В этом параграфе доказывается результат об аналитичности свободной энергии в бесконечном объеме для решеточных моделей теории поля в случае, когда применима теорема Ли – Янга. Рассматривается также кластерное свойство парной корреляционной функции для таких моделей и для соответствующих им изинговых пределов.
Пусть $Z_{\Lambda}$ есть статистическая сумма в объеме $\Lambda$. Свободная энергия в объеме $\Lambda$ определяется равенством
\[
f_{\Lambda}=(1 /|\Lambda|) \ln Z_{\Lambda} .
\]
Теорема Ли – Янга, доказанная в предыдущем параграфе для $\xi^{4}$-моделей, утверждает аналитичность $f_{\Lambda}\left(h_{j}\right)$ при $\operatorname{Re} h_{i}
eq 0$. Ниже изучаются пределы таких моделей, во-первых, при $\Lambda \rightarrow \infty$ и, вовторых, при таком изменении распределения отдельного спина, чтобы в пределе возникала непрерывная теория или модель Нзинга.
Заметим вначале, что сходимость $f_{\Lambda}$ при $\Lambda \rightarrow \infty$ следует из так называемых неравенств обусловленности, которые будут установлены в гл. 10. Для малых $\beta$ сходимость может быть также получена с помощью методов разложения в ряд, развитых в гл. 2. Мы не будем сейчас доказывать сходимость, а только сформулируем частный случай предложения 10.3.3 для решеточных моделей.
Предложение 4.6.1. Пусть $Z_{\Lambda}$ есть статистическая сумма решеточного поля с трансляционно-инвариантным парным ферромагнитным взаимодействием ближайших соседей
\[
H=-J \sum_{\text {б. c. }} \xi_{i} \xi_{j}-\sum_{j} h_{j} \xi_{j}, \quad J, h_{i} \geqslant 0,
\]
и распределением отдельного спина $d \mu_{i}\left(\xi_{i}\right)=e^{-P\left(\xi_{i}\right)} d \xi_{i}$, и пусть выполнено условие (4.1.4). Тогда при $\Lambda \uparrow \infty$ существует предел
\[
f_{\Lambda} \rightarrow f \text {. }
\]
Теорема 4.6.2. Пусть выполнены условия предложения 4.6.1. Если для $Z_{\curlywedge}(h)$ справедлива оценка Ли-Янга (4.5.5), то $f(h)$ аналитична при $\left|\operatorname{lm} h_{j}\right|<\operatorname{Re} h_{j}$.
Замечание 1. С целью избежать технических сложностей, связанных с рассмотрением функций бесконечного числа комплексных переменных $h_{j}$, положим $h_{i}=h$ и докажем аналитичность $f(h)$ при $|\operatorname{Im} h|<\operatorname{Re} h$. Фактически, используя отражение и теорему Ли – Янга 4.5.1 (а не теорему 4.5.1′, доказанную в предыдущем параграфе), можно показать, что $\operatorname{Re} h
eq 0$ есть область аналитичности.
Доказательство. Рассмотрим функцию
\[
g_{\Lambda}(h)=Z_{\Lambda}(h)^{1 /|\Lambda|}=e^{f_{\Lambda}(h)} .
\]
Тогда
\[
g_{\Lambda}(\operatorname{Re} h-|\operatorname{Im} h|) \leqslant\left|g_{\Lambda}(h)\right| \leqslant g_{\Lambda}(\operatorname{Re} h) .
\]
Оценка сверху получается, если взять абсолютную величину в определении $Z_{\Lambda}$, а оценка снизу вытекает из теоремы 4.5.1′. По предложению 4.6.1 $g_{\Lambda}(h) \rightarrow g(h)$ при вещественных $h$; таким образом, из оценки (4.6.4) следует, что $g_{\Lambda}(h)$ равномерно ограничено по $\Lambda$ в любом компактном подмножестве $K$ области $|\operatorname{lm} h|<\operatorname{Re} h$. Кроме того, $g_{\Lambda}(h)$ аналитична по $h$ при $h \in K$, так как, по теореме 4.5.1′, $Z_{\Lambda}(h)
eq 0$ при $h \in K$. В силу предложения 4.6.1, $f_{\Lambda}(h)$ сходится при вещественных $h$. Выберем компактное множество $K$ пересекающимся с вещественной осью $h$. Тогда на пересечении $g_{\Lambda}(h) \rightarrow g(h)$. По теореме Витали получаем, что $g_{\Lambda}(h) \rightarrow g(h)$ для всех $h$ нз области $|\operatorname{Im} h|<\operatorname{Re} h$, причем функция $g(h)$ аналитична в этой области и равномерно ограничена на любом компактном подмножестве $K$. Из (4.6.4) следует, что для любого $h \in K$
\[
|g(h)|=\lim _{\Lambda \uparrow \infty}\left|g_{\Lambda}(h)\right| \geqslant \lim _{\Lambda \uparrow \infty} g_{\Lambda}(\operatorname{Re} h-|\operatorname{Im} h|)=\exp [f(\operatorname{Re} h-|\operatorname{Im} h|)] .(4.6 .5)
\]
Следовательно, $|g(h)|
eq 0$ при $|\operatorname{Im} h|<\operatorname{Re} h$. Поэтому $\ln g(h)$ существует и является аналитической функцней от $h$.
Замечание 2. Подобные рассуждения можно использовать и в случае, когда распределения отдельного спина имеют вид
\[
d \mu_{\lambda}(\xi)=\frac{e^{-P_{\lambda}(\xi)} d \xi}{\int e^{-P_{\lambda}(\xi)} d \xi}, \quad P_{\lambda}(\xi)=\lambda\left(\xi^{2}-1\right)^{2} .
\]
В пределе при $\lambda \rightarrow \infty$ получается модель Изинга [J. Rosen, 1977], и для $\Lambda<\infty$ при $\lambda \rightarrow \infty$ имеем $Z_{\Lambda}(\lambda, h) \rightarrow Z_{\Lambda}$ Иэннг $(h)$. При вещественных $h$ сходимость вытекает из теоремы Лебега о мажорированной сходимости. Таким образом, для модели Изинга справедлива, оценка Ли – Янга, и поэтому функция $f^{\text {Изинг }}(h)$ аналитична при $|\operatorname{Im} h|<\operatorname{Re} h$.
Замечание 3. Аналогичные соображения применимы, когда существует непрерывный предел решеточной теории, например при надлежащем выборе $J, a, b$ как функций параметра решетки $\varepsilon$. Известно, что при размерности пространства-времени $d=1,2,3$ предел при $\varepsilon \rightarrow 0$ (непрерывный предел теории поля) существует. В части II мы докажем существование этого предела при $d=2$. Таким образом, мы заключаем, что свободная энергия $f(h)$ для модели $\varphi^{4}$ квантовой теории поля аналитична в области $|\operatorname{Im} h|<$ $<\operatorname{Re} h$.
Замечание 4. Теорема Ли- Янга справедлива также для систем с двух- или трехкомпонентными спинами, инвариантными относительно группы вращений $O(2)$ или $O(3)$ соответственно. Другими словами, во взаимодействии $\xi_{i} \xi_{j}$ заменяется на $\xi_{i} \cdot \xi_{j}$, а $\xi_{i}^{4}$ на $\left(\xi_{i}^{2}\right)^{2}$, где $\xi$ есть двух- или трехкомпонентный вектор [Dunlop, Newman, 1975]. Верна ли теорема Ли – Янга для спинов с числом компонент 4 и более, неизвестно.
Замечание 5. Теорема Ли – Янга и приведенное здесь доказательство обобщаются на случай $Z_{2}$-решеточных калибровочных теорий [Dunlop, 1980] (см. § 20.9). Верна ли теорема Ли – Янга для других калибровочных групп, неизвестно.
Рис. 4.1. Линии фазовых переходов для взаимодействия $P(\xi)=\xi^{2}\left(\xi^{2}-1\right)^{2}+\alpha \xi^{2}$ или для модели Изинга со спином 1 (распределение отдельного спина $d \mu_{i}=$ $\left.=(1 / 2-\alpha)\left(\delta_{-1}+\delta_{1}\right)+2 \alpha \delta_{0}\right)$. См. также $\S 20.5$.
Замечание 6. В общем случае четного полинома $P(\xi)$ степени 6 и выше нет оснований ожидать аналитичности при $\operatorname{Re} h
eq 0$. То же самое относится к модели Изинга «со спином 1», для которой $d \mu_{i}(\xi)=\left(\frac{1}{2}-\alpha\right) \delta_{-1}(\xi)+2 \alpha \delta(\xi)+\left(\frac{1}{2}-\alpha\right) \delta_{1}(\xi), 0<\alpha<1 / 2$. Tакая мера $d \mu_{l}(\xi)$ может быть получена как предел мер, определяемых последовательностью полиномов степени 6 . В случае приведенной выше меры $d \mu_{l}$ или в случае $P=\xi^{2}\left(\xi^{2}-1\right)^{2}+\alpha \xi^{2}$ получается фазовая диаграмма, показанная на рис. 4.1. Из того, что при $h
eq 0$ имеются линии фазовых переходов, вытекает, что для некоторых полиномов 6 -й степени теорема Ли – Янга неверна.
Не существует критерия, позволяющего для полиномов $P$ общего вида (например, с положительными коэффициентами) сказать, верна ли для них теорема Ли – Янга. Аналитичность в этом случае исследуется только с помощью методов разложения в ряд. Приближение среднего поля, являющееся главным членом такого разложения, дает качественную картину фазовых диаграмм, подобных представленной на рис. 4.1. Приближение среднего поля будет подробно обсуждаться в следующей главе.
