Уравнения (18.2.16-17) можно переписать как векторное уравнение в банаховом пространстве
\[
\rho=Z(\Lambda) 1+\mathscr{K} \rho,
\]

имеющее единственное решение $\rho=(I-\mathscr{K})^{-1} Z(\Lambda) 1$, удовлетворяющее неравенствам
\[
|\rho| \leqslant\left|(I-\mathscr{K})^{-1}\right||Z(\Lambda)| \leqslant 4|Z(\Lambda)| .
\]

Мы увидим в дальнейшем, что эта оценка, по сути, есть не что иное, как предложение 18.4.2.

Пусть $\mathscr{X}$ – банахово пространство функций $f$, определенных на конечных подмножествах $\Gamma \subset\left(Z^{2}\right)^{*}$. Для $f \in \mathscr{X}$ обозначим через $\left(f_{n}\right)_{n \geqslant 0}$ ограничение $f$ на подмножества из $n$ элементов. Норму в $\mathscr{Z}$ определим, полагая
\[
|f|=\sup _{\{(n, \Gamma):|\Gamma|=n\}} 2^{-n}\left|f_{n}(\Gamma)\right| .
\]

Пусть $\rho_{\Lambda} \equiv\left(\rho_{\Lambda}, n\right)_{n \geqslant 0} \in \mathscr{X}$ обозначает функцию $\Gamma \rightarrow Z_{\mathrm{\Gamma}}(\Lambda)$.
Теорема 18.5.1. Пусть $|\lambda| \leqslant \varepsilon, \operatorname{Re} \lambda \geqslant 0$, где $\varepsilon$ мало, и пусть $m_{0}$ достаточно велико. Тогда $Z(\Lambda)
eq 0$, а $\rho_{\Lambda}$, определенное выше, является единственным решением в $\mathscr{Q}$ уравнения (18.5.1). При этом $\rho_{\Lambda}$ удовлетворяет оценкам (18.5.2).

По теореме о мажорированной сходимости, $Z_{\partial \Delta}(\Delta) \rightarrow 1$ при $\varepsilon \rightarrow 0$. Значит, при малых $\varepsilon$
\[
1 / 2 \leqslant\left|Z_{\partial \Delta}(\Delta)\right| \leqslant 2 .
\]

Из этого условия вытекают ограничения на $\varepsilon$, при которых верна теорема 18.5.1; фактически это единственное в этой главе ограничение на параметр $\varepsilon$.
Доказательство предложения 18.4 .2 в предположении, что верна теорема 18.51:
\[
\begin{array}{l}
\left|\frac{Z_{\partial X}(\Lambda \backslash X)}{Z(\Lambda)}\right| \leqslant\left|\frac{Z_{X^{*}}(\Lambda)}{Z(\Lambda)}\right|\left|Z_{\partial \Delta}(\Delta)\right|^{-|\Lambda \cap X|} \leqslant \\
\leqslant 2^{\left|X^{*}\right|}\left\|\left(1-\mathscr{K}^{-1}\right)^{-1}\right\|\left|Z_{\partial_{A}}(\Delta)\right|^{-|\Lambda \cap X|} \leqslant e^{K_{2} \mid X !} . \\
\end{array}
\]

Доказательство теоремы 18.5.1. Пусть $1=(1,0,0, \ldots) \in \mathscr{X}$. Определим оператор $\mathscr{K}$ равенствами
\[
(\mathscr{K} f)_{n}(\Gamma)=f_{n-1}\left(\Gamma \backslash b_{1}\right)+\sum_{m=1}^{\infty} \sum_{\{X:|X|=m\}} K\left(b_{1}, \Gamma, X\right) f_{\left|X^{*} \cup \Gamma\right|}\left(X^{*} \cup \Gamma\right),
\]

где $n \geqslant 2$, а суммирование проводится по всем $X$ (как в (18.2.16) и (18.2.17)), являющимся связными объединениями квадратов решетки и содержащим ребро $b_{1}$. При $n=1$ мы опускаем первый член в правой части, а при $n=0$ полагаем $(\mathscr{K} f)_{0} \equiv 0$.

Покажем, что определенный выше оператор $\mathscr{K}$ является сжимающим: $|\mathscr{K}| \leqslant 3 / 4$. Отсюда вытекает (18.5.2). Достаточно показать, что
\[
(1 / 2)+\sup _{\Gamma \subset \mathscr{B}} 2^{-|\Gamma|} \sum_{m=1}^{\infty} \sum_{\left\{X: \mid X_{\mid=m\}}\right.}\left|K\left(b_{1}, \Gamma, X\right)\right| 2^{\left|\Gamma \cup X^{*}\right|} \leqslant 3 / 4 .
\]

Доказательство неравенства (18.5.5) аналогично доказательству теоремы 18.3.1, приведенному в § 18.4. В частности, в нем используются предложения 18.4.1 и 18.4.3. Согласно первому из них, каждому фиксированному значению $|X|$ отвечает не более $e^{K_{1}|X|}$ членов. Как следует из (18.2.17), каждый член содержит по меньшей мере одно дифференцирование $\partial^{b_{1}}$. Используя этот факт и соотношения (18.4.1), мы получаем. из предложений 18.4.1 и 18.4.3 следующую оценку:
\[
\left|K\left(b_{1}, \Gamma, X\right)\right| \leqslant e^{-K(|X|+1)_{e} K_{3}|X|} .
\]

При достаточно больших $K$ отсюда вытекает (18.5.5). В заключение покажем, что $Z(\Lambda)
eq 0$. По теореме о мажорированной сходимости $Z_{\partial \Delta}(\Delta) \rightarrow 1$ при $\varepsilon \rightarrow 0$. Если $\varepsilon$ достаточно мало, то $\left|Z_{\Lambda^{*}}\right|=\left|Z_{\partial \Lambda}(\Delta)\right|^{|\Lambda|}
eq 0$. Следовательно, $\rho_{\Lambda}
eq 0$ и, в силу (18.5.2), $Z(\Lambda)
eq 0$.