrm{\infty }}$. Используя элементарное неравенство
$$e^x-1-x⩽\text{ const }(x^2+x^N)+\sum _{j>N/2}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2t}}{(2j)!},$$

получим, что для любого $N⩾2$
$$\begin{array}{l}\left|t^{-1}⟨e^{-\delta H}\hat{A},{(e^{\phi (f)}-I-\phi (f))}^{-}{e}^{-(\delta +t)H}\hat{A}⟩\right|⩽\\ ⩽t^{-1}\Vert A{\Vert }_{L_{\mathrm{\infty }}}^2\int |e^{\phi (\hat{f})}-1-\phi (f)|d\mu ⩽\mathrm{const}{t}^{-1}\Vert A{\Vert }_L^2[\int \phi (f{)}^{2}d\mu +\\ +\int \phi (f{)}^{N}d\mu +\sum _{j>N/2}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2j)!}\int \phi (f{)}^{2j}d\mu ].\end{array}$$

Первое стагаемое в правой части при $t\to 0$ стремится к нулю в силу предложения 19.1.4. Выбрав $N>p$, получим, что и остальные слагаемые в (19.2.5) при $t\to 0$ стремятся к нулю в силу неравенства (19.1.3) и оценки $\Vert f\Vert =$ $=\Vert h\Vert (t+t^{1/p})⩽O\left(t^{1/p}\right)$. Этим заканчивается доказательство слабой дифференцирусмости и справедливости тождества (19.2.2) на пространстве $\mathcal{H}\otimes \mathcal{H}$. Согласно предложению 19.1.3, оператор $e^{-\delta H}\mathrm{\Phi }(h)e^{-\delta H}$ ограничен. Поэтому оператор (19.2.2) по непрерывности продолжается на пространство ${\mathcal{H}}_{\delta }\times {\mathcal{H}}_{\delta }$.
Следствие 19.2.2. Билинейные формьт Ф $(h)$ и $H(h)$ можно продолжитв по непрерывности на область $\mathcal{D}\left(H^{1/2}\right)\times \mathcal{D}\left(H^{1/2}\right)$, причем так, что их продолжения удовлетворяют соотношениям (19.2.2-3). Кроме того,
$$\Vert (H+I{)}^{-1/2}\mathrm{\Phi }(h)(H+I{)}^{-1/2}\Vert ⩽\text{ const }\Vert h\Vert .$$

Доказательство. Из формул (19.2.2-3) при $1⩽c(\Vert h\Vert +2^{p-1}\Vert h{\Vert }^p)$ вытекает, что на пространстве ${\mathcal{H}}_{\delta }\times {\mathcal{H}}_{\delta }$ справедливо соотношение
$$\pm \mathrm{\Phi }(h)⩽c(\Vert h\Vert +2^{p-1}\Vert h{\Vert }^p)(H+I),$$

или
$$\pm \mathrm{\Phi }(h)=\pm 2\Vert h\Vert \mathrm{\Phi }(h/2\Vert h\Vert )⩽2c\Vert h\Vert (H+I),$$

и эта оценка продолжается по непрерывности.