Так как всякая формула интегрирования по частям (например, (12.1.1)) содержит производные и виковы полиномы : $P^{\prime }(\phi (x))$;, мы начнем с введения подходящего класса дифференцируемых функций $A(\phi )$ на евклидовом пространстве $\mathcal{E}=L_2({\mathcal{D}}^{\prime },d\mu )$. Построения гл. 11 приводят к полю $\phi (f)$ и произведениям вида $A(\phi )=\phi \left(f_1\right)\dots \phi \left(f_n\right)$, но не определяют викову степень $:{\phi }^j:$. Сейчас мы покажем, что в случае бссконечного объема виковы степени получаются как пределы обрезанных степеней:
$$:\phi (x{)}^l:=\underset{\kappa \to \mathrm{\infty }}{lim}:{\phi }_{\varkappa }(x{)}^l:.$$

Здесь ${\phi }_x={\delta }_x\ast \phi$, а ${\delta }_x$, как и раньше, обозначает размазанную дельта-функцию ${\delta }_x(x)=x^{2}h(xx)\in C^{\mathrm{\infty }},\int hdx=1$. Кроме того, мы покажем, что предельный переход $x\to \mathrm{\infty }$ будет равномерным по всем объемам $\mathrm{\Lambda }\subset R^2$ и, следовательно, предельные переходы $\mathrm{\Lambda }\uparrow R^2$ и $x\to \mathrm{\infty }$ можно переставлять. Итак, $:{\phi }^j:-$ это функция от поля $\phi$, определенная на евклидовом пространстве $\mathcal{E}$ и удовлетворяющая соотношениям
$$:{\phi }^i:=\underset{\mathrm{\Lambda }\uparrow R^2}{lim}\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}:{\phi }_x^i:\mathrm{\Lambda }=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\underset{\mathrm{\Lambda }\uparrow R^2}{lim}:{\phi }_x^i:{}_{\mathrm{\Lambda }}.$$

Оценки, необходимые для доказательства соотношений (12.2.2), носят технический характер и требуют обобщения неравенств § 8.6 на класс нелокальных возмущений. Однако с помощью этих оценок можно обобщить результаты гл. 11 на случай мономов Вика произвольной степени. В частности, мы определим обобщенные функции Швингера
$$\int \phi \left(x_1\right)\dots \phi \left(x_k\right):{\phi }^2\left(y_1\right):\dots :{\phi }^2\left(y_l\right):\dots :{\phi }^{2-1}\left(z_1\right):\dots :{\phi }^{n-1}\left(z_m\right):d\mu$$

и выведем оценки, устанавливающие их регулярность. Произвольные виковы степени : ${\phi }^r:,n<r$, после применения формулы инте-
Гл. 12. Регулярность поля и проверка аксиом
грнрования по частям сводятся к этим обобщенным функциям Швингера.

В следующей теореме рассматриваются коэффициенты $g=$ $=\{g_1,g_2,\dots ,g_{n-1}\}$, принадлежащие классу $C_0^{\mathrm{\infty }}$. Это коэффициенты при более низких степенях в полиноме $\delta P=\sum _{j=1}^{n-1}:{\phi }^j\left(g_j\right)$ : Здесь $n=\mathrm{deg}P$. Мы полагаем $:{\phi }^i:\equiv :{\phi }^j:c$, где ковариационный оператор $C$ принадлежит множеству ${\mathcal{C}}_m$, введенному в гл. 7.
Теорема 12.2.1. Пусть $P=$ четный полином + линейный член. Тогда характеристический функционал
$$S\{g\}=\underset{\mathrm{\Lambda }\uparrow R^2}{lim}\int \exp (i\sum _{j=1}^{n-1}:{\phi }^j\left(g_j\right):)d{\mu }_{\mathrm{\Lambda }}$$

существует и определяет виковы степени : ${\phi }^j$ : относительно меры $:{\phi }^i:=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}:{\phi }_x^j:$ в пространстве $L_2(d\mu )$ и $:{\phi }^{\prime }:$ является функцией от поля $\phi$. Более того, $S\{g\}$-целая аналитическая функция от $g_1,\dots ,g_{n-1}$.
Доказательство. См. $\mathrm{\$}12.4$.
Теорема 12.2.2. Существует такая константа $c<\mathrm{\infty }$, что для произвольной функции $g\in L_1\cap L_p$ с носителем $\mathrm{supp}g\subset \mathrm{\Lambda }\subset R^{2}u$ $p=n/(n-j)$ справедливо неравенство
$$|\int \exp (:{\phi }^I(g):)d{\mu }_{\mathrm{\Lambda }}|⩽\exp \left\{c(\Vert g{\Vert }_{L_1}+\Vert g{\Vert }_{L_p}^p)\right\}.$$

В § 12.5 рассмотрен частный случай этой теоремы (теорема 12.5.1) при $j=1$ и вкратце указан способ модификации этого доказательства применительно к общему случаю.

Пусть $\mathfrak{A}$ обозначает алгебру функций $A=A(\phi )$, порожденную виковыми степенями : ${\phi }^j\left(g_j\right)$ : и экспонентами от них. Как и в гл. 7 , пусть $C_{\varnothing }={(-\mathrm{\Delta }+m^2)}^{-1}$.
Следствие 12.2.3. Для любого элемента $A\in \mathfrak{A}$ справедливы формулы интегрирования по частям (9.1.32) и (12.1.1). Именно, для произвольной функции $f\in C_0^{\mathrm{\infty }}$
$$\int \phi (f)A(\phi )d\mu =\int (⟨C_{\varnothing }f,\frac{\delta A}{\delta \phi }⟩-A(\phi )⟨C_{\varnothing }f,\frac{\delta V}{\delta \phi }⟩)d\mu .$$

Доказательство. Для ограниченной области $\mathrm{\Lambda }$ формула интегрирования по частям, в которой вместо свободной ковариации $C_{\varnothing }$ рассматривалась ковариация $C_{\partial \mathrm{\Lambda }}$, была установлена в $\mathrm{\$}9.1$. Подставим в эту формулу вместо $f$ функцию $C_{\partial \mathrm{\Lambda }}^{-1}f=C_{\varnothing }^{-1}f$. Тогда в обеих частях равенства окажутся основные функции с компактными носителями, не зависящие от области $\mathrm{\Lambda }$. По теореме 12.2 .1 обе
части равенства сходятся к соответствующим выражениям для $\mathrm{\Lambda }=R^2$. Тем самым тождество доказано для пронзвольной функции $\dot{f}\in C_{\varnothing }^{-1}{C}_0^{\mathrm{\infty }}$. По теореме 12.2 .2 и интегральной теореме Коши это тождество продолжается по иепрерывности на любую функцию $f\in L_1\cap L_{n/(n-1)}$.
Замечание. Тождество (12.2.5) можно распространить и на дельтафункции $f={\delta }_x$ при условии, что каждое слагаемое в правой части продолжается по непрерывности. В этом случае поле $\phi (x)$ в левой части (12.2.5) следует рассматривать как бнлинейную форму; оно не является ни оператором, ни функцией.

Предположим, что носитель функции $g$ принадлежит объединению непересекающихся единичных ячеек $\mathrm{\Delta }$, т. е. supp $g\subset \bigcup _{,\mathrm{\infty }}\mathrm{\Delta }$. Положим $g_{\mathrm{\Delta }}={\chi }_{\mathrm{\Delta }}g$, где ${\chi }_{\mathrm{\Delta }}$-характеристическая фунция ячейки $\mathrm{\Delta }$; при этом, конечно,
$$g=\sum _{\mathrm{\Delta }\in N^N}{g}_{\mathrm{\Delta }}.$$

Оценить обобщенные функции Швингера позволяет интегральная теорема Коши.
Следствие 12.2.4. Пусть g удовлетворяет прежним условиям, $p=$ $=n/(n-j),j<n$ и носитель функции $h_{\mathrm{\Delta },i}$ содержится в ячейке $\mathrm{\Delta }$. Тогда
$$\begin{array}{l}|\int \prod _{\mathrm{\Delta }\in \mathcal{N}}[(\prod _{i=1}^{n_{\mathrm{\Delta }}}:{\phi }^j\left(h_{\mathrm{\Delta },t}\right):)\exp (:{\phi }^l\left(g_{\mathrm{\Delta }}\right):)]d\mu |⩽\\ ⩽\prod _{\mathrm{\Delta }\in \mathcal{N}}[{(n_{\mathrm{\Delta }}!)}^{1-1/p}\left(\prod _{i=1}^{n_A}c{\Vert h_{\mathrm{\Delta },i}\Vert }_{L_p}\right)\exp \left\{c(1+{\Vert g_{\mathrm{\Delta }}\Vert }_{L_p}^p)\right\}].\end{array}$$

Доказательство. Воспользуемся неравенством Шварца, чтобы отделить многочлены от экспонент и ограничиться таким множеством $\mathfrak{P}$, что для входящих в него ячеек $\mathrm{\Delta }$ справедливо $n_{\mathrm{\Delta }}eq0$. Нужная оценка для интеграла от экспоненты получается из теоремы 12.2.2. Положив таким образом $g=0$, мы при помощи поляризационного тождества сведем все к случаю одной функции $h_{\mathrm{\Delta },i}$ для каждой фиксированной ячейки $\mathrm{\Delta }$. Предполагая, что в этом частном случае неравенство (12.2.7) доказано, воспользуемся поляризационным тождеством
$$2^{n-1}n!\prod _{i=1}^n{a}_i=\sum _{e_i=\pm 1}{\epsilon }_2\dots {\epsilon }_n{(a_1+{\epsilon }_2{a}_2+\dots +{\epsilon }_n{a}_n)}^n.$$

Поскольку неравенство (12.2.7) не меняется при умножении $h_{\mathrm{\Delta }.i}$ на константу, можно считать, что все нормы ${\Vert h_{\mathrm{\Delta },i}\Vert }_{L_p}$ равны между собой. С помощью тождества (12.2.8) и неравенства треугольника
$${\Vert h_{\mathrm{\Delta },1}+{\epsilon }_2{h}_{\mathrm{\Delta },2}+\cdots \Vert }_{L_p}⩽n_{\mathrm{\Delta }}{\Vert h_{\mathrm{\Delta },i}\Vert }_{L_p}$$

Гл. 12. Регулярность поля и проверка аксиом
получим, что левая часть (12.2.7) допускает оценку
$$|\int \prod _{\mathrm{\Delta }\in \mathcal{P}}\prod _{i=1}^{n_{\mathrm{\Delta }}}:{\phi }^j\left(h_{\mathrm{\Delta },i}\right):d\mu |⩽\prod _{\mathrm{\Delta }\in \mathcal{P}}c{(n_{\mathrm{\Delta }}!)}^{-1/p}{n}_{\mathrm{\Delta }}^{n_{\mathrm{\Delta }}}{\Vert h_{\mathrm{\Delta },i}\Vert }_{L_p}^{n_{\mathrm{\Delta }}}.$$

Наконец, применение формулы Стирлинга завершает доказательство следствия в предположенин, что оно верно в указанном выше частном случае.

Проведем теперь доказательство в этом частном случае. Обозначим $z_{\mathrm{\Delta }}\in C^{|.p|}$ семейство комплексных переменных, помеченных ячейками $\mathrm{\Delta }\in {\mathcal{N}}^P$. Положим $zh(x)=\sum _{\mathrm{\Delta }\in \mathcal{p}}{z}_{\mathrm{\Delta }}{h}_{\mathrm{\Delta }}(x)$. Тогда левая часть неравенства (12.2.7) равна
$$\mathcal{A}={\left(\prod _{\mathrm{\Delta }\in \mathcal{H}}{\left(\frac{d}{d{z}_{\mathrm{\Delta }}}\right)}^n\right)\int \exp (:{\phi }^j(zh):)d\mu |}_{z(\mathrm{\Delta })=0^{\ast }}$$

Согласно теореме 12.2.2, $S\{-izh\}=\int \exp (:{\phi }^j(zh):)d\mu$ — целая аналитическая функция. Поэтому, в силу интегральной формулы Коши,
$$\mathcal{A}=\int S\{-izh\}\prod _{\mathrm{\Delta }\in \mathcal{N}}\frac{n_{\mathrm{\Delta }}!d{z}_{\mathrm{\Delta }}}{(2\pi i)z^{n_{\mathrm{\Delta }}+1}},$$

где интегралы берутся по произведению окружностей с центром в точке $z_{\mathrm{\Delta }}=0$ и радиусом $r_{\mathrm{\Delta }}$. Отсюда, в силу оценки (12.2.4), имеем
$$\mathcal{H}⩽\prod _{\mathrm{\Delta }\in \mathcal{P}}{n}_{\mathrm{\Delta }}!r_{\mathrm{\Delta }}^{-n_{\mathrm{\Delta }}}\exp \left\{c(r_{\mathrm{\Delta }}{\Vert h_{\mathrm{\Delta }}\Vert }_{L_1}+r_{\mathrm{\Delta }}^p{\Vert h_{\mathrm{\Delta }}\Vert }_{L_p}^p)\right\}.$$

Выберем теперь радиус $r_{\mathrm{\Delta }}$ равным (1/2) $n_{\mathrm{\Delta }}^{1/p}{\Vert h_{\mathrm{\Delta }}\Vert }_{L_p}^{-1}$. Так как ${\Vert h_{\mathrm{\Delta }}\Vert }_{L_1}⩽{\Vert h_{\mathrm{\Delta }}\Vert }_{L_p}$, то $r_{\mathrm{\Delta }}{\Vert h_{\mathrm{\Delta }}\Vert }_{L_1}+r_{\mathrm{\Delta }}^p{\Vert h_{\mathrm{\Delta }}\Vert }_{L_p}^p⩽n_{\mathrm{\Delta }}$. Применяя неравенство (12.2.10), получаем, что
$$|\mathcal{A}|⩽\prod _{\mathrm{\Delta }\in \mathcal{N}}{\left(n_{\mathrm{\Delta }}\right)}^{1-1/p}{\left(c{\Vert h_{\mathrm{\Delta }}\Vert }_{L_p}\right)}^{n_{\mathrm{\Delta }}}.$$