Қлассическая модель контура с током, рассмотренная в $§ 15.1$, дает значение магнитного момента
\[
\mu_{\mathrm{Kл}}=\mu_{\beta} \mathbf{S},
\]

где $\mathbf{S}=(1 / 2) \boldsymbol{\sigma}-$ внутренний спин, а
\[
\mu_{B}=e \hbar / 2 m c=0,578 \ldots \times 10^{-14} \mathrm{M}_{
i} \mathrm{B} \cdot \Gamma^{-1}
\]
есть магнетон Бора. Магнитный момент электрона можно измерить, наблюдая эффект Зеемана, т. е. изучая расщепление уровней энергии во внешнем магнитном поле $\mathbf{h}$ (рис. 15.2). Результаты экспериментов указывают на то, что истинное значение момента равно $2 \mu_{\text {кл, }}$, где $\mu_{\text {кл }}$ определено выражением (15.3.1), т. е. гиромагнитное отношение $g=2$.

Теория Дирака прекрасно объясняет это значение $g$. Если электрон находится во внешнем магнитном поле с потенциалом $A(x)$, то гамильтониан (15.2.4) изменяется следующим образом:
\[
\begin{array}{c}
H=\alpha_{4} \mu-c \sum_{j=1}^{3} \alpha_{j}\left(i \hbar \partial / \partial x_{j}-\right. \\
\left.-\frac{e}{c} A_{j}(x)\right)=H_{0}+e \alpha \cdot \mathbf{A},
\end{array}
\]

где $H_{0}$ – гамильтониан свободного электрона.

Среднее значение гамильтониана (15.3.2) в состоянии
Рис. 15.2. Нерелятивистский эффект Зеемана: расщепление уровня энрегии $E_{n}$ (§1.7) в слабом магннтном поле $h$.
$\psi$ (если использовать естественное скалярное произведение в пространстве дираковых спиноров) равно
\[
\langle H\rangle_{\psi}=\left\langle H_{0}\right\rangle_{\psi}+\int \mathbf{J} \cdot \mathbf{A} d \mathbf{x},
\]

где $\mathbf{J}=e \bar{\psi} \gamma_{j} \psi, \quad \gamma_{i}=\alpha_{4} \alpha_{j}, j=1,2,3$ и $\bar{\psi}=\psi^{*} \alpha_{4}$. Поправочный член $\mathbf{J} \cdot \mathbf{A}$ имеет вид скалярного произведения, совпадающего с видом классической энергии плотности тока в магнитном поле. Истолкуем теперь этот результат.
Используя уравнение Дирака для $\psi$, а именно
\[
\sum_{i} \gamma_{i}\left(\hbar \frac{\partial}{\partial x_{i}}+i \frac{e}{c} A_{i}\right) \psi=m c \psi,
\]

где $\gamma_{4}=\alpha_{4}, x_{4}=i t$, ток $J_{\mu}=e \bar{\psi} \gamma_{\mu} \psi$ можно переписать в виде
\[
\begin{aligned}
J_{\mu}=e \bar{\psi} \gamma_{\mu} \psi=\left(\frac{e \hbar}{2 m c}\right) \frac{\partial}{\partial x_{v}}\left(\bar{\psi} \sigma_{\mu
u} \psi\right)+\frac{e \hbar}{2 m c} & \operatorname{Im}\left(\bar{\psi} \frac{\partial}{\partial x_{\mu}} \psi\right)+ \\
+ & i\left(\frac{e^{2}}{m c^{2}}\right) A_{\mu}(\bar{\psi} \psi),
\end{aligned}
\]

где
\[
\sigma_{\mu
u}=\frac{1}{2 i}\left[\gamma_{\mu}, \gamma_{v}\right] .
\]

Второй член в правой части (15.3.4) имеет вид шредингерова электрического тока. Последний член содержит лишний множитель $c^{-1}$, но его можно не учитывать в пределе при $c \rightarrow \infty$. Первый член отвечает взаимодействию с магнитным полем. Действительно, подставляя этот член вместо $\mathbf{J} \cdot \mathbf{A}$ в (15.3.3), после интегрирования по частям (поверхностным членом пренебрегаем) получаем, ч’то
\[
-\left(\frac{e \hbar}{2 m c}\right) \sum \int \bar{\psi} \sigma_{\mu
u} \psi \partial_{
u} A_{\mu} d x=\frac{e \hbar}{4 m c} \int \bar{\psi} \sigma_{\mu
u} \psi F_{\mu
u} d \mathbf{x} .
\]

Заметим теперь, что матрицы $\gamma_{i}$ образуют клиффордову алгебру:
\[
\left\{\gamma_{\mu}, \gamma_{
u}\right\}=2 \delta_{\mu v}, \quad \mu, v=1,2,3,4 .
\]

Дираково представление есть неприводимое представление этой алгебры в пространстве $4 \times 4$-матриц. В этом представлении, единственном с точностью до унитарной эквивалентности,
\[
\sigma_{\mu
u}=\varepsilon_{\mu
u \lambda}\left(\begin{array}{cc}
\sigma_{\lambda} & 0 \\
0 & \sigma_{\lambda}
\end{array}\right)
\]

где $\mu, v=1,2,3$, а $\sigma_{\lambda}, \lambda=1,2,3$, – матрицы Паули
\[
\sigma_{1}=\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array}\right), \quad \sigma_{2}=\left(\begin{array}{rr}
0 & -i \\
i & 0
\end{array}\right), \quad \sigma_{3}=\left(\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right) .
\]

Следовательно, выражение (15.3.6) равняется магнитному члену
\[
\left(\frac{e \hbar}{m c}\right) \int \bar{\psi} \psi \cdot \mathbf{B} d \mathbf{x}=2 \mu_{B} \int\langle\psi,(\mathbf{S} \cdot \mathbf{B}) \psi\rangle d \mathbf{x},
\]

где $F_{i j}=\varepsilon_{i j k} B_{k}$, плюс член, связанный с электрическим полем (этому члену отвечают матрицы $\sigma_{4 j}$ с нулевыми элементами на диагонали). Последнее выражение есть в точности взаимодействие с магнитным моментом, для которого $g=2$.