В этом параграфе мы выведем формулу Фейнмана – Каца в пространстве $\mathscr{C}$, пригодную для изучения возмуцений оператора $H$ посредством билинейной формы $Ф(h)$, где $h \in \mathscr{S}\left(R^{d-1}\right)_{\text {вещ. Мы по- }}$. кажем, что
\[
\left(e^{-\varphi\left(h \otimes x_{0, t}\right)}\right)^{\wedge} e^{-t H}=e^{-t H(h)} .
\]

В этой формуле $H(h)$ обозначает самосопряженный ограниченный снизу оператор
\[
H(h)=H+\Phi(h),
\]

где равенство понимается в смысле билинейных форм. Крометого, мы покажем, что для вещественной функции $h$
\[
\pm \Phi(h) \leqslant \text { const }\|h\|(H+I) .
\]

Формально можно написать $\Phi(h)=\varphi(h \otimes \delta)^{\wedge}$.
Теорема 19.2.1. Пусть функционал $S\{f\}$ удовлетворяет аксиомам OS 0-3. Тогда левая часть равенства (19.2.1) определяет полуzруnпy $S(t)$ с инфинитезимальным оператором $H(h)$, который удовлетворяет неравенству
\[
-c\left(\|h\|+2^{p-1}\|h\|^{p}\right) \leqslant H(h) .
\]

Кроме того, при любом $\delta>0$ соотношение (19.2.2). справедливо на пространстве $\mathscr{H}_{s} \times \mathscr{H}_{\delta}$.

Доказательство. Пусть $S(t)$ обозначает левую часть равенства (19.2.1). В силу предложения 19.1.2, $S(t)$ – ограниченный оператор, причем $\|S(t)\| \leqslant$ $\leqslant \exp \left(t c\left(h\left\|+2^{p-1}\right\| h \|_{p}\right)\right)$. Кроме того, из определения (19.2.1) следует групповое свойство $S(t+s)=S(t) S(s)$ и равенство $S(t)=S(t) *$. Установим теперь слабую дифференцируемость $S(t)$ при $t \rightarrow 0$ на плотном множестве в $\mathscr{H} \otimes \mathscr{H}$, где $\mathscr{C}=e^{-\delta H}\left(\mathscr{E}+\cap L_{\infty}\right)$. Из нее будет вытекать слабая (и сильная) непрерывность и, следовательно, существование самосопряженного инфинитезимального оператора $H(g)$, удовлетворяющего оценке (19.2.3). Возьмем $f=-h \oplus \chi_{0, t}$; тогда на пространстве $\mathscr{H} \otimes \mathscr{H}$
\[
\begin{array}{l}
t^{-1}(S(t)-I)=t^{-1}\left(e^{-t H}-I\right)+t^{-1} \widehat{\varphi(f)} e^{-t H}+ \\
+t^{-1}\left(e^{\varphi(f)}-I-\varphi(f)\right)^{\wedge} e^{-t H} . \\
\end{array}
\]

Первое стагаемое в правой части при $t \rightarrow 0$ стремится к -H. Согласно предложению 19.1.3, второе слагаемое стремится к -Ф $(h)$. Предел третьего слагаемого равен нулю, в чем можно убедиться следующим образом. Пусть $A \in \mathscr{E}+\cap L_{\infty}$. Используя элементарное неравенство
\[
e^{x}-1-x \leqslant \text { const }\left(x^{2}+x^{N}\right)+\sum_{j>N / 2}^{\infty} \frac{x^{2 t}}{(2 j) !},
\]

получим, что для любого $N \geqslant 2$
\[
\begin{array}{l}
\left|t^{-1}\left\langle e^{-\delta H} \widehat{A}, \quad\left(e^{\varphi(f)}-I-\varphi(f)\right)^{-} e^{-(\delta+t) H} \hat{A}\right\rangle\right| \leqslant \\
\leqslant t^{-1}\|A\|_{L_{\infty}}^{2} \int\left|e^{\varphi(\hat{f})}-1-\varphi(f)\right| d \mu \leqslant \mathrm{const} t^{-1}\|A\|_{L}^{2}\left[\int \varphi(f)^{2} d \mu+\right. \\
\left.\quad+\int \varphi(f)^{N} d \mu+\sum_{j>N / 2}^{\infty} \frac{1}{(2 j) !} \int \varphi(f)^{2 j} d \mu\right] .
\end{array}
\]

Первое стагаемое в правой части при $t \rightarrow 0$ стремится к нулю в силу предложения 19.1.4. Выбрав $N>p$, получим, что и остальные слагаемые в (19.2.5) при $t \rightarrow 0$ стремятся к нулю в силу неравенства (19.1.3) и оценки $\|f\|=$ $=\|h\|\left(t+t^{1 / p}\right) \leqslant O\left(t^{1 / p}\right)$. Этим заканчивается доказательство слабой дифференцирусмости и справедливости тождества (19.2.2) на пространстве $\mathscr{H} \otimes \mathscr{H}$. Согласно предложению 19.1.3, оператор $e^{-\delta H} \Phi(h) e^{-\delta H}$ ограничен. Поэтому оператор (19.2.2) по непрерывности продолжается на пространство $\mathscr{H}_{\delta} \times \mathscr{H}_{\delta}$.
Следствие 19.2.2. Билинейные формьт Ф $(h)$ и $H(h)$ можно продолжитв по непрерывности на область $\mathscr{D}\left(H^{1 / 2}\right) \times \mathscr{D}\left(H^{1 / 2}\right)$, причем так, что их продолжения удовлетворяют соотношениям (19.2.2-3). Кроме того,
\[
\left\|(H+I)^{-1 / 2} \Phi(h)(H+I)^{-1 / 2}\right\| \leqslant \text { const }\|h\| .
\]

Доказательство. Из формул (19.2.2-3) при $1 \leqslant c\left(\|h\|+2^{p-1}\|h\|^{p}\right)$ вытекает, что на пространстве $\mathscr{H}_{\delta} \times \mathscr{H}_{\delta}$ справедливо соотношение
\[
\pm \Phi(h) \leqslant c\left(\|h\|+2^{p-1}\|h\|^{p}\right)(H+I),
\]

или
\[
\pm \Phi(h)= \pm 2\|h\| \Phi(h / 2\|h\|) \leqslant 2 c\|h\|(H+I),
\]

и эта оценка продолжается по непрерывности.