Статистическая механика является связующим звеном между молекулярной физикой и механикой сплошных сред. В своих построениях статистическая механика исходит из законов взаимодействия между частицами. Этими частицами могут быть атомы в кристалле, молекулы в газе или жидкости, электроны в плазме, аминокислотные остатки в белке, элементарные составляющие в сложном полимере и т. д. Силы, действующие между частицами, порождаются кулоновым взаимодействием электрических зарядов и магнитным диполь-дипольным взаимодействием в случае, если частицы обладают магнитными моментами. Классические законы взаимодействия могут видоизменяться с учетом квантовомеханического описания частиц (в особенности с учетом принципа запрета Паули). Обычно законы взаимодействия очень сложны и не выражаются простой аналитической формулой. Поэтому чаще всего их рассматривают одним или несколькими из следующих четырех способов. (1) Как некую функцию, явный вид которой неизвестен, а ее качественные свойства постулированы в виде физических законов. (2) Как некую конкретную функцию, например потенциал Леннард-Джонса или потенциал твердых сфер. Эти функции используются потому, что они обладают теми же характерными свойствами, что и истинные законы взаимодействия, например они могут асимптотически совпадать с ними в предельных случаях. (3) Қак результат вычисления, основанного, например, на сложном истинном законе взаимодействия, но с использованием приближения Хартри — Фока. (4) Как результат экспериментальных нзмерений.

Задача статистической механики состоит в том, чтобы на основе вводимого одним из описанных выше способов закона взаимодействия определить макроскопические свойства вещества. Бо́льшая часть этих свойств характеризуется термодинамическими величинами и коэффициентами переноса: плотностью, давлением, температурой, теплопроводностью и электропроводностью, намагниченностью, прочностью, вязкостью, теплоемкостью, скоростями химических реакций и т. д. Эти характеристики, вообще говоря, не независимы, а связаны каким-то уравнением состояния. Примером может служить уравнение состояния идеального газа
\[
\rho=N k T / V \text {. }
\]

Уравнение состояния есть следствие межмолекулярных законов взаимодействия и служит основой термодинамики и механики сплошных сред. Оно позволяет находить линейные и нелинейные «функции отклика», используемые в термодинамике и нужные для вывода уравнений механики сплошных сред. Статистическая механика занимается строгим выводом законов термодинамики и уравнений состояния.

Статистическая механика занимает определенное место и среди математических дисциплин. В каком-то смысле ее можно считать частью теории вероятностей или, более общо, частью анализа. Статистическая механика изучает системы, состоящие из бесконечно большого числа частиц, поэтому ей соответствует анализ в бесконечномерных пространствах. Физическое состояние каждой элементарной компоненты системы (например, частицы) описывается математически как точка некоторого конечномерного пространства $X_{i}$, например
\[
X_{i}=R^{1}, R^{n}, S^{0}=Z_{2}=\{-1,+1\}, Z_{n}, S^{n}, S U(n) .
\]

Таким образом, статистическая механика изучает веролтностные меры, определенные на прямом произведении пространств состояний элементарных компонент:

Обычно задаются меры $d \mu_{i}$ на $X_{i}$, и тогда простейшая мера на $X$ является бесконечным произведением этих мер:
\[
d \mu=\underset{i=1}{\infty} d \mu_{i} .
\]

Эта мера не очень интересна, так как она соответствует ситуации, при которой нет взаимодействия между частицами (элементарными компонентами системы). Однако мера $d \mu$ имеет определенный смысл, так как возникающие в статистической механике меры обычно близки к произведению мер.

В общем случае распределение вероятностей для состояний $i$-й частицы зависит, вообще говоря, от состояния $j$-й частицы, $j
eq i$. Для того чтобы система проявляла статистическое поведение, необходимо изначально ограничить эту зависимость конечным числом частиц — соседями $i$-й частицы. В физической терминологии это равносильно рассмотрению короткодействующих устойчивых взаимодействий. Для описания подобной ситуации рассмотрим ются уже произведением мер, а, как правило, представляются в виде
\[
d \mu^{(n)}=e^{-U} \underset{i=1}{n} d \mu_{i}
\]

где $U$ — энергия взаимодействия, которая может определяться, например, парным потенциалом взаимодействия $V$ :
\[
U=\sum_{i<j} V\left(x_{i}-x_{i}\right)
\]

причем $V$ задан одним из перечисленных выше способов (1) — (4) (см. также (2.3.1)). Предположим, что существует предел
\[
d \mu=\lim _{n \rightarrow \infty} d \mu^{(n)} .
\]

Меры, изучаемые в статистической механике, как правило, имеют иид (2.1.7), и в этом смысле предел (2.1.7) является подходящим обобщением (2.1.4).

Существснное различие между конечномерным и бесконечномерным случаями состоит в том, что в случае бесконечномерного пространства мера $d \mu$ и, следовательно, связанные с нею физические величины могут быть разрывными функциями от параметров задачи. При этом наличие разрывов не какая-то неприятная патология, а одно из ключевых характерных качеств теории. Действительно, имеются физические основания ожидать, что эти величины — кусочно-аналитические функции параметров (температуры, внешнего поля и т. д.). Разрывы этих функций образуют в пространстве параметров множество коразмерности 1 и соответствуют физическому явлению, называемому фазовым переходом. Граничные точки множества разрывов образуют множество коразмерности 2 , называемое критической поверхностью. В частном, но наиболее распространенном случае, когда система описывается двумя параметрами, критические поверхности коразмерности 2 становятся точками — отсюда термин критические точки. Повсдение физических систем в окрестности критических точек играет большую роль в экспериментальных исследованиях, и одна из задач теории — дать количественные предсказания в этой области.