Несмотря на то что ядро $C_{B}(x, y)$ с произвольными граничнымй условиями $B=\varnothing, N, D, p$ и т. д. нмеет особенности на диагонали $x=y$, разность двух таких ядер синуляяна только на границе $\Gamma$. С этими разностями мы встретимся при обсуждении перемены викова упорядочения, поэтому весьма интересны их оценки. Для $B=N, D$ или $p$ положим
\[
\delta c_{B}(x)=\lim _{y \rightarrow x}\left[C(x, y)-C_{B}(x, y)\right]
\]
$(c(x) \equiv C(x, x)$ равно бесконечности). Как и выше, пусть $\Lambda$ обозначает связную компоненту множества $R^{d} \backslash \Gamma$.
Предложение 7.6.1. Для любого $x \in \Lambda$
\[
0 \leqslant \delta c_{D}(x) \leqslant-\delta c_{N}(x) \leqslant\left\{\begin{array}{lll}
\operatorname{const} \operatorname{dist}(x, \partial \Lambda)^{-d+2} & \text { npu } & d \geqslant 3, \\
\operatorname{const}(1+|\ln \operatorname{dist}(x, \partial \Lambda)|) & \text { npu } & d=2 .
\end{array}\right.
\]

Кроме того, разность – $\delta c_{p}(x)$ положительна и допускает такую же оценку сверху.
Доказательство. Положительность $\delta c_{D}(x)$ следует из предложения 7.5 .1 и определения разности $\delta c_{D}$. Второе неравенство вытекает из (7.6.1) и положительності функции $C(x, y)$, а именно
\[
\delta c_{D}(x)=-\sum_{j=1}^{\infty}(-1)^{\varepsilon_{j}} C\left(x-x_{j}\right) \leqslant \sum_{j=1}^{\infty} C\left(x-x_{j}\right)=-\delta c_{N}(x) .
\]

Заметим, что при $x \rightarrow \partial \Lambda$ точка $x$ приближается не менее чем к одной и не более чем к $2^{d}-1$ (в углах $\Lambda$ ) точек $x_{i}$. Поэтому верхняя оценка (7.6.2) вытекает из предложения 7.2.1 о локальных особенностях ядра $C(x-y)$. Для $c_{0}$ доказательство проводится аналогично.