Так как всякая формула интегрирования по частям (например, (12.1.1)) содержит производные и виковы полиномы : $P^{\prime}(\varphi(x))$;, мы начнем с введения подходящего класса дифференцируемых функций $A(\varphi)$ на евклидовом пространстве $\mathscr{E}=L_{2}\left(\mathscr{D}^{\prime}, d \mu\right)$. Построения гл. 11 приводят к полю $\varphi(f)$ и произведениям вида $A(\varphi)=\varphi\left(f_{1}\right) \ldots \varphi\left(f_{n}\right)$, но не определяют викову степень $: \varphi^{j}:$. Сейчас мы покажем, что в случае бссконечного объема виковы степени получаются как пределы обрезанных степеней:
\[
: \varphi(x)^{l}:=\lim _{\kappa \rightarrow \infty}: \varphi_{\varkappa}(x)^{l}: .
\]

Здесь $\varphi_{x}=\delta_{x} * \varphi$, а $\delta_{x}$, как и раньше, обозначает размазанную дельта-функцию $\delta_{x}(x)=x^{2} h(x x) \in C^{\infty}, \int h d x=1$. Кроме того, мы покажем, что предельный переход $x \rightarrow \infty$ будет равномерным по всем объемам $\Lambda \subset R^{2}$ и, следовательно, предельные переходы $\Lambda \uparrow R^{2}$ и $x \rightarrow \infty$ можно переставлять. Итак, $: \varphi^{j}:-$ это функция от поля $\varphi$, определенная на евклидовом пространстве $\mathscr{E}$ и удовлетворяющая соотношениям
\[
: \varphi^{i}:=\lim _{\Lambda \uparrow R^{2}} \lim _{x \rightarrow \infty}: \varphi_{x}^{i}: \Lambda=\lim _{x \rightarrow \infty} \lim _{\Lambda \uparrow R^{2}}: \varphi_{x}^{i}:{ }_{\Lambda} .
\]

Оценки, необходимые для доказательства соотношений (12.2.2), носят технический характер и требуют обобщения неравенств § 8.6 на класс нелокальных возмущений. Однако с помощью этих оценок можно обобщить результаты гл. 11 на случай мономов Вика произвольной степени. В частности, мы определим обобщенные функции Швингера
\[
\int \varphi\left(x_{1}\right) \ldots \varphi\left(x_{k}\right): \varphi^{2}\left(y_{1}\right): \ldots: \varphi^{2}\left(y_{l}\right): \ldots: \varphi^{2-1}\left(z_{1}\right): \ldots: \varphi^{n-1}\left(z_{m}\right): d \mu
\]

и выведем оценки, устанавливающие их регулярность. Произвольные виковы степени : $\varphi^{r}:, n<r$, после применения формулы инте-
Гл. 12. Регулярность поля и проверка аксиом
грнрования по частям сводятся к этим обобщенным функциям Швингера.

В следующей теореме рассматриваются коэффициенты $g=$ $=\left\{g_{1}, g_{2}, \ldots, g_{n-1}\right\}$, принадлежащие классу $C_{0}^{\infty}$. Это коэффициенты при более низких степенях в полиноме $\delta P=\sum_{j=1}^{n-1}: \varphi^{j}\left(g_{j}\right)$ : Здесь $n=\operatorname{deg} P$. Мы полагаем $: \varphi^{i}: \equiv: \varphi^{j}: c$, где ковариационный оператор $C$ принадлежит множеству $\mathscr{C}_{m}$, введенному в гл. 7.
Теорема 12.2.1. Пусть $P=$ четный полином + линейный член. Тогда характеристический функционал
\[
S\{g\}=\lim _{\Lambda \uparrow R^{2}} \int \exp \left(i \sum_{j=1}^{n-1}: \varphi^{j}\left(g_{j}\right):\right) d \mu_{\Lambda}
\]

существует и определяет виковы степени : $\varphi^{j}$ : относительно меры $: \varphi^{i}:=\lim _{x \rightarrow \infty}: \varphi_{x}^{j}:$ в пространстве $L_{2}(d \mu)$ и $: \varphi^{\prime}:$ является функцией от поля $\varphi$. Более того, $S\{g\}$-целая аналитическая функция от $g_{1}, \ldots, g_{n-1}$.
Доказательство. См. $\$ 12.4$.
Теорема 12.2.2. Существует такая константа $c<\infty$, что для произвольной функции $g \in L_{1} \cap L_{p} \quad$ с носителем $\operatorname{supp} g \subset \Lambda \subset R^{2} \quad u$ $p=n /(n-j)$ справедливо неравенство
\[
\left|\int \exp \left(: \varphi^{I}(g):\right) d \mu_{\Lambda}\right| \leqslant \exp \left\{c\left(\|g\|_{L_{1}}+\|g\|_{L_{p}}^{p}\right)\right\} .
\]

В § 12.5 рассмотрен частный случай этой теоремы (теорема 12.5.1) при $j=1$ и вкратце указан способ модификации этого доказательства применительно к общему случаю.

Пусть $\mathfrak{A}$ обозначает алгебру функций $A=A(\varphi)$, порожденную виковыми степенями : $\varphi^{j}\left(g_{j}\right)$ : и экспонентами от них. Как и в гл. 7 , пусть $C_{\varnothing}=\left(-\Delta+m^{2}\right)^{-1}$.
Следствие 12.2.3. Для любого элемента $A \in \mathfrak{A}$ справедливы формулы интегрирования по частям (9.1.32) и (12.1.1). Именно, для произвольной функции $f \in C_{0}^{\infty}$
\[
\int \varphi(f) A(\varphi) d \mu=\int\left(\left\langle C_{\varnothing} f, \frac{\delta A}{\delta \varphi}\right\rangle-A(\varphi)\left\langle C_{\varnothing} f, \frac{\delta V}{\delta \varphi}\right\rangle\right) d \mu .
\]

Доказательство. Для ограниченной области $\Lambda$ формула интегрирования по частям, в которой вместо свободной ковариации $C_{\varnothing}$ рассматривалась ковариация $C_{\partial \Lambda}$, была установлена в $\$ 9.1$. Подставим в эту формулу вместо $f$ функцию $C_{\partial \Lambda}^{-1} f=C_{\varnothing}^{-1} f$. Тогда в обеих частях равенства окажутся основные функции с компактными носителями, не зависящие от области $\Lambda$. По теореме 12.2 .1 обе
части равенства сходятся к соответствующим выражениям для $\Lambda=R^{2}$. Тем самым тождество доказано для пронзвольной функции $\dot{f} \in C_{\varnothing}^{-1} C_{0}^{\infty}$. По теореме 12.2 .2 и интегральной теореме Коши это тождество продолжается по иепрерывности на любую функцию $f \in L_{1} \cap L_{n /(n-1)}$.
Замечание. Тождество (12.2.5) можно распространить и на дельтафункции $f=\delta_{x}$ при условии, что каждое слагаемое в правой части продолжается по непрерывности. В этом случае поле $\varphi(x)$ в левой части (12.2.5) следует рассматривать как бнлинейную форму; оно не является ни оператором, ни функцией.

Предположим, что носитель функции $g$ принадлежит объединению непересекающихся единичных ячеек $\Delta$, т. е. supp $g \subset \bigcup_{, \infty} \Delta$. Положим $g_{\Delta}=\chi_{\Delta} g$, где $\chi_{\Delta}$-характеристическая фунция ячейки $\Delta$; при этом, конечно,
\[
g=\sum_{\Delta \in N^{N}} g_{\Delta} .
\]

Оценить обобщенные функции Швингера позволяет интегральная теорема Коши.
Следствие 12.2.4. Пусть g удовлетворяет прежним условиям, $p=$ $=n /(n-j), j<n$ и носитель функции $h_{\Delta, i}$ содержится в ячейке $\Delta$. Тогда
\[
\begin{array}{l}
\left|\int \prod_{\Delta \in \mathscr{N}}\left[\left(\prod_{i=1}^{n_{\Delta}}: \varphi^{j}\left(h_{\Delta, t}\right):\right) \exp \left(: \varphi^{l}\left(g_{\Delta}\right):\right)\right] d \mu\right| \leqslant \\
\quad \leqslant \prod_{\Delta \in \mathcal{N}}\left[\left(n_{\Delta} !\right)^{1-1 / p}\left(\prod_{i=1}^{n_{A}} c\left\|h_{\Delta, i}\right\|_{L_{p}}\right) \exp \left\{c\left(1+\left\|g_{\Delta}\right\|_{L_{p}}^{p}\right)\right\}\right] .
\end{array}
\]

Доказательство. Воспользуемся неравенством Шварца, чтобы отделить многочлены от экспонент и ограничиться таким множеством $\mathfrak{P}$, что для входящих в него ячеек $\Delta$ справедливо $n_{\Delta}
eq 0$. Нужная оценка для интеграла от экспоненты получается из теоремы 12.2.2. Положив таким образом $g=0$, мы при помощи поляризационного тождества сведем все к случаю одной функции $h_{\Delta, i}$ для каждой фиксированной ячейки $\Delta$. Предполагая, что в этом частном случае неравенство (12.2.7) доказано, воспользуемся поляризационным тождеством
\[
2^{n-1} n ! \prod_{i=1}^{n} a_{i}=\sum_{e_{i}= \pm 1} \varepsilon_{2} \ldots \varepsilon_{n}\left(a_{1}+\varepsilon_{2} a_{2}+\ldots+\varepsilon_{n} a_{n}\right)^{n} .
\]

Поскольку неравенство (12.2.7) не меняется при умножении $h_{\Delta . i}$ на константу, можно считать, что все нормы $\left\|h_{\Delta, i}\right\|_{L_{p}}$ равны между собой. С помощью тождества (12.2.8) и неравенства треугольника
\[
\left\|h_{\Delta, 1}+\varepsilon_{2} h_{\Delta, 2}+\cdots\right\|_{L_{p}} \leqslant n_{\Delta}\left\|h_{\Delta, i}\right\|_{L_{p}}
\]

Гл. 12. Регулярность поля и проверка аксиом
получим, что левая часть (12.2.7) допускает оценку
\[
\left|\int \prod_{\Delta \in \mathcal{P}} \prod_{i=1}^{n_{\Delta}}: \varphi^{j}\left(h_{\Delta, i}\right): d \mu\right| \leqslant \prod_{\Delta \in \mathscr{P}} c\left(n_{\Delta} !\right)^{-1 / p} n_{\Delta}^{n_{\Delta}}\left\|h_{\Delta, i}\right\|_{L_{p}}^{n_{\Delta}} .
\]

Наконец, применение формулы Стирлинга завершает доказательство следствия в предположенин, что оно верно в указанном выше частном случае.

Проведем теперь доказательство в этом частном случае. Обозначим $z_{\Delta} \in C^{|. p|}$ семейство комплексных переменных, помеченных ячейками $\Delta \in \mathscr{N}^{P}$. Положим $z h(x)=\sum_{\Delta \in \mathscr{p}} z_{\Delta} h_{\Delta}(x)$. Тогда левая часть неравенства (12.2.7) равна
\[
\mathscr{A}=\left.\left(\prod_{\Delta \in \mathscr{H}}\left(\frac{d}{d z_{\Delta}}\right)^{n}\right) \int \exp \left(: \varphi^{j}(z h):\right) d \mu\right|_{z(\Delta)=0^{*}}
\]

Согласно теореме 12.2.2, $\quad S\{-i z h\}=\int \exp \left(: \varphi^{j}(z h):\right) d \mu$ — целая аналитическая функция. Поэтому, в силу интегральной формулы Коши,
\[
\mathscr{A}=\int S\{-i z h\} \prod_{\Delta \in \mathscr{N}} \frac{n_{\Delta} ! d z_{\Delta}}{(2 \pi i) z^{n_{\Delta}+1}},
\]

где интегралы берутся по произведению окружностей с центром в точке $z_{\Delta}=0$ и радиусом $r_{\Delta}$. Отсюда, в силу оценки (12.2.4), имеем
\[
\mathscr{H} \leqslant \prod_{\Delta \in \mathscr{P}} n_{\Delta} ! r_{\Delta}^{-n_{\Delta}} \exp \left\{c\left(r_{\Delta}\left\|h_{\Delta}\right\|_{L_{1}}+r_{\Delta}^{p}\left\|h_{\Delta}\right\|_{L_{p}}^{p}\right)\right\} .
\]

Выберем теперь радиус $r_{\Delta}$ равным (1/2) $n_{\Delta}^{1 / p}\left\|h_{\Delta}\right\|_{L_{p}}^{-1}$. Так как $\left\|h_{\Delta}\right\|_{L_{1}} \leqslant\left\|h_{\Delta}\right\|_{L_{p}}$, то $r_{\Delta}\left\|h_{\Delta}\right\|_{L_{1}}+r_{\Delta}^{p}\left\|h_{\Delta}\right\|_{L_{p}}^{p} \leqslant n_{\Delta}$. Применяя неравенство (12.2.10), получаем, что
\[
|\mathscr{A}| \leqslant \prod_{\Delta \in \mathscr{N}}\left(n_{\Delta}\right)^{1-1 / p}\left(c\left\|h_{\Delta}\right\|_{L_{p}}\right)^{n_{\Delta}} .
\]