В этом параграфе доказывается результат об аналитичности свободной энергии в бесконечном объеме для решеточных моделей теории поля в случае, когда применима теорема Ли — Янга. Рассматривается также кластерное свойство парной корреляционной функции для таких моделей и для соответствующих им изинговых пределов.

Пусть $Z_{\mathrm{\Lambda }}$ есть статистическая сумма в объеме $\mathrm{\Lambda }$. Свободная энергия в объеме $\mathrm{\Lambda }$ определяется равенством
$$f_{\mathrm{\Lambda }}=(1/|\mathrm{\Lambda }|)\ln Z_{\mathrm{\Lambda }}.$$

Теорема Ли — Янга, доказанная в предыдущем параграфе для ${\xi }^4$-моделей, утверждает аналитичность $f_{\mathrm{\Lambda }}\left(h_j\right)$ при $\mathrm{Re}{h}_{i}eq0$. Ниже изучаются пределы таких моделей, во-первых, при $\mathrm{\Lambda }\to \mathrm{\infty }$ и, вовторых, при таком изменении распределения отдельного спина, чтобы в пределе возникала непрерывная теория или модель Нзинга.

Заметим вначале, что сходимость $f_{\mathrm{\Lambda }}$ при $\mathrm{\Lambda }\to \mathrm{\infty }$ следует из так называемых неравенств обусловленности, которые будут установлены в гл. 10. Для малых $\beta$ сходимость может быть также получена с помощью методов разложения в ряд, развитых в гл. 2. Мы не будем сейчас доказывать сходимость, а только сформулируем частный случай предложения 10.3.3 для решеточных моделей.
Предложение 4.6.1. Пусть $Z_{\mathrm{\Lambda }}$ есть статистическая сумма решеточного поля с трансляционно-инвариантным парным ферромагнитным взаимодействием ближайших соседей
$$H=-J\sum _{\text{б. c. }}{\xi }_i{\xi }_j-\sum _j{h}_j{\xi }_j,J,h_i⩾0,$$

и распределением отдельного спина $d{\mu }_i\left({\xi }_i\right)=e^{-P\left({\xi }_i\right)}d{\xi }_i$, и пусть выполнено условие (4.1.4). Тогда при $\mathrm{\Lambda }\uparrow \mathrm{\infty }$ существует предел
$$f_{\mathrm{\Lambda }}\to f\text{. }$$

Теорема 4.6.2. Пусть выполнены условия предложения 4.6.1. Если для $Z_{⋏}(h)$ справедлива оценка Ли-Янга (4.5.5), то $f(h)$ аналитична при $\left|\mathrm{lm}{h}_j\right|<\mathrm{Re}{h}_j$.
Замечание 1. С целью избежать технических сложностей, связанных с рассмотрением функций бесконечного числа комплексных переменных $h_j$, положим $h_i=h$ и докажем аналитичность $f(h)$ при $|\mathrm{Im}h|<\mathrm{Re}h$. Фактически, используя отражение и теорему Ли — Янга 4.5.1 (а не теорему 4.5.1′, доказанную в предыдущем параграфе), можно показать, что $\mathrm{Re}heq0$ есть область аналитичности.

Доказательство. Рассмотрим функцию
$$g_{\mathrm{\Lambda }}(h)=Z_{\mathrm{\Lambda }}(h{)}^{1/|\mathrm{\Lambda }|}=e^{f_{\mathrm{\Lambda }}(h)}.$$

Тогда
$$g_{\mathrm{\Lambda }}(\mathrm{Re}h-|\mathrm{Im}h|)⩽|g_{\mathrm{\Lambda }}(h)|⩽g_{\mathrm{\Lambda }}(\mathrm{Re}h).$$

Оценка сверху получается, если взять абсолютную величину в определении $Z_{\mathrm{\Lambda }}$, а оценка снизу вытекает из теоремы 4.5.1′. По предложению 4.6.1 $g_{\mathrm{\Lambda }}(h)\to g(h)$ при вещественных $h$; таким образом, из оценки (4.6.4) следует, что $g_{\mathrm{\Lambda }}(h)$ равномерно ограничено по $\mathrm{\Lambda }$ в любом компактном подмножестве $K$ области $|\mathrm{lm}h|<\mathrm{Re}h$. Кроме того, $g_{\mathrm{\Lambda }}(h)$ аналитична по $h$ при $h\in K$, так как, по теореме 4.5.1′, $Z_{\mathrm{\Lambda }}(h)eq0$ при $h\in K$. В силу предложения 4.6.1, $f_{\mathrm{\Lambda }}(h)$ сходится при вещественных $h$. Выберем компактное множество $K$ пересекающимся с вещественной осью $h$. Тогда на пересечении $g_{\mathrm{\Lambda }}(h)\to g(h)$. По теореме Витали получаем, что $g_{\mathrm{\Lambda }}(h)\to g(h)$ для всех $h$ нз области $|\mathrm{Im}h|<\mathrm{Re}h$, причем функция $g(h)$ аналитична в этой области и равномерно ограничена на любом компактном подмножестве $K$. Из (4.6.4) следует, что для любого $h\in K$
$$|g(h)|=\underset{\mathrm{\Lambda }\uparrow \mathrm{\infty }}{lim}|g_{\mathrm{\Lambda }}(h)|⩾\underset{\mathrm{\Lambda }\uparrow \mathrm{\infty }}{lim}{g}_{\mathrm{\Lambda }}(\mathrm{Re}h-|\mathrm{Im}h|)=\exp [f(\mathrm{Re}h-|\mathrm{Im}h|)].(4.6.5)$$

Следовательно, $|g(h)|eq0$ при $|\mathrm{Im}h|<\mathrm{Re}h$. Поэтому $\ln g(h)$ существует и является аналитической функцней от $h$.
Замечание 2. Подобные рассуждения можно использовать и в случае, когда распределения отдельного спина имеют вид
$$d{\mu }_{\lambda }(\xi )=\frac{e^{-P_{\lambda }(\xi )}d\xi }{\int e^{-P_{\lambda }(\xi )}d\xi },P_{\lambda }(\xi )=\lambda {({\xi }^2-1)}^2.$$

В пределе при $\lambda \to \mathrm{\infty }$ получается модель Изинга [J. Rosen, 1977], и для $\mathrm{\Lambda }<\mathrm{\infty }$ при $\lambda \to \mathrm{\infty }$ имеем $Z_{\mathrm{\Lambda }}(\lambda ,h)\to Z_{\mathrm{\Lambda }}$ Иэннг $(h)$. При вещественных $h$ сходимость вытекает из теоремы Лебега о мажорированной сходимости. Таким образом, для модели Изинга справедлива, оценка Ли — Янга, и поэтому функция $f^{\text{Изинг }}(h)$ аналитична при $|\mathrm{Im}h|<\mathrm{Re}h$.
Замечание 3. Аналогичные соображения применимы, когда существует непрерывный предел решеточной теории, например при надлежащем выборе $J,a,b$ как функций параметра решетки $\epsilon$. Известно, что при размерности пространства-времени $d=1,2,3$ предел при $\epsilon \to 0$ (непрерывный предел теории поля) существует. В части II мы докажем существование этого предела при $d=2$. Таким образом, мы заключаем, что свободная энергия $f(h)$ для модели ${\phi }^4$ квантовой теории поля аналитична в области $|\mathrm{Im}h|<$ $<\mathrm{Re}h$.
Замечание 4. Теорема Ли- Янга справедлива также для систем с двух- или трехкомпонентными спинами, инвариантными относительно группы вращений $O(2)$ или $O(3)$ соответственно. Другими словами, во взаимодействии ${\xi }_i{\xi }_j$ заменяется на ${\xi }_i\cdot {\xi }_j$, а ${\xi }_i^4$ на ${\left({\xi }_i^2\right)}^2$, где $\xi$ есть двух- или трехкомпонентный вектор [Dunlop, Newman, 1975]. Верна ли теорема Ли — Янга для спинов с числом компонент 4 и более, неизвестно.
Замечание 5. Теорема Ли — Янга и приведенное здесь доказательство обобщаются на случай $Z_2$-решеточных калибровочных теорий [Dunlop, 1980] (см. § 20.9). Верна ли теорема Ли — Янга для других калибровочных групп, неизвестно.

Рис. 4.1. Линии фазовых переходов для взаимодействия $P(\xi )={\xi }^2{({\xi }^2-1)}^2+\alpha {\xi }^2$ или для модели Изинга со спином 1 (распределение отдельного спина $d{\mu }_i=$ $=(1/2-\alpha )({\delta }_{-1}+{\delta }_1)+2\alpha {\delta }_0)$. См. также $\mathrm{\S }20.5$.

Замечание 6. В общем случае четного полинома $P(\xi )$ степени 6 и выше нет оснований ожидать аналитичности при $\mathrm{Re}heq0$. То же самое относится к модели Изинга «со спином 1», для которой $d{\mu }_i(\xi )=(\frac{1}{2}-\alpha ){\delta }_{-1}(\xi )+2\alpha \delta (\xi )+(\frac{1}{2}-\alpha ){\delta }_1(\xi ),0<\alpha <1/2$. Tакая мера $d{\mu }_l(\xi )$ может быть получена как предел мер, определяемых последовательностью полиномов степени 6 . В случае приведенной выше меры $d{\mu }_l$ или в случае $P={\xi }^2{({\xi }^2-1)}^2+\alpha {\xi }^2$ получается фазовая диаграмма, показанная на рис. 4.1. Из того, что при $heq0$ имеются линии фазовых переходов, вытекает, что для некоторых полиномов 6 -й степени теорема Ли — Янга неверна.

Не существует критерия, позволяющего для полиномов $P$ общего вида (например, с положительными коэффициентами) сказать, верна ли для них теорема Ли — Янга. Аналитичность в этом случае исследуется только с помощью методов разложения в ряд. Приближение среднего поля, являющееся главным членом такого разложения, дает качественную картину фазовых диаграмм, подобных представленной на рис. 4.1. Приближение среднего поля будет подробно обсуждаться в следующей главе.