В этом параграфе мы займемся изучением модели $P(\varphi)_{2}$, где $P=$ четный полином + линейный член. Здесь мы закончим проверку для нее аксиом OS $0-3$, приведенных в гл. 6 , доказав свойство регулярности OS 1. Для этого мы сначала избавимся от $|K|$ в неравенстве (11.3.1). После этого существование теории поля $P(\varphi)_{2}$, удовлетворяющей аксиомам Вайтмана и Хаага – Кастлера, следует из теоремы реконструкции, изложенной в гл. 6, 19. Свойство регулярности, которое нам нужно, заключено в следующей теореме.
Теорема 12.5.1. Пусть $P=$ четный полином + линейный член. Тогда существует такая постоянная $c<\infty$, что для всех $f \in C_{0}^{\infty}$
\[
S\{-i f\}=\int \exp (\varphi(f)) d \mu \leqslant \exp \left\{c\left(\|f\|_{L_{1}}+\|f\|_{L_{p}}^{p}\right)\right\} .
\]

Здесь $p=n /(n-1)$, а $n=\operatorname{deg} P$. Мера $d \mu$ удовлетворяет аксиоме OS 1.

Первый шаг на пути избавления от $|K|$ в теореме 12.4 .1 делается при помощи многократных отражений.
Лемма 12.5.2. Пусть $p=n /(n-j)$, где $j<n$, и пусть $g \in L_{1} \cap$ $\cap L_{p}$ – функция с компактным носителем. Определим $g_{\Delta}$ формулой (12.2.2). Тогда
\[
\int \exp \left(: \varphi^{j}(g):\right) d \mu \mid \leqslant \prod_{\Delta \in \mathscr{N}^{p}} \exp \left\{c\left(1+\left\|g_{\Delta}\right\|_{L_{p}}^{p}\right)\right\}=\exp \left\{c\left(|\mathscr{N}|+\|g\|_{L_{p}}^{p}\right)\right\} .
\]

Доказательство. Применим оценку по методу многократных отражений из следствия 10.5 .8 , в которой возьмем $k^{(t)}=\exp : \varphi^{\prime}\left(g_{\Delta_{l}}\right):$ : При оценке каждого сомножителя $\mathscr{L}\left(k^{(t)}\right)$ воспользуемся теоремой 12.4.1.
Лемма 12.5.3. В предположениях предыдущей леммы возьмем набор функций $h_{\Delta, i}$, каждая из которых имеет носитель в ячейке $\Delta$. Тогда
\[
\begin{array}{l}
\left|\prod_{\Delta \in \mathscr{N}^{\prime}}\left[\left(\prod_{i=1}^{n_{\Delta}}: \varphi^{i}\left(h_{\Delta, i}\right):\right) \exp \left(: \varphi^{i}\left(g_{\Delta}\right):\right)\right] d \mu\right| \leqslant \\
\leqslant \prod_{\Delta \in \mathcal{N}^{*}}\left[\left(n_{\Delta} !\right)^{1-1 / p}\left(\prod_{i=1}^{n_{\Delta}} c\left\|h_{\Delta, i}\right\|_{L_{p}}\right) \exp \left\{c\left(1+\left\|g_{\Delta}\right\|_{L_{p}}^{p}\right)\right\} .\right.
\end{array}
\]

Доказательство. Следуем доказательству следствия 12.2.4, но вместо теоремы 12.2 .2 пользуемся теоремой 12.4.1.
Доказательство теоремы 12.5.1. Прежде всего разложим функцию $f$ на два слагаемых: большое и малое. Пусть $f=g+h$, где
\[
h=\sum_{i \in \mathcal{M}} x_{\Delta_{i}} f, \quad g=\sum_{i \in Z^{2} \backslash \mathcal{M}} x_{\Delta_{i}} f .
\]

Здесь $\chi_{\Delta_{i}}$ – характеристическая функция единичной ячейки $\Delta_{l}$ решетки $\left\{\Delta_{i}\right\}$, покрывающей всю плоскость $R^{2}$, а $\mathscr{M}$ – такое множество индексов, что
\[
\|f\|_{L_{1}\left(\Delta_{i}\right)}+\|f\|_{L_{p}\left(\Delta_{i}\right)}^{p} \leqslant 1 .
\]

Таким образом, функция $g$-это «большая», а функция $h$ – «малая» части $f$. Кроме того,
\[
\|f\|_{L_{1}\left(\Delta_{i}\right)}+\|f\|_{L_{p}\left(\Delta_{i}\right)}^{p}>1 \quad \text { для } \quad i \in Z^{2} \backslash \mathscr{M} .
\]

В качестве предварительного шага применим неравенство Шварца, чтобы отделить $g$ от $h$ :
\[
\int e^{\varphi(f)} d \mu \leqslant\left(\int e^{\varphi(2 g)} d \mu \int e^{\varphi(2 h)} d \mu\right)^{1 / 2} .
\]

Пользуясь леммой 12.5 .2 и неравенством (12.5.5), получим нужную оценку для сомножителя, содержащего g. Следовательно, без ограничения общности можно

Гл. 12. Регулярность поля и проверка аксиом
считать, что $g=0$, т.е. $f=h$. Действуя далее аналогично, снова воспользуемся неравенством Шварца с тем, чтобы представить функцию $h$ в виде суммы четыpех слагаемых. При этом для каждого слагаемого множество $\mathscr{A}$ состоит из ячеек без общих ребер и вершин. Другими словами, либо $\chi_{\Lambda_{i}}{ }^{h}=0$, либо $\chi_{\Delta_{j}} h=0$, если $i
eq j$, но $\operatorname{dist}\left(\Delta_{i}, \Delta_{j}\right) \leqslant 1$.

Для удобства припишем индекс $j$ носителю функции $f$. Пусть $f_{j}=h_{j}=\chi_{\Delta_{j}} f$. Тогда
\[
e^{\varphi\left(f_{i}\right)}=1+F_{i}+G_{i}
\]

где $F_{i}=\varphi\left(f_{i}\right), G_{i}=\varphi\left(f_{i}\right)^{2} \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \lambda e^{\lambda \varphi \varphi\left(f_{i}\right)} d \lambda d \gamma$, и аналогично
\[
e^{\varphi(f)}=\sum_{I \subset Z^{2}} \sum_{J \subset I} F_{j} G_{I \backslash J},
\]

где $F_{J}=\prod_{j \in J} F_{j}, G_{J}=\prod_{j \in J} G_{j}$. Суммирование в разложении (12.5.8) идет по всем конечным подмножествам решетки $Z^{2}$. Все произведения и суммы здесь конечны, так как лишь конечное число функций $f_{i}$ отлично от нуля. Мы утверждаем, что существует $c<\infty$, при котором выполняется неравенство
\[
\left|\int F_{J} G_{I \backslash J} d \mu\right| \leqslant \prod_{i \in J} c\left\{\left\|f_{i}\right\|_{L_{1}}+\left\|f_{i}\right\|_{L_{p}}^{p}\right\} .
\]

Тогда
\[
\begin{aligned}
\int e^{\varphi(f)} d \mu & \leqslant \sum_{I \subset Z^{2}} \sum_{J \subset I} \prod_{i \in I}\left(c\left\{\left\|f_{i}\right\|_{L_{1}}+\left\|f_{i}\right\|_{L_{p}}^{p}\right\}\right) \leqslant \\
& \leqslant \sum_{I \subset Z^{2}} \prod_{i \in I}\left(2 c\left\{\left\|f_{i}\right\|_{L_{1}}+\left\|f_{i}\right\|_{L_{p}}^{p}\right\}\right)=\prod_{i \in Z^{2}}\left(1+2 c\left\{\left\|f_{i}\right\|_{L_{1}}+\left\|f_{i}\right\|_{L_{p}}^{p}\right\}\right),
\end{aligned}
\]

где второе неравенство есть следствие тождества $\sum_{J} 1=2^{|I|}$. Теперь осталось воспользоваться элементарным неравенством $e^{\alpha X} \geqslant 1+\alpha X$, для того чтобы получить оценку
\[
\int e^{\varphi(f)} d \mu \leqslant \exp \left(2 c\left\{\|f\|_{L_{1}}+\|f\|_{L_{p}}^{p}\right\}\right) .
\]

Закончим доказательство теоремы выводом неравенства (12.5.9). Для этого каждый сомножитель $\varphi\left(f_{i}\right)$ в произведении $F_{j}$ проинтегрируем по частям (см. (12.2.5)). В результате мы получим слагаемые трех типов, в которых $\varphi$ связано c: (i) такими же множителями, (ii) множителями вида $\varphi\left(f_{j}\right)^{2} \exp \left(\lambda \mu \varphi\left(f_{i}\right)\right)$, входящими в $G_{I \backslash J}$, и (iii) экспонентой. Оценивать полученные выражения мы будем при помощи леммы 12.5.3, явных оценок ковариационных операторов и элементарных комбинаторных неравенств.

Члены типа (i), возникшие в результате связи линейных сомножителей из $F$, и члены типа (ii), возникшие в результате связи линейных сомножителей из $F$ и $G$, могут относиться только к непримыкающим ячейкам. Такие члены дают множитель $\left\langle f_{i}, C f_{j}\right\rangle$, для которого справедлива оценка
\[
\left|\left\langle f_{i}, C f_{j}\right\rangle\right| \leqslant O(1) e^{-m|i-j|}\left\|f_{i}\right\|_{L_{1}}\left\|f_{j}\right\|_{L_{1}}
\]

Здесь ядро оператора $C=C_{\varnothing}$ ограничено согласно предложению 7.2.1.
Члены третьего типа приводят к сомножителям вида $\left(P^{(r)}(\varphi)\right)\left(\bar{f}_{f_{1}} \times \ldots\right.$ $\ldots \times \bar{f}_{j_{r}}$ ), где $r \leqslant n$, а $j_{1}, \ldots, j_{r}$ – индексы, нумерующие различные ячейки. Здесь $P(r)$ обозначает $r$-ю производную полинома $P$, а $f_{j} \equiv C f_{j}$. В $P^{(r)}$ входят мономы степени не больше $n-r$. Поэтому если мы хотим воспользоваться леммой 12.5.3, то следует обратить внимание на локальную $L_{p(r)}$-норму ядра при $p(r) \leqslant n / r$. Поскольку эта норма возрастает с ростом $p$, без ограничения общности будем счнтать, что $p(r)=n / r$.
Лемма 12.5.4. Если $\alpha<m$, то существует такая постоянная $c<\infty$, что при всех $r \leqslant n$
\[
\sum_{i \in Z^{2}} e^{\alpha\left(\left|i-j_{1}\right|+\ldots+\left|t-j_{r}\right|\right)}\left\|\bar{f}_{f_{1}} \ldots \bar{f}_{f_{r}}\right\|_{L_{p}(r)}\left(\Delta_{i}\right) \leqslant c\left\|f_{f_{1}}\right\|_{L_{1}} \cdots\left\|f_{l_{r}}\right\|_{L_{1}} .
\]

Доказательство, В силу неравенства Гёльдера,
\[
\left\|\bar{f}_{f_{1}} \ldots \bar{f}_{j_{r} \|_{L_{p}(r)}\left(\Delta_{i}\right)} \leqslant \prod_{s=1}^{r}\right\| \bar{f}_{f_{s} \|_{L_{n}\left(\Delta_{i}\right)}} .
\]

Утверждается, что имеет место оценка
\[
\left\|\tilde{f}_{j}\right\|_{L_{n}\left(\Delta_{i}\right)} \leqslant O(1) e^{-m|i-j|}\left\|f_{j}\right\|_{L_{1}} .
\]

Подставляя ее в соотношение (12.5.14) и суммируя, получим как раз требуемое неравенство (12.5.13). Утверждение (12.5.15) при $|i-j|>1$ вытекает из оценки $\left|\bar{f}_{j}(x)\right| \leqslant O(1) e^{-m|x-i|}\left\|\hat{f}_{j}\right\|_{L_{1}}$ подобно неравенству (12.5.12). При $|i-j| \leqslant 1$ для доказательства (12.5.15) воспользуемся неравенствами Хаусдорфа – Юнга и Гёльдера. Получим цепочку неравенств
\[
\begin{aligned}
\left\|\bar{f}_{j}\right\|_{L_{n}\left(\Delta_{i}\right)} & \leqslant\left\|\bar{f}_{j}\right\|_{L_{n}\left(R^{2}\right)} \leqslant\left\|\widetilde{C}_{\varnothing} f_{j}\right\|_{L_{n^{\prime}}} \leqslant \\
& \leqslant\left\|\widetilde{C}_{\varnothing}\right\|_{L_{n^{\prime}}}\left\|\tilde{f}_{j}\right\|_{L_{\infty}} \leqslant\left\|\widetilde{C}_{\varnothing}\right\|_{L_{n^{\prime}}}\left\|f_{j}\right\|_{L_{1}} \leqslant O(1)\left\|f_{j}\right\|_{L_{1}}
\end{aligned}
\]

Здесь $n^{\prime}=n /(n-1)$, а $\tilde{C} \Rightarrow \mathbf{C} \varnothing=$ const $\left(p^{2}+m^{2}\right)^{-1} \in L_{p}$ при $p>1$. Так как $n<\infty$, то $n^{\prime}>1$ и (12.5.16) действительно имеют место. Этим закончено дока. зательство леммы.

Возвращаясь к доказательству теоремы, обозначим $n(\Delta)$ число связей $P^{(r)}$-вершин с $F_{l}$-вершинами, находящимися в ячейке $\Delta$, где $r=1,2, \ldots, n$. Занумеруем эти $n(\Delta)$ связей индексами $k=1,2, \ldots, n(\Delta)$ в порядке возрастания расстояния $P^{(r)}$-вершин до $\Delta$, которое мы обозначим $d_{k}$. Так как каждая ячейка $\Delta$ содержит не более одной $F_{i}$-вершины, где $i \in J$, то $d_{k}$ удовлетворяет неравенству
\[
\text { const } \cdot d_{k}^{2} \geqslant k \text {. }
\]

Согласно неравенству (12.5.12) и предыдущей лемме, каждое слагаемое, соответствующее $k$-й связи, имеет экспоненциальную оценку $O(1) e^{(m-\varepsilon) d_{k}}$ Поэтому произведение таких слагаемых можно оценить сверху следующим образом:
\[
\begin{aligned}
\prod_{k=1}^{n(\Delta)}\left(O(1) e^{-(m-\varepsilon) d_{k}}\right) & =\prod_{k=1}^{n(\Delta)} O(1) e^{- \text {const } \cdot k^{1 / 2}} \leqslant \\
& \leqslant e^{\text {const } \cdot n(\Delta)-\text { const } \cdot n(\Delta)^{3 / 2}} \leqslant \text { const } e^{- \text {const } n(\Delta)^{3 / 2}} .
\end{aligned}
\]

Гл. 12. Регулярность по.ия и проверка аксиом
Далее, число множнтелей с одним и тем же $d_{k}$ не превоходит $\prod_{\Delta} n$ ( $\Delta$ )fсоль . Применение леммы 12.5.3 для оценки мономов $P^{(r)}$ дает еще один множитель II $n(\Delta)$ fonst. Так как $n(\Delta) ! \leqslant \exp (n(\Delta) \cdot \operatorname{In} n(\Delta))$, то оба множителя мажорируются сходяцимся выражением (12.5.18). Пусть $J_{\sharp}$ こ $\left\{\right.$ : $\varphi\left(f_{j}\right)$ связано с экспонентой \}. Приведенные неравенства позволяют оценить сумму членов вида (iii) (связь с экспонентой)
\[
\sum_{\text {связи ячея̆ки }} \sum_{\text {ядро }} \|_{L_{p}(r)} \prod_{\Delta} n(\Delta) !^{\text {const }} \leqslant \prod_{j \in f_{e}} \text { const }\left\|f_{j}\right\|_{L_{l}} \text {. }
\]

Чтобы получить оценку для $G$-вершин, оставшихся после учета $F$-вершин, воспользуемся леммой 12.5.3. Поскольку каждая из ячеек, входяцих в множество $I \backslash J$, содержит не менее двух $G \cdot$ вершин, то
\[
\left|\int_{J} G_{I \backslash J} d \mu\right| \leqslant\left[\prod_{j \in J}\left(\operatorname{const}\left\|f_{j}\right\|_{L_{1}}\right)\right]\left[\prod_{i \in I \backslash J}\left(\operatorname{const}\left\|f_{i}\right\|_{L_{p}}^{2}\right)\right],
\]

так как $p \geqslant 2,\left\|f_{i}\right\|_{L_{p}} \leqslant 1$ и $\left\|f_{i}\right\|_{L_{p}}^{2} \leqslant\left\|f_{i}\right\|_{L_{p}}^{p}$. С помощью нераввенств
\[
\left\|f_{j}\right\|_{L_{1}},\left\|f_{j}\right\|_{L_{p}}^{p} \leqslant\left\|f_{j}\right\|_{L_{1}}+\left\|f_{j}\right\|_{L_{p}}^{p}
\]

мы увеличим правую часть неравенства (12.5.20) и придем к оценке (12.5.9).
Теорема 12.2.2 доказывается аналогично. При $n / 2<j<n$, т. е. при $p>2$, нужно проинтегрировать по частям также и $G$-вершины.